泰勒公式--畢業(yè)論文

1、<p><b>　　目 錄</b></p><p>　　一、泰勒公式簡(jiǎn)介1</p><p>　?。ㄒ唬┨├展降幕拘问?</p><p>　?。ǘ┨├展接囗?xiàng)類型2</p><p>　　（三）泰勒公式的定理5</p><p>　　二、泰勒公式的證明6</p>

2、<p>　　（一）泰勒公式證明初探6</p><p>　?。ǘ┳C明泰勒公式6</p><p>　　三、泰勒公式的應(yīng)用7</p><p>　?。ㄒ唬├锰├展角髽O限8</p><p>　?。ǘ├锰├展脚袛嗪瘮?shù)的極值9</p><p>　?。ㄈ├锰├展脚卸◤V義積分?jǐn)可⑿?0</

3、p><p>　?。ㄋ模├锰├展阶C明中值定理11</p><p>　?。ㄎ澹├锰├展角笮辛惺降闹?3</p><p>　?。┨├展皆陉P(guān)于界的估計(jì)的應(yīng)用14</p><p><b>　　謝 辭17</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)18</b>&l

4、t;/p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容,它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù),這種化繁為簡(jiǎn)的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力杠桿。但一般高數(shù)教材中僅介紹了如何用泰勒公式展開(kāi)函數(shù)，而對(duì)泰勒公式的應(yīng)用方法并未深入討論，在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生常因?qū)W用脫離而難以理解。</p><p

5、>　　本文論述了泰勒公式的一些基本內(nèi)容，并著重介紹了它在數(shù)學(xué)分析中的一些應(yīng)用。泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中的重要知識(shí)，在某些題目中運(yùn)用泰勒公式會(huì)達(dá)到快速解題的目的。本文主要從不同的方面對(duì)泰勒公式進(jìn)行綜合論述：利用泰勒公式求極限，求無(wú)窮遠(yuǎn)處極限，證明中值公式，中值點(diǎn)的極限，證明不等式，導(dǎo)數(shù)的中值，關(guān)于界的估計(jì)，方程中的應(yīng)用，用泰勒公式巧解行列式。對(duì)于泰勒公式如何更廣泛的應(yīng)用于高等代數(shù)中這一問(wèn)題，還在進(jìn)一步的研究中。</p>&

6、lt;p>　　關(guān)鍵字： 泰勒公式 極限 函數(shù)不等式 函數(shù)方程</p><p><b>　　ABSTRACT</b></p><p>　　Taylor formula is a very important concept in advanced mathematics. It divides complicated functions into polyn

7、omial functions. It have became a powerful leverage when we analysis and research other mathematics problem because of its simplicity. However, normal advanced mathematic textbooks only introduce how to use Taylor formul

8、a to expand the functions and never get into the applications of Taylor formula, The students are always hard to use it because we teach it detached from use in teaching</p><p>　　Key Words： Taylor formula

9、limit function inequality function equation</p><p><b>　　一、泰勒公式簡(jiǎn)介</b></p><p>　　隨著近代微積分的發(fā)展，許多數(shù)學(xué)家都致力于相關(guān)問(wèn)題的研究，尤其是泰勒，麥克勞林、費(fèi)馬等人作出了具有代表性的工作。泰勒公式是18世紀(jì)早期英國(guó)牛頓學(xué)派最優(yōu)秀代表人物之一的英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒，在微積分學(xué)中將函數(shù)展

10、開(kāi)成無(wú)窮級(jí)數(shù)而定義出來(lái)的。泰勒將函數(shù)展開(kāi)成級(jí)數(shù)從而得到泰勒公式，對(duì)于一般函數(shù)，設(shè)它在點(diǎn)存在直到階的導(dǎo)數(shù)，由這些導(dǎo)數(shù)構(gòu)成一個(gè)次多項(xiàng)式</p><p>　　稱為函數(shù)在點(diǎn)處的泰勒多項(xiàng)式，若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　稱為泰勒公式.</b></p>

11、<p>　　眾所周知，泰勒公式是數(shù)學(xué)分析中非常重要的內(nèi)容，是研究函數(shù)極限和估計(jì)誤差等方面不可或缺的數(shù)學(xué)工具，集中體現(xiàn)了微積分“逼近法”的精髓，在近似計(jì)算上有著獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，利用它可以將非線性問(wèn)題化為線性問(wèn)題，且有很高的精確度，在微積分的各個(gè)方面都有重要的應(yīng)用。它可以應(yīng)用于求極限、判斷函數(shù)極值、求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值、判斷廣義積分收斂性、近似計(jì)算、不等式證明等方面。</p><p>　?。ㄒ唬┨├展降?/p>

12、基本形式</p><p>　　無(wú)論在近似計(jì)算或理論研究上，我們總是希望用一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)近似地表示一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)，這樣做將會(huì)帶來(lái)很大的方便。比如，為了計(jì)算多項(xiàng)式的值，只須用加、減、乘三種運(yùn)算，連除法都不需要，這是其他函數(shù)甚至很簡(jiǎn)單的初等函數(shù)所不具有的特點(diǎn)。</p><p>　　設(shè)給定了一個(gè)函數(shù)，我們要找到一個(gè)在指定點(diǎn)附近與很近似的多項(xiàng)式。現(xiàn)在可以回顧一下函數(shù)的微分。在研究微分用于近似計(jì)算時(shí)

13、，我們有一個(gè)近似公式</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　(1.1)</b></p><p>　　公式表明，在點(diǎn)附近的函數(shù)值可以用的一次多項(xiàng)式近似表示，且當(dāng)（此時(shí)是無(wú)窮?。?，所產(chǎn)生的誤差為較高階的無(wú)窮小?，F(xiàn)

14、在的問(wèn)題是，用這樣的一個(gè)一次多項(xiàng)式來(lái)近似計(jì)算，它的精確度往往并不能滿足實(shí)際的需要。因此我們希望找到一個(gè)關(guān)于的次多項(xiàng)式</p><p><b>　　(1.2)</b></p><p>　　來(lái)近似表示，并使當(dāng)時(shí)，其誤差是較高階的無(wú)窮小。要想這樣，那么多項(xiàng)式的系數(shù)，究竟應(yīng)當(dāng)取何數(shù)呢？這個(gè)問(wèn)題，無(wú)疑要根據(jù)給定的函數(shù)來(lái)確定，并且可以從前面的(1.1)式得到啟發(fā)，我們把</

15、p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　與一次多項(xiàng)式</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　對(duì)照一下，可知應(yīng)該取</p><p><b>　　，</b></p><

16、;p>　　而的這兩個(gè)數(shù)值可以由等式</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　分別求得。事實(shí)上，</b></p><p>　　由此不難推想，為了確定次多項(xiàng)式的全部系數(shù)，我們應(yīng)該假定在點(diǎn)附近具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，別且滿足下列條件：</p><p><b>　

17、　(1.3)</b></p><p>　　由(1.2)計(jì)算在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值，代入上面等式(1.3)，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　即 </b></p><p><b>　　，</b></p><p>

18、　　代入(1.2)式則得</p><p><b>　　(1.4)</b></p><p>　　這就是我們找的關(guān)于的n次多項(xiàng)式，稱為在點(diǎn)的n次泰勒多項(xiàng)式。它的各項(xiàng)系數(shù)是以在點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)表出的。</p><p>　?。ǘ┨├展接囗?xiàng)類型</p><p>　　泰勒公式的余項(xiàng)分為兩類，一類是定性的，一類是定量的，它們的本質(zhì)相同

19、，但性質(zhì)各異。定性的余項(xiàng)如佩亞諾型余項(xiàng)，表示余項(xiàng)是比（當(dāng)時(shí)）高階的無(wú)窮小。如，表示當(dāng)時(shí)，用近似，誤差（余項(xiàng)）是比高階的無(wú)窮小。定量的余項(xiàng)如拉格朗日型余項(xiàng)（也可以寫成）。</p><p>　　泰勒多項(xiàng)式表示時(shí)所產(chǎn)生的誤差</p><p><b>　　，</b></p><p>　　當(dāng)時(shí)，它是比高階的無(wú)窮小。其中稱為n階余項(xiàng)。</p>

20、<p>　　根據(jù)上面的假定，在點(diǎn)附近具有n+1階導(dǎo)數(shù)（因已假定在點(diǎn)附近具有n+1階導(dǎo)數(shù)，而多項(xiàng)式具有任何階導(dǎo)數(shù)），并注意到等式(1.3)，則有</p><p>　　因此，當(dāng)時(shí)，是型不定式。我們反復(fù)應(yīng)用洛比達(dá)法則，可推得</p><p>　　即 。</p><p>　　這就證明了，當(dāng)時(shí)，余項(xiàng)是比高階的無(wú)窮小。因此所找到的多項(xiàng)式

21、滿足了我們最初提出的要求。我們記</p><p><b>　　，</b></p><p>　　這樣一來(lái)，給定的函數(shù)就可以表示為</p><p>　　余項(xiàng)叫做皮亞諾（Peano）型余項(xiàng)。應(yīng)給指出的是，皮亞諾余項(xiàng)只是對(duì)余項(xiàng)給出一個(gè)階的估計(jì)，它僅說(shuō)明當(dāng)時(shí)是比還要高階的無(wú)窮小。因此只是說(shuō)明了在時(shí)的極限性質(zhì)。如果在點(diǎn)附近具體取定了一個(gè)值，那么余項(xiàng)到底有多

22、大，從皮亞諾余項(xiàng)是無(wú)從得知的。</p><p>　　下面介紹利用的導(dǎo)數(shù)表示的余項(xiàng)，即所說(shuō)的拉格朗日型余項(xiàng)。</p><p>　　我們先對(duì)兩個(gè)函數(shù)和在以和為斷點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理，得</p><p><b>　?。ㄔ谂c之間）</b></p><p>　　再對(duì)兩個(gè)函數(shù)和在以及為端點(diǎn)的區(qū)間上應(yīng)用柯西中值定理，得</

23、p><p><b>　?。ㄔ谂c之間）</b></p><p>　　如此繼續(xù)進(jìn)行n+1次后，便得</p><p><b>　?。ㄔ谂c之間）</b></p><p>　　而（因是n次多項(xiàng)式，所以），故由上式得</p><p><b>　　（在與之間）</b>&l

24、t;/p><p>　　這就是的導(dǎo)數(shù)表示的余項(xiàng)，稱為拉格朗日型余項(xiàng)。</p><p>　　綜合以上的討論，我們得到了一下的重要定理。</p><p>　?。ㄈ┨├展降亩ɡ?lt;/p><p>　　定理1.1（泰勒定理） 如果函數(shù)在點(diǎn)的附近有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)，則對(duì)于點(diǎn)附近的，可表示為的n次多項(xiàng)式與余項(xiàng)的和</p><p>

25、<b>　　(1.5)</b></p><p>　　其中 （在與之間）</p><p>　　定理中的(1.5)式稱為具有拉格朗日型余項(xiàng)的泰勒公式。</p><p>　　當(dāng)時(shí)，泰勒公式(1.5)式變?yōu)?lt;/p><p><b>　　，</b></p><p>　　

26、這就是拉格朗日中值公式?？梢?jiàn)泰勒公式是拉格朗日公式的推廣。</p><p>　　在泰勒公式(1.5)式中，令，則得</p><p><b>　　(1.6)</b></p><p>　　其中 （在與之間）</p><p>　　公式(1.6)是在原點(diǎn)的泰勒公式，也稱為麥克勞林(Maclaurin)公式

27、。</p><p><b>　　二、泰勒公式的證明</b></p><p>　?。ㄒ唬┨├展阶C明初探</p><p>　　兩種余項(xiàng)的泰勒公式所表達(dá)的根本思想都是怎樣用多項(xiàng)式來(lái)逼近函數(shù)，帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒公式是反映了極限性質(zhì)的漸進(jìn)等式，所以這個(gè)公式在求極限時(shí)很有用，對(duì)余項(xiàng)可以提供充分小的估計(jì)值。帶有拉格朗日余項(xiàng)的泰勒公式有確切的表達(dá)式，當(dāng)然也

28、有像中值這樣不確定的因素，但是并不妨礙定理的使用，為近似計(jì)算的誤差估計(jì)提供了理論依據(jù)。</p><p>　　（二）證明泰勒公式 </p><p>　　定理2.1：（帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式）若函數(shù)在點(diǎn)存在直至階導(dǎo)數(shù)，則有，</p><p><b>　　即。</b></p><p><b>　　證明：設(shè)<

29、/b></p><p><b>　　，，</b></p><p><b>　　現(xiàn)在只要證</b></p><p><b>　　由可知，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　并易

30、知</b></p><p>　　因?yàn)榇嬖?，所以在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)。于是，當(dāng)且時(shí)，允許接連使用洛必達(dá)（L'Hospital）法則次，得到</p><p>　　所以定理2.1成立。</p><p>　　定理2.2：若函數(shù)在上存在直至階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在內(nèi)存在階導(dǎo)函數(shù)，則對(duì)任意給定的，至少存在一點(diǎn)，使得證明：作輔助函數(shù)</p>&l

31、t;p><b>　　，</b></p><p>　　所以要證明的（1）式即為</p><p>　　不妨設(shè)，則與在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且</p><p>　　又因，所以由柯西中值定理證得</p><p><b>　　其中</b></p><p><b>　　所以定

32、理2.2成立</b></p><p><b>　　三、泰勒公式的應(yīng)用</b></p><p>　　泰勒公式不僅在極限和不等式證明中能解決許多問(wèn)題，同時(shí)也是研究分析數(shù)學(xué)的重要工具。其原理是很多函數(shù)都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式來(lái)研究函數(shù)近似值式和判斷級(jí)數(shù)收斂性的問(wèn)題。因此泰勒公式在數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用中是一種重要的應(yīng)用工具，我們必須掌握它，用泰勒公式這一知識(shí)

33、解決更多的數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題。</p><p>　　（一）利用泰勒公式求極限</p><p>　　為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算,有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式來(lái)代替該項(xiàng),使得原來(lái)函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理式的極限,就能簡(jiǎn)捷地求出。</p><p>　　例1 求極限 </p><p>　　分析：此為型極限,若用羅比達(dá)法求解，則很麻煩,這時(shí)可將和分別用泰勒展開(kāi)

34、式代替,則可簡(jiǎn)化此比式。</p><p><b>　　解 ： 由,得</b></p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　于是</b></p><p><b>　　例2 求極限 </b></p><p>

35、　　解： 用(1.11)后，有</p><p>　　可以想象，若用洛比達(dá)法則，將是非常麻煩的。</p><p><b>　　求極限</b></p><p><b>　　例3 求極限 </b></p><p><b>　　解： </b></p><

36、;p>　?。ǘ├锰├展脚袛嗪瘮?shù)的極值</p><p>　　例4 (極值的第二充分條件)設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo),在處二階可導(dǎo),且,.</p><p>　　(i)若,則在取得極大值.</p><p>　　(ii) 若,則在取得極小值.</p><p>　　證明 ： 由條件，可得f在處的二階泰勒公式</p><p

37、><b>　　.</b></p><p><b>　　由于,因此</b></p><p><b>　　.(*)</b></p><p>　　又因,故存在正數(shù),當(dāng)時(shí),與同號(hào).所以,當(dāng)時(shí),(*)式取負(fù)值,從而對(duì)任意有</p><p><b>　　,</b>

38、;</p><p>　　即在取得極大值.同樣對(duì),可得在取得極小值.</p><p>　?。ㄈ├锰├展脚卸◤V義積分?jǐn)可⑿?lt;/p><p>　　在判定廣義積分?jǐn)可⑿詴r(shí), 通常選取廣義積分進(jìn)行比較, 在此通過(guò)研究無(wú)窮小量的階來(lái)有效地選中的值，從而簡(jiǎn)單地判定的斂散性（注意到：如果得收斂，則得收斂）。</p><p>　　例5 廣義積分的斂散性

39、. </p><p><b>　　解 ： </b></p><p>　　因此，，即是的階，而收斂，故收斂，從而。</p><p>　　例6 廣義積分是否收斂？</p><p>　　解: </p><p>　　是的一階無(wú)窮大量，又發(fā)散，也發(fā)散。</p&

40、gt;<p>　?。ㄋ模├锰├展阶C明中值定理</p><p>　　接下來(lái)，我們通過(guò)例題來(lái)說(shuō)明，泰勒公式是如何證明中值公式的。</p><p>　　例7 設(shè)函數(shù)在上三階可導(dǎo)，試證：存在，使</p><p><b>　　。</b></p><p>　　證明 ： 設(shè)為使下式成立的實(shí)數(shù)：</p>

41、<p><b>　　。</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　。</b></p><

42、p>　　根據(jù)羅爾定理，使，即</p><p><b>　　而將在展開(kāi)有：</b></p><p><b>　　。</b></p><p>　　其中，比較得，其中。</p><p>　　例8 設(shè)在上有二階導(dǎo)數(shù)。試證：，使得</p><p><b>　　(1)&

43、lt;/b></p><p><b>　　證明：</b></p><p>　　法1 對(duì)函數(shù)利用上例結(jié)果，或重復(fù)上例的證明即得。</p><p>　　法2 將函數(shù)在點(diǎn)處按泰勒公式展開(kāi)，記，則</p><p><b>　　，</b></p><p><b>

44、;　　，</b></p><p><b>　　其中。于是</b></p><p><b>　　(2)</b></p><p>　　注意到導(dǎo)函數(shù)的介值性，，使得</p><p><b>　　，</b></p><p>　　代入(2)式即得欲證的

45、式(1)。</p><p>　　法3 記，在泰勒展開(kāi)式</p><p>　　兩端，同時(shí)取上的積分。注意右端第二項(xiàng)積分為0.第三項(xiàng)的積分，由于導(dǎo)數(shù)有介值性，第一積分中值定理成立：，使得</p><p>　　因此(3.1)式成立。</p><p>　　（五）利用泰勒公式求行列式的值</p><p>　　若一個(gè)行列式可看做

46、的函數(shù)（一般是的n次多項(xiàng)式）,記作,按泰勒公式在某處展開(kāi),用這一方法可求得一些行列式的值.</p><p><b>　　例 9</b></p><p><b>　　求n階行列</b></p><p>　　D= （1） <

47、;/p><p>　　解 ： 記,按泰勒公式在z處展開(kāi)：</p><p><b>　　, （2）</b></p><p><b>　　易知</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　由（3）得,.<

48、/b></p><p>　　根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有</p><p>　　于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　… … … …</p><p>　　把以上各

49、導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有</p><p><b>　　若,有,</b></p><p><b>　　若,有.</b></p><p>　?。┨├展皆陉P(guān)于界的估計(jì)的應(yīng)用</p><p>　　我們?cè)跀?shù)學(xué)分析課文中學(xué)習(xí)知道了有些函數(shù)是有界的，有的有上節(jié)，而有的有下界，再結(jié)合泰勒公式的知識(shí)與泰勒公式的廣

50、泛應(yīng)用，這里我們探討泰勒公式關(guān)于界的估計(jì)，這里通過(guò)例題來(lái)分析界的估計(jì).</p><p>　　數(shù)學(xué)分析中，有很多計(jì)算都是涉及到函數(shù)的界的，接下來(lái)，我們就用泰勒公式對(duì)函數(shù)的界進(jìn)行估計(jì)。</p><p>　　例10 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，， 。</p><p><b>　　試證：當(dāng)時(shí)，。</b></p><p>

51、;<b>　　證明 ： 因</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　，</b></p><p

52、><b>　　。</b></p><p>　　例11 設(shè)函數(shù)在上三階可導(dǎo)，并且和在上有界，證明：和也在上有界。</p><p><b>　　證明 ： 因</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　取得</b><

53、/p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　兩式相減得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以</b><

54、/p><p><b>　　，，</b></p><p>　　其中 ，</p><p><b>　　同理兩式相加得</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　故和也在上有界。</b&

55、gt;</p><p>　　例12 設(shè)為二次可微函數(shù)</p><p>　　試證： ，且。表示。</p><p><b>　　證明 ：</b></p><p>　　法1 （在與之間），</p><p><b>　?。ㄔ谂c之間），</b></p>&

56、lt;p><b>　　二式相減</b></p><p>　　即 ，</p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　即 對(duì)一切成立。</p><p&g

57、t;　　故判別式 ，</p><p>　　即 對(duì)一切成立。</p><p>　　所以 ，且。</p><p>　　法2 (1)式可改寫成</p><p>　　， (2)</p><p>　　而 為常數(shù)。所以(9)式右

58、端作為的函數(shù)時(shí)，當(dāng) 取最小。令，代入得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以 。</b></p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析[M]. 高等教育出版社. 2001.&l

59、t;/p><p>　　[2] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)[M]. 高等教育出版社. 2007.4.</p><p>　　[3] 譚康. 泰勒公式家泰勒級(jí)數(shù)之妙用[J]. 高等數(shù)學(xué)研究. 2010.3.</p><p>　　[4] 劉玉璉 傅沛仁. 數(shù)學(xué)分析講義[M]. 人民教育出版社. 2000.</p><p>　　[5] 張自蘭 崔福蔭. 高