數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)-- iir數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)

1、<p>　　電氣與電子信息工程學(xué)院</p><p>　　數(shù)字信號(hào)處理課程設(shè)計(jì)報(bào)告</p><p>　　設(shè)計(jì)題目： IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) </p><p>　　專業(yè)班級(jí)： </p><p>　　學(xué)生姓名： </p><p&

2、gt;　　學(xué) 號(hào)： </p><p>　　指導(dǎo)教師： </p><p>　　設(shè)計(jì)時(shí)間： 2013.01.07－2013.01.11 </p><p>　　IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)報(bào)告</p><p>　　一、設(shè)計(jì)的作用、目的</p><p>　　

3、目的：課程設(shè)計(jì)是理論學(xué)習(xí)的延伸，是掌握所學(xué)知識(shí)的一種重要手段，對(duì)于貫徹理論聯(lián)系實(shí)際、提高學(xué)習(xí)質(zhì)量、塑造自身能力等于有特殊作用。本次課程設(shè)計(jì)一方面通過MATLAB仿真設(shè)計(jì)內(nèi)容，使我們加深對(duì)理論知識(shí)的理解，同時(shí)增強(qiáng)其邏輯思維能力，另一方面對(duì)課堂所學(xué)理論知識(shí)作一個(gè)總結(jié)和補(bǔ)充。</p><p>　　作用：加深對(duì)脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR濾波器數(shù)字濾波器基本方法的了解，熟悉這一設(shè)計(jì)的計(jì)算機(jī)編程。觀察用脈沖響應(yīng)不

4、變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器和響應(yīng)模擬濾波器的時(shí)域特性和頻域特性，比較所涉及的數(shù)字濾波器和響應(yīng)的模擬濾波器的頻域特性，觀察脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)中產(chǎn)生的頻域混淆現(xiàn)象。學(xué)會(huì)MATLAB的使用，掌握運(yùn)用MATLAB設(shè)計(jì)IIR低通濾波器。 熟悉Butterworth濾波器、Chebyshev濾波器和橢圓濾波器的頻率特性。</p><p><b>　　二、設(shè)計(jì)任務(wù)及要求</b></p>

5、<p>　　通過課程設(shè)計(jì)各環(huán)節(jié)的實(shí)踐，應(yīng)使學(xué)生達(dá)到如下要求：</p><p>　　1.掌握雙線性變換法及脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器以及窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器的原理、具體方法及計(jì)算機(jī)編程</p><p>　　2.觀察雙線性變換法、脈沖響應(yīng)不變法及窗函數(shù)法設(shè)計(jì)的濾波器的頻域特性，了解各種方法的特點(diǎn)</p><p>　　3.用MATLAB畫出三

6、種方法設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線，記錄帶寬和衰減量，檢查結(jié)果是否滿足要求。</p><p><b>　　三、設(shè)計(jì)內(nèi)容</b></p><p>　　已知通帶截止頻率,通帶最大衰減,阻帶截止頻率，阻帶最小衰減，T=1ms，按照以上技術(shù)要求，用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)巴特沃斯數(shù)字低通濾波器，并觀察所設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器的幅頻特性曲線。</p><p&

7、gt;<b>　　四、設(shè)計(jì)原理</b></p><p>　　4.1數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)原理</p><p>　　數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)</p><p>　　作為線形時(shí)不變系統(tǒng)的數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函數(shù)來表示，而實(shí)現(xiàn)一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)表達(dá)式所表示的系統(tǒng)可以用兩種方法：一種方法是采用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn)；另一種方法是用加法器、乘法器、和延遲器等元件設(shè)計(jì)出專用的數(shù)

8、字硬件系統(tǒng)，即硬件實(shí)現(xiàn)。不論軟件實(shí)現(xiàn)還是硬件實(shí)現(xiàn)，在濾波器設(shè)計(jì)過程中，由同一系統(tǒng)函數(shù)可以構(gòu)成很多不同的運(yùn)算結(jié)構(gòu)。對(duì)于無限精度的系數(shù)和變量，不同結(jié)構(gòu)可能是等效的，與其輸入和輸出特性無關(guān)；但是在系數(shù)和變量精度是有限的情況下，不同運(yùn)算結(jié)構(gòu)的性能就有很大的差異。因此，有必要對(duì)離散時(shí)間系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有一基本認(rèn)識(shí)。</p><p>　　IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)</p><p>　　一個(gè)數(shù)字濾波器可以用系統(tǒng)函

9、數(shù)表示為： </p><p>　　(2-1) </p><p>　　由這樣的系統(tǒng)函數(shù)可以得到表示系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系的常系數(shù)線形差分程為： </p><p><b>　　(2-2) </b></p><p>　　可見數(shù)字濾波器的功能就是把輸入序列x(n)通過一定的運(yùn)算變換成輸出序列y(n)。不同的

10、運(yùn)算處理方法決定了濾波器實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的不同。無限沖激響應(yīng)濾波器的單位抽樣響應(yīng)h(n)是無限長(zhǎng)的，其差分方程如(2-2)式所示，是遞歸式的，即結(jié)構(gòu)上存在著輸出信號(hào)到輸入信號(hào)的反饋，其系統(tǒng)函數(shù)具有(2-1)式的形式，因此在z平面的有限區(qū)間(0<︱z︱<∞)有極點(diǎn)存在。</p><p>　　前面已經(jīng)說明，對(duì)于一個(gè)給定的線形時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，有著各種不同的等效差分方程或網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。由于乘法是一種耗時(shí)運(yùn)算，而每個(gè)

11、延遲單元都要有一個(gè)存儲(chǔ)寄存器，因此采用最少常熟乘法器和最少延遲支路的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)是通常的選擇，以便提高運(yùn)算速度和減少存儲(chǔ)器。然而，當(dāng)需要考慮有限寄存器長(zhǎng)度的影響時(shí)，往往也采用并非最少乘法器和延遲單元的結(jié)構(gòu)。</p><p>　　IIR濾波器實(shí)現(xiàn)的基本結(jié)構(gòu)有：</p><p>　　IIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)；</p><p>　　優(yōu)點(diǎn)：延遲線減少一半，變?yōu)镹 個(gè)，可節(jié)省寄存

12、器或存儲(chǔ)單元；</p><p>　　缺點(diǎn)：其它缺點(diǎn)同直接I型。</p><p>　　通常在實(shí)際中很少采用上述兩種結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)高階系統(tǒng)，而是把高階變成一系列不同組合的低階系統(tǒng)(一、二階)來實(shí)現(xiàn)。</p><p>　　IIR濾波器的級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)；</p><p><b>　　特點(diǎn)：</b></p><p>

13、　　系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，只需一個(gè)二階節(jié)系統(tǒng)通過改變輸入系數(shù)即可完成； </p><p>　　極點(diǎn)位置可單獨(dú)調(diào)整； </p><p>　　運(yùn)算速度快(可并行進(jìn)行)； </p><p>　　各二階網(wǎng)絡(luò)的誤差互不影響，總的誤差小，對(duì)字長(zhǎng)要求低。 </p><p><b>　　缺點(diǎn)：</b></p><p>　

14、　不能直接調(diào)整零點(diǎn)，因多個(gè)二階節(jié)的零點(diǎn)并不是整個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)需要準(zhǔn)確的傳輸零點(diǎn)時(shí)，級(jí)聯(lián)型最合適。</p><p>　　(3)IIR濾波器的并聯(lián)型結(jié)構(gòu)。</p><p><b>　　優(yōu)點(diǎn)：</b></p><p>　　簡(jiǎn)化實(shí)現(xiàn)，用一個(gè)二階節(jié)，通過變換系數(shù)就可實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)； </p><p>　　極、零點(diǎn)可單獨(dú)控制、調(diào)

15、整，調(diào)整α1i、α2i只單獨(dú)調(diào)整了第i對(duì)零點(diǎn)，調(diào)整β1i、β2i則單獨(dú)調(diào)整了第i對(duì)極點(diǎn)； </p><p>　　各二階節(jié)零、極點(diǎn)的搭配可互換位置，優(yōu)化組合以減小運(yùn)算誤差； </p><p><b>　　可流水線操作。 </b></p><p><b>　　缺點(diǎn)：</b></p><p>　　二階階電

16、平難控制，電平大易導(dǎo)致溢出，電平小則使信噪比減小。 </p><p>　　a、直接型 b、并聯(lián)型</p><p><b>　　c、串聯(lián)型</b></p><p>　　圖2-1、IIR濾波器的基本結(jié)構(gòu)</p><p>　　數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)的時(shí)域特

17、性，可分為兩種，即無限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(IIR)濾波器和有限長(zhǎng)沖激響應(yīng)(FIR)濾波器。IIR濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時(shí)間沖激響應(yīng)。這種濾波器一般需要用遞歸模型來實(shí)現(xiàn)，因而有時(shí)也稱之為遞歸濾波器。FIR濾波器的沖激響應(yīng)只能延續(xù)一定時(shí)間，在工程實(shí)際中可以采用遞歸的方式實(shí)現(xiàn)，也可以采用非遞歸的方式實(shí)現(xiàn)。數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有多種，如雙線性變換法、窗函數(shù)設(shè)計(jì)法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。隨著MATLAB軟件尤其是MATLAB的信

18、號(hào)處理工作箱的不斷完善，不僅數(shù)字濾波器的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)有了可能，而且還可以使設(shè)計(jì)達(dá)到最優(yōu)化。</p><p>　　數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的基本步驟如下：</p><p><b>　　(1)確定指標(biāo)</b></p><p>　　在設(shè)計(jì)一個(gè)濾波器之前，必須首先根據(jù)工程實(shí)際的需要確定濾波器的技術(shù)指標(biāo)。在很多實(shí)際應(yīng)用中，數(shù)字濾波器常常被用來實(shí)現(xiàn)選頻操作。因此，

19、指標(biāo)的形式一般在頻域中給出幅度和相位響應(yīng)。幅度指標(biāo)主要以兩種方式給出。第一種是絕對(duì)指標(biāo)。它提供對(duì)幅度響應(yīng)函數(shù)的要求，一般應(yīng)用于FIR濾波器的設(shè)計(jì)。第二種指標(biāo)是相對(duì)指標(biāo)。它以分貝值的形式給出要求。在工程實(shí)際中，這種指標(biāo)最受歡迎。對(duì)于相位響應(yīng)指標(biāo)形式，通常希望系統(tǒng)在通頻帶中具有線性相位。運(yùn)用線性相位響應(yīng)指標(biāo)進(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)具有如下優(yōu)點(diǎn)：①只包含實(shí)數(shù)算法，不涉及復(fù)數(shù)運(yùn)算；②不存在延遲失真，只有固定數(shù)量的延遲；③長(zhǎng)度為N的濾波器(階數(shù)為N-1)，

20、計(jì)算量為N/2數(shù)量級(jí)。因此，本文中濾波器的設(shè)計(jì)就以線性相位FIR濾波器的設(shè)計(jì)為例。</p><p><b>　　(2)逼近</b></p><p>　　確定了技術(shù)指標(biāo)后，就可以建立一個(gè)目標(biāo)的數(shù)字濾波器模型。通常采用理想的數(shù)字濾波器模型。之后，利用數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)出一個(gè)實(shí)際濾波器模型來逼近給定的目標(biāo)。</p><p>　　(3)性能分析

21、和計(jì)算機(jī)仿真</p><p>　　上兩步的結(jié)果是得到以差分或系統(tǒng)函數(shù)或沖激響應(yīng)描述的濾波器。根據(jù)這個(gè)描述就可以分析其頻率特性和相位特性，以驗(yàn)證設(shè)計(jì)結(jié)果是否滿足指標(biāo)要求；或者利用計(jì)算機(jī)仿真實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)的濾波器，再分析濾波結(jié)果來判斷。</p><p><b>　　濾波器的性能指標(biāo)</b></p><p>　　我們?cè)谶M(jìn)行濾波器設(shè)計(jì)時(shí)，需要確定其性能指標(biāo)。

22、一般來說，濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征。以低通濾波器特性為例，頻率響應(yīng)有通帶、過渡帶及阻帶三個(gè)范圍。</p><p>　　在通帶內(nèi)：  1- AP≤| H(ejω)| ≤1 |ω|≤ωc</p><p>　　在阻帶中： |H(ejω)| ≤ Ast ωst ≤|ω|≤ωc</p><p&

23、gt;　　其中ωc 為通帶截止頻率, ωst為阻帶截止頻率，Ap為通帶誤差, Ast為阻帶誤差。 </p><p>　　與模擬濾波器類似，數(shù)字濾波器按頻率特性劃分為低通、高通、帶通、帶阻、全通等類型，由于數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)是周期性的，周期為2π。各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應(yīng)如圖所示：</p><p>　　圖2-7、 各種理想數(shù)字濾波器的幅度頻率響應(yīng)</p>&

24、lt;p>　　IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法</p><p>　　目前，IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。模擬濾波器設(shè)計(jì)已經(jīng)有了一套相當(dāng)成熟的方法，它不但有完整的設(shè)計(jì)公式，而且還有較為完整的圖表供查詢，因此，充分利用這些已有的資源將會(huì)給數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)帶來很大方便，IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟是：</p><p>　　(1)按一定規(guī)則將給出的數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)

25、轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)；</p><p>　　(2)根據(jù)轉(zhuǎn)換后的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器H(s)；</p><p>　　(3)在按一定規(guī)則將H(s)轉(zhuǎn)換為H(z)。</p><p>　　若所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器是低通的，那么上述設(shè)計(jì)工作可以結(jié)束，若所設(shè)計(jì)的是高通、帶通或者帶阻濾波器，那么還有步驟：</p><p>　　(4)將高通、帶通或者

26、帶阻數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)先轉(zhuǎn)化為低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)，然后按上述步驟(2)設(shè)計(jì)出模擬低通濾波器H(s)，再由沖擊響應(yīng)不變法或雙線性變換將H(s)轉(zhuǎn)換為所需的H(z)。</p><p>　　s - z 映射的方法有：沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法、雙線性變換法等。下面討論雙線性變換法。</p><p>　　雙線性變換法[8]是指首先把s 平面壓縮變換到某一中介平面s1 的一條橫帶(寬度為2π

27、T,即從- πT到πT) ,然后再利用的關(guān)系把s1平面上的這條橫帶變換到整個(gè)z 平面。這樣s 平面與z 平面是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系, 消除了多值變換性, 也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象。</p><p>　　s 平面到z 平面的變換可采用 (2-5)</p><p><b>　　(2-6)</b></p><p><

28、b>　　令 ，有：</b></p><p><b>　　(2-7)</b></p><p>　　從s1 平面到z 平面的變換,即 (2-8)</p><p>　　代入上式，得到： (2-9)</p>

29、<p>　　一般來說，為使模擬濾波器的某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對(duì)應(yīng)關(guān)系，可引入代定常數(shù)c， (2-10)</p><p>　　則 (2-11) </p><p>　　這種s 平面與z 平面間的單值映射關(guān)系就是雙

30、線性變換。有了雙線性變換，模擬濾波器的數(shù)字化只須用進(jìn)行置換。</p><p>　　4.2變換方法的原理</p><p>　　脈沖響應(yīng)不變法介紹：</p><p>　　脈沖響應(yīng)不變法是實(shí)現(xiàn)模擬濾波器數(shù)字化的一種直觀而常用的方法。它特別</p><p>　　適合于對(duì)濾波器的時(shí)域特性有一定要求的場(chǎng)合。</p><p>　　按

31、照z=eST的關(guān)系，每一個(gè)s平面上寬度為2π/T的水平條帶將重迭映射到z平面上。因此脈沖響應(yīng)不變法將s平面映射到z平面，不是一個(gè)簡(jiǎn)單的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。對(duì)于高采樣頻率(T小)的情況，數(shù)字濾波器在頻域可能有極高的增益。為此我們采用</p><p><b>　　(8) </b></p><p><b>　　(9) </b></p><

32、;p>　　在脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)中，模擬頻率與數(shù)字頻率之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系是線性的(ω= ?*T)。同時(shí)，它可以保持脈沖響應(yīng)不變，h(t)=ha(nT)。因此，這一方法往往用于低通時(shí)域數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)及相應(yīng)的模擬系統(tǒng)數(shù)字仿真設(shè)計(jì)。</p><p>　　2、雙線性變換法介紹：</p><p>　　脈沖響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是頻譜交疊產(chǎn)生的混淆，這是從S平面到Z平面的標(biāo)準(zhǔn)變換z＝eST的多值對(duì)應(yīng)關(guān)系

33、導(dǎo)致的,為了克服這一缺點(diǎn)，設(shè)想變換分為兩步： </p><p>　　第一步：將整個(gè)S平面壓縮到S1平面的一條橫帶里； </p><p>　　第二步：通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系將此橫帶變換到整個(gè)Z平面上去。 </p><p>　　由此建立S平面與Z平面一一對(duì)應(yīng)的單值關(guān)系，消除多值性，也就消除了混淆現(xiàn)象。</p><p>

34、　　為了將s平面的jΩ軸壓縮到s1平面jΩ軸上的一段上，可通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)：</p><p>　　這里C是待定常數(shù)，下面會(huì)講到用不同的方法確定C，可使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同頻率點(diǎn)有對(duì)應(yīng)關(guān)系。 </p><p>　　經(jīng)過這樣的頻率變換，當(dāng)Ω1由時(shí) Ω由 </p><p>　　即映射了整

35、個(gè)jΩ軸。</p><p>　　將這一關(guān)系解析延拓至整個(gè)s平面，則得到s平面→s1平面的映射關(guān)系：</p><p>　　再將s1平面通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到z平面，即令z=es1T,通常取C=2/T.</p><p>　　最后得S平面與Z平面的單值映射關(guān)系： </p><p>　　現(xiàn)在我們?cè)賮砜匆豢闯?shù)C的取值方法：</p>&

36、lt;p>　　雙線性換法的主要優(yōu)點(diǎn)是S平面與Z平面一一單值對(duì)應(yīng)，S平面的虛軸(整個(gè)jΩ)對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓的一周，S平面的Ω=0處對(duì)應(yīng)于Z平面的ω=0處，Ω=∞對(duì)應(yīng)ω→π即數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)終止于折迭頻率處，所以雙線性變換不存在混迭效應(yīng)。</p><p>　　上面講到，用不同的方法確定待定常數(shù)C，可以使模擬濾波器的頻率特性與數(shù)字濾波器的頻率特性在不同頻率點(diǎn)有對(duì)應(yīng)關(guān)系。也就是說，常數(shù)C可以調(diào)節(jié)頻帶間的對(duì)應(yīng)關(guān)

37、系。確定C的常用方法有兩種：</p><p>　　保證模擬濾波器的低頻特性逼近數(shù)字濾波器的低頻特性。此時(shí)兩者在</p><p>　　低頻處有確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即</p><p>　　因?yàn)棣负挺囟急容^小，所以有</p><p>　　另外，根據(jù)歸一化數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω的關(guān)系，ω=Ω/=ΩT，所以有Ω=cΩT/2，所以，c=2/T。</p&

38、gt;<p>　?、?保證數(shù)字濾波器的某一特定頻率，如截止頻率，與模擬濾波器的某一待定頻率Ωc嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，即</p><p>　　當(dāng)截止頻率較低時(shí)，有C≈Ωc/(ΩcT/2)=2/T，所以一般取C=2T。</p><p>　　現(xiàn)在我們看看，這一變換是否符合我們一開始所提出的由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，從S平面到Z平面映射變換的二個(gè)基本要求：</p><p&

39、gt;<b>　　當(dāng)時(shí)，代入① </b></p><p>　　即S的虛軸映射到Z平面正好是單位圓。</p><p>　?、?代入z表達(dá)式，得</p><p>　　當(dāng)σ<0時(shí)，∣z∣<1; σ>0時(shí)，∣z∣>1 ，即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波

40、器也是穩(wěn)定的?？辞懊骐p線性變換的映射關(guān)系圖。 </p><p><b>　　五、設(shè)計(jì)步驟</b></p><p>　　目前，IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)最通用的方法是借助于模擬濾波器的設(shè)計(jì)方法。其設(shè)計(jì)步驟是：</p><p>　　1.先設(shè)計(jì)過渡模擬濾波器得到系統(tǒng)函數(shù)Ha（s）。</p><p>　　然后將H(s)按某種方法轉(zhuǎn)換成

41、數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H（z），由此可見，設(shè)計(jì)的關(guān)鍵的問題就是找到這種轉(zhuǎn)換關(guān)系，將S平面上的H（s）轉(zhuǎn)換成Z平面的H（z）。為了保證轉(zhuǎn)換關(guān)系后的H（z）穩(wěn)定且滿足技術(shù)指標(biāo)要求，對(duì)轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求：</p><p>　　1.因果穩(wěn)定的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。我們知道，模擬濾波器因果穩(wěn)定的條件是系統(tǒng)函數(shù)H（s）的極點(diǎn)全部位于S平面的左半平面；數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定的條件是H（z）的極點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)

42、。因此轉(zhuǎn)換關(guān)系使S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)。</p><p>　　2.數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器的頻響特性，S平面的虛軸映射為Z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間呈線性關(guān)系。 </p><p>　　IIR數(shù)字濾波器是一種離散時(shí)間系統(tǒng),其系統(tǒng)函數(shù)為</p><p>　　(式3-1)假設(shè)M≤N，當(dāng)M>N時(shí),系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個(gè)IIR的子系統(tǒng)和一個(gè)(

43、M-N)的</p><p>　　FIR子系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)實(shí)際上是求解濾波器的系數(shù)ak和bk,它是數(shù)學(xué)上的一種逼近問題,即在規(guī)定意義上(通常采用最小均方誤差準(zhǔn)則)去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。</p><p>　　2.保證模擬濾波器的低頻特性逼近數(shù)字濾波器的低頻特性。此時(shí)兩者在</p><

44、;p>　　低頻處有確切的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即</p><p>　　因?yàn)棣负挺囟急容^小，所以有</p><p>　　另外，根據(jù)歸一化數(shù)字頻率ω與模擬頻率Ω的關(guān)系，ω=Ω/=ΩT，所以有Ω=cΩT/2，所以，c=2/T。</p><p>　　② 保證數(shù)字濾波器的某一特定頻率，如截止頻率，與模擬濾波器的某一待定頻率Ωc嚴(yán)格對(duì)應(yīng)，即</p><p>　

45、　當(dāng)截止頻率較低時(shí)，有C≈Ωc/(ΩcT/2)=2/T，所以一般取C=2T。</p><p>　　現(xiàn)在我們看看，這一變換是否符合我們一開始所提出的由模擬濾波器設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器時(shí)，從S平面到Z平面映射變換的二個(gè)基本要求：</p><p><b>　　當(dāng)時(shí)，代入① </b></p><p>　　即S的虛軸映射到Z平面正好是單位圓。</p>

46、;<p>　?、?代入z表達(dá)式，得</p><p>　　當(dāng)σ<0時(shí)，∣z∣<1; σ>0時(shí)，∣z∣>1 ，即s左半平面映射在單位圓內(nèi)，s右半平面映射在單位圓外，因此穩(wěn)定的模擬濾波器通過雙線性變換后，所得到的數(shù)字濾波器也是穩(wěn)定的?？辞懊骐p線性變換的映射關(guān)系圖。 </p><p>　　數(shù)字低通濾波器MATLAB編程及幅頻特性曲線</p>&l

47、t;p>　　6.1MATLAB語言編程</p><p>　　wp=400*pi;</p><p>　　ws=600*pi;</p><p><b>　　Ap=1;</b></p><p><b>　　As=25;</b></p><p>　　T=0.001;fs=1/T

48、;</p><p>　　[N,Wn]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');</p><p>　　[b,a]=butter(N,Wn,'s');</p><p>　　[numd,dend]=bilinear(b,a,fs);</p><p>　　w=linspace(0,pi,500);</p

49、><p>　　h=freqz(numd,dend,w);subplot(1,2,2);</p><p>　　plot(w,20*log10(abs(h)));xlabel('頻率');ylabel('幅度/dB');grid;</p><p>　　title('雙線性變換法')</p><p>　　

50、; wp=400*pi;</p><p>　　ws=600*pi;</p><p><b>　　Ap=1;</b></p><p><b>　　As=25;</b></p><p>　　T=0.001;fs=1/T;</p><p>　　T=0.001;fs=1/T;[N,W

51、n]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s');</p><p>　　[b,a]=butter(N,Wn,'s');</p><p>　　[numd,dend]=impinvar(b,a,fs);</p><p>　　w=linspace(0,pi,500);</p><p>　　h=freqz(num

52、d,dend,w);subplot(1,2,1);</p><p>　　plot(w,20*log10(abs(h)));xlabel('頻率');ylabel('幅度/dB');grid;</p><p>　　title('脈沖響應(yīng)不變法');</p><p>　　6.2 幅頻特性曲線</p><

53、p><b>　　優(yōu)缺點(diǎn)</b></p><p>　　脈沖響應(yīng)不變法的最大缺點(diǎn)是有頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，脈沖響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們?cè)诟哳l部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對(duì)高通和帶阻濾波器采用脈沖響應(yīng)不變法，就必須先對(duì)高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于

54、折疊頻率以上的頻率，然后再使用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會(huì)進(jìn)一步增加設(shè)計(jì)復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。</p><p>　　雙線性變換法與脈沖響應(yīng)不變法相比，其主要的優(yōu)點(diǎn)是避免了頻率響應(yīng)的混疊現(xiàn)象。這是因?yàn)镾平面與Z平面是單值的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。S平面整個(gè)jΩ軸單值地對(duì)應(yīng)于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關(guān)系。這個(gè)關(guān)系如式（1-8）所示，重寫如下：</p><p>　　上式表明，S平

55、面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關(guān)系，如圖4所示。</p><p>　　由圖4看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時(shí)，ω增長(zhǎng)得越來越慢，最后當(dāng)Ω→∞時(shí)，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會(huì)出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。</p><p>　　圖4雙線性變換法的頻率變換關(guān)系</

56、p><p>　　但是雙線性變換的這個(gè)特點(diǎn)是靠頻率的嚴(yán)重非線性關(guān)系而得到的，如式（1-8）及圖2所示。由于這種頻率之間的非線性變換關(guān)系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個(gè)線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變

57、換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對(duì)于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會(huì)有畸變，如圖5所示。</p><p><b>　　八、體會(huì)及建議</b></p><p>　　在本次課程設(shè)計(jì)中，經(jīng)過多次的運(yùn)用matlab編程，加深了對(duì)matlab語言的認(rèn)識(shí)。同時(shí)通過通過設(shè)計(jì)雙線性變換法球IIR數(shù)字低通濾波器的設(shè)計(jì)又一次的加深了對(duì)以前知識(shí)的理解。以前在老師您將這方面的知識(shí)時(shí)聽的不是很懂，經(jīng)過這

58、次的課程設(shè)計(jì)，自己在這方面的認(rèn)識(shí)又進(jìn)入了一個(gè)新的境界！在這次課程設(shè)計(jì)中，我先在圖書館里查找了相關(guān)的書籍，如MATLAB類的編程書籍，各類數(shù)據(jù)處理類的書籍以及心電信號(hào)的書籍等，即豐富了自己的知識(shí)范圍，又對(duì)與自己所學(xué)的知識(shí)有了更深的了解和認(rèn)識(shí)，同時(shí)也對(duì)它的應(yīng)用有了一個(gè)大體的認(rèn)識(shí)。這樣將會(huì)更加激勵(lì)我好好學(xué)習(xí)相關(guān)的知識(shí)，不斷的將所學(xué)的知識(shí)用于實(shí)踐。于實(shí)踐中牢牢的掌握它。這讓我感受到只有在了解課本知識(shí)的前提下，才能更好的應(yīng)用這個(gè)工具；并且熟練的應(yīng)

59、用MATLAB也可以很好的加深我對(duì)課程的理解，方便我的思維。這次設(shè)計(jì)使我了解了MATLAB的使用方法，學(xué)會(huì)分析濾波器的優(yōu)劣和性能，提高了分析和動(dòng)手實(shí)踐能力。同時(shí)我相信，進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)MATLAB的學(xué)習(xí)與研究對(duì)我今后的學(xué)習(xí)將會(huì)起到很大的幫助。</p><p>　　在這次設(shè)計(jì)過程中，我對(duì)數(shù)字信號(hào)處理有了更深的了解，體會(huì)了學(xué)以致用、突出自己勞動(dòng)成果的喜悅心情，從中發(fā)現(xiàn)自己平時(shí)學(xué)習(xí)的不足和薄弱環(huán)節(jié)，從而加以彌補(bǔ)。通過自己動(dòng)

60、手實(shí)踐,學(xué)會(huì)了很多嵌入式綜合方面的知識(shí).同時(shí)也遇到了很多的問題,在發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的過程中,又得到了提高在設(shè)計(jì)的過程中，我也得到了我們?cè)O(shè)計(jì)小組的成員和很多同學(xué)的幫組。這也加強(qiáng)了我與其他同學(xué)合作的能力。查找資料的過程中我也增強(qiáng)自己學(xué)習(xí)的能力，這些都將讓我在以后的學(xué)習(xí)、生活和工作中受益匪淺。</p><p>　　總之通過本次的課程設(shè)計(jì)讓我收獲非常的大，不僅僅是知識(shí)層面的。同時(shí)還有合作精神！</p>&