(no.1)2013年高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 構(gòu)造函數(shù)證明不等式

1、<p>　　本文為自本人珍藏 版權(quán)所有 僅供參考</p><p><b>　　構(gòu)造函數(shù)證明不等式</b></p><p>　　函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，是聯(lián)系各個(gè)數(shù)學(xué)分支的橋梁和紐帶.在不等式的證明中，我們可根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，建立起適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，利用函數(shù)的單調(diào)性、凸性等性質(zhì)，靈活、巧妙地證明不等式.</p><p><b

2、>　　二次函數(shù)型：</b></p><p><b>　　作差構(gòu)造法.</b></p><p>　　例1.(新教材第二冊(cè)（上）（以下同）習(xí)題1（2）)求證:</p><p>　　分析:將視為變量,考察函數(shù)由于該二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上,且故結(jié)論獲證.</p><p>　　例2.( 教材復(fù)習(xí)參考題6)設(shè)為的三

3、條邊,求證:＜.</p><p>　　分析:構(gòu)造函數(shù)∵圖象開(kāi)口向上,對(duì)稱軸.∴在上單調(diào)遞減.∵為的三條邊,∴＜＜ (不妨設(shè))∴.</p><p><b>　　∵</b></p><p><b>　　∴即結(jié)論成立.</b></p><p><b>　　判別式構(gòu)造法.</b><

4、;/p><p>　　例3.(教材例1)已知都是實(shí)數(shù),且求證:</p><p>　　分析：所證結(jié)論即是故可構(gòu)造函數(shù)</p><p><b>　　由于</b></p><p>　　當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào).又因?yàn)榈膱D象開(kāi)口向上,故必有 結(jié)論成立.</p><p>　　練習(xí)1.(教材練習(xí)2)求證:</p&

5、gt;<p>　　點(diǎn)撥:證法同例3.該題是柯西不等式的特殊情形.其一般形式是:</p><p><b>　　可構(gòu)造函數(shù)證之.</b></p><p>　　練習(xí)2.(教材習(xí)題6)已知是不相等的兩個(gè)正數(shù),求證:</p><p>　　點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)證之.</p><p>　　練習(xí)3. (教材習(xí)題7)已知都是正數(shù),

6、且,求證:</p><p>　　點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)證之.</p><p>　　練習(xí)4. (教材復(fù)習(xí)參考題5)求證:</p><p>　　點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)證之.</p><p><b>　　分式函數(shù)型:</b></p><p>　　例4. (教材例2)已知都是正數(shù),并且求證:</p><

7、;p>　　分析:構(gòu)造函數(shù)由于當(dāng)時(shí)，故在上是增函數(shù).∵在處右連續(xù)，∴在上是增函數(shù).∵ ∴ 即</p><p>　　例5. (教材例3)已知求證:</p><p>　　分析:構(gòu)造函數(shù)由于當(dāng)時(shí)，</p><p>　　故在上是增函數(shù).∵在處右連續(xù)，在處左連續(xù).</p><p>　　∴在上是增函數(shù).∵ ∴ ,即, 即</p><

8、;p>　　例6. (教材練習(xí)5)已知都是正數(shù),且求證:</p><p>　　分析:聯(lián)想定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式,可寫成故可構(gòu)造函數(shù) ∵當(dāng)時(shí)，</p><p>　　∴在上是增函數(shù). ∵在處右連續(xù)， ∴在上是增函數(shù).又∵∴而故原不等式成立. </p><p>　　練習(xí)5. (教材練習(xí)4)已知求證:</p><p><b>　　

9、點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)</b></p><p>　　練習(xí)6. (教材習(xí)題9)已知的三邊長(zhǎng)分別是.且為正數(shù).求證:</p><p>　　點(diǎn)撥:構(gòu)造函數(shù)易證為增函數(shù).由于故即而故有</p><p>　　練習(xí)7. (教材習(xí)題4)求證:</p><p>　　分析:構(gòu)造函數(shù)證之.</p><p><b>　　冪函數(shù)

10、型：</b></p><p>　　例7 .如果都是正數(shù)，且求證： </p><p><b>　　分析：</b></p><p>　　考察函數(shù) (nN*)在上的單調(diào)性，顯然在上為增函數(shù).</p><p><b>　　若,則, ,所以；</b></p><p><

11、;b>　　若,則, ,所以。</b></p><p><b>　　所以</b></p><p>　　利用函數(shù)的單調(diào)性證法可以將上述結(jié)論推廣為:</p><p>　　若a、b是正數(shù)且ab,求證： (m,nN*)</p><p><b>　　一次函數(shù)型：</b></p>

12、<p><b>　　例8.設(shè)求證:</b></p><p><b>　　分析:構(gòu)造函數(shù)</b></p><p><b>　　∵</b></p><p>　　∴對(duì)任意恒有故原不等式成立.</p><p><b>　　三角函數(shù)型：</b></p

13、><p><b>　　例9.(同例3)</b></p><p><b>　　分析:設(shè) 則</b></p><p><b>　　練習(xí)8.設(shè)且求證:</b></p><p>　　點(diǎn)撥:設(shè)其中以下略.</p><p>　　六、 指數(shù)函數(shù)型:</p>

14、<p>　　例10．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列，其中， ， ＜＜，證明當(dāng)時(shí)，<.</p><p>　　分析: 設(shè)數(shù)列的公差為數(shù)列的公比為 由條件可得，即.所以，當(dāng)時(shí)，</p><p><b>　?。?lt;/b></p><p>　　這兒,我們用二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮,完成了證明. </p><p>　　七、構(gòu)造函

15、數(shù),利用函數(shù)圖象的凸性：</p><p>　　例11. (教材例6)求證+<2</p><p>　　分析:考察函數(shù)f(x)=的圖象,特征是上凸函數(shù).對(duì)任意</p><p><b>　　且都有：<.</b></p><p><b>　　所以,</b></p><p>

16、;<b>　　即（+）<.</b></p><p><b>　　兩條結(jié)論:</b></p><p>　　（1）上凸函數(shù)，區(qū)間中點(diǎn)相同時(shí)，兩端“距離”區(qū)間中點(diǎn)越近兩端點(diǎn)的函數(shù)</p><p><b>　　值之和越大.</b></p><p><b>　　例:及&l

17、t;/b></p><p>　　(2)下凸函數(shù),區(qū)間中點(diǎn)相同時(shí),兩端“距離”區(qū)間中點(diǎn)越近,兩端點(diǎn)函數(shù)值之和越小.</p><p>　　練習(xí)9.已知:,, 若 且,試判斷與的大小，并加以證明（94年高考理科試題變式題）.</p><p>　　練習(xí)10.已知:,若,試比較與的大小(94年高考文科試題).</p><p>　　練習(xí)11. (教

18、材習(xí)題5)求證:</p><p>　　以上表明,若能清楚不等式所反映的圖象意義，就會(huì)給證明提供思路.</p><p>　　構(gòu)造連續(xù)函數(shù)，應(yīng)對(duì)含離散型變量的不等式問(wèn)題：</p><p>　　例12．（2001年全國(guó)理）已知是正整數(shù)，且﹤≤＜</p><p><b>　　證明＜.</b></p><p&g

19、t;<b>　　證明＞.</b></p><p>　　分析：（1）＜可化為：＜，即：＜.</p><p><b>　　構(gòu)造函數(shù).（＞）.</b></p><p><b>　　兩邊取對(duì)數(shù)，得：</b></p><p>　　當(dāng)時(shí),兩邊求導(dǎo)，得：＞</p><p&

20、gt;　　由于＞，故＞.這說(shuō)明在上是增函數(shù). ∵在處右連續(xù). ∴ 在上是增函數(shù). ∵≤＜. ∴＜.</p><p>　　即＜.整理，得：＜.</p><p>　?。?）不等式＞兩邊取對(duì)數(shù)，得：＞.</p><p><b>　　整理，得：＞.</b></p><p><b>　　構(gòu)造函數(shù).</b>

21、;</p><p><b>　　求導(dǎo)，得：.</b></p><p>　　當(dāng)時(shí),可得：＜＜，＞.</p><p>　　故＜.所以在上是減函數(shù). </p><p>　　∵在處右連續(xù). ∴在上是減函數(shù).</p><p>　　∵＜，∴ ＞.即＞.</p><p>

22、;<b>　　整理，得：＞.</b></p><p>　　注：不等式＞也可化為：＞.這時(shí)，可研究函數(shù)的單調(diào)性證之.</p><p>　　練習(xí)12.已知是正整數(shù)且≥.求證：＞.</p><p>　　點(diǎn)撥：不等式＞兩邊取自然對(duì)數(shù)，整理得：＞.</p><p><b>　　構(gòu)造函數(shù)可證之.</b><

23、/p><p>　　說(shuō)明:根據(jù)所構(gòu)造函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),我們將函數(shù)轉(zhuǎn)化為型或型,</p><p>　　方便了對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算.</p><p>　　不等式證明的數(shù)學(xué)模型，除本文介紹的函數(shù)模型外，還可建立向量模型、解析幾何模型、方程模型等，請(qǐng)讀者自行研究、總結(jié).</p><p>　　作者簡(jiǎn)介:陳兵,男,1976年10月26日出生,山東省滕州市人,中教二級(jí)