數(shù)學(xué)專業(yè)本科畢業(yè)論文-矩陣特征多項式及特征值的一些應(yīng)用

1、<p>　　矩陣特征多項式及特征值的一些應(yīng)用</p><p><b>　　xxx</b></p><p>　　（xxxx大學(xué) xx xx xxxxx）</p><p>　　摘 要 在高等代數(shù)中我們學(xué)習(xí)了許多與矩陣特征多項式及特征值相關(guān)的知識，并且可以利用特征多項式及特征值來解決許多問題，而這篇論文的核心思想就是總結(jié)它在解題中的具體

2、運用. 這篇論文中借助矩陣特征多項式及特征值詳細(xì)敘述了有關(guān)矩陣零化、矩陣指數(shù)、基解矩陣以及矩陣的對角化，其中矩陣的對角化包括相似對角形與合同對角形，同時說明了實對稱矩陣相似與合同之間的關(guān)系，從而形成一個與之相關(guān)的知識系統(tǒng)并且能夠在解題中熟練地加以運用.</p><p>　　關(guān)鍵詞 矩陣零化；基解矩陣；合同；相似；對角化；若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形</p><p>　　The Application o

3、f Characteristic Polynomial and Characteristic Value of Matrix when Solving Mathematical Problems</p><p><b>　　xxx</b></p><p>　?。▁xxxuniversity xxx xxxx）</p><p>　　Abstr

4、act: We have studied so much knowledge about characteristic polynomial and eigenvalue of matrix in the advanced algebra teaching material that we can use such knowledge to save great numbers of mathematical problems. Bu

5、t how to use this knowledge when saving problems? Now, let us summarize its specific use about this knowledge, which are the core ideas of this paper. In this paper，with the help of characteristic polynomial and eigenva

6、lue of matrix，a lot of knowledge about zeroize matrix, </p><p>　　Keywords: Zeroize matrix; The base solution matrix; Similar; Jordan normal forms.</p><p><b>　　目 錄</b></p><

7、;p><b>　　前 言1</b></p><p><b>　　1 概念引入1</b></p><p>　　2 矩陣的零化3</p><p>　　3 矩陣指數(shù)及基解矩陣7</p><p>　　4 對角矩陣及矩陣的對角化10</p><p>　　4.1

8、 矩陣的相似對角形10</p><p>　　4.2 實對稱矩陣的合同對角形13</p><p>　　4.3 實對稱矩陣合同與相似之間的關(guān)系17</p><p>　　4.4 矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形19</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)21</b></p><p><b>　　致

9、 謝22</b></p><p><b>　　前 言</b></p><p>　　矩陣特征多項式及其特征值可謂是高等代數(shù)的骨干級內(nèi)容，在理論和應(yīng)用方面都具有重要意義，大多數(shù)重要的代數(shù)知識幾乎都利用到了矩陣特征多項式及其特征值中的知識和方法.在本篇論文中，首先以高等代數(shù)教材上有關(guān)矩陣特征多項式及特征值的基本定義出發(fā)來引入，然后在論文的第一部分介紹了一個

10、有關(guān)矩陣零化的定理，哈密頓—凱萊（Hamilton—Cayley）定理，然后從這個定理出發(fā)，得到它的兩個推論，其中一個涉及到矩陣指數(shù)，以此為出發(fā)點，介紹了利用矩陣特征多項式及其特征值來求線性常微分方程組基解矩陣的基本方法.論文的第二部分的主要內(nèi)容是利用矩陣特征多項式及其特征值來化矩陣為對角形矩陣，包括相似對角形矩陣和與實對稱矩陣合同的對角形矩陣，然后有介紹了二者的區(qū)別和聯(lián)系.在這一部分的最后，又簡單地說明了并不是所有的矩陣都能對角化，但

11、可以利用特征值來化為它的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.本論文的主要目的是把涉及到矩陣特征多項式及特征值的眾多知識聯(lián)系起來，形成一個系統(tǒng)，從而有利于更好地學(xué)習(xí)并利用它. </p><p><b>　　1 概念引入</b></p><p>　　矩陣的特征多項式與特征根</p><p>　　矩陣是高等代數(shù)

12、中非?；镜母拍?，有關(guān)它的定義和一些簡單的性質(zhì)在許多高等代數(shù)的教材中都有所敘述，在本文的開始，我們就來先了解一下矩陣及其簡單性質(zhì)，詳見參考文獻(xiàn)[1]和[2].</p><p><b>　　定義1.1 設(shè)</b></p><p>　　是域F上的一個n階矩陣，是一個文字，矩陣的行列式</p><p>　　叫矩陣A的特征多項式．在內(nèi)的根叫做矩陣A的

13、特征根．</p><p><b>　　的特征多項式為</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　它有以下性質(zhì)：</b></p><p>　?。?）是的階主子式之和，特別地</p><p><b>　　;<

14、/b></p><p>　?。?）若有個根（例如復(fù)數(shù)根），則是的次初等對稱多項式，特別地</p><p><b>　　;</b></p><p>　?。?）若，則，其中為的特征多項式;</p><p>　?。?）若為上三角陣，則為的特征值;</p><p>　?。?）若為復(fù)數(shù)域，則當(dāng)且僅當(dāng)其

15、特征值（復(fù)數(shù)值）均非零.</p><p>　　設(shè)是矩陣A的特征根，而是一個非零的列向量，使,就是說，是齊次線性方程組的一個非零解．我們稱是矩陣的屬于特征根的特征向量.</p><p>　　例1　設(shè)線性變換在一組基下的矩陣為</p><p>　　求線性變換的特征根和相應(yīng)的特征向量．</p><p>　　解：矩陣A的特征多項式為</p>

16、;<p>　　所以矩陣A的特征值為（二重）和</p><p>　　把特征值代入齊次方程組</p><p><b>　　得到</b></p><p><b>　　它的基礎(chǔ)解系是，</b></p><p>　　因此屬于的兩個線性無關(guān)的特征向量就是 和</p><p&g

17、t;　　而屬于的全部特征向量就是，，取遍數(shù)域P中不全為零的全部數(shù)對.</p><p>　　再用特征值代入，得到</p><p><b>　　它的基礎(chǔ)解系是</b></p><p>　　因此，屬于的一個線性無關(guān)的特征向量就是</p><p>　　而屬于特征值的全部特征向量就是，為數(shù)域中任意不等于零的數(shù). ▍<

18、/p><p><b>　　2 矩陣的零化</b></p><p>　　有關(guān)矩陣零化，最重要的一個知識就是哈密頓—凱萊定理，它利用了矩陣的特征多項式把矩陣化成一個零矩陣，下面就作一個簡單地敘述，可見參考文獻(xiàn)[1].</p><p>　　定理2.1 哈密頓—凱萊（Hamilton—Cayley）定理</p><p>　　設(shè)是數(shù)

19、域上的一個階矩陣，</p><p><b>　　是的特征多項式，則</b></p><p><b>　　=</b></p><p>　　證明：設(shè)是的伴隨矩陣，由行列式的性質(zhì)，有</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　因為矩陣的元

20、素是的各個代數(shù)余子式，都是的多項式，其次數(shù)不超過，因此根據(jù)矩陣的運算性質(zhì)，可以寫成</p><p><b>　　（2）</b></p><p>　　其中，，， 都是數(shù)字矩陣。</p><p><b>　　再設(shè) </b></p><p><b>　　，</b></p>

21、<p><b>　　則</b></p><p><b>　　（3）</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　比較（3）和（4），得</p><p>

22、;<b>　　（5）</b></p><p>　　以，，，，依次從右邊乘（5）的第一式，第二式，，第式， 第式，得</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　把（6）的個式子一起加起來，左邊變成零，右邊即為</p><p>　　故.定理得證.

23、 ▍</p><p>　　哈密頓—凱萊定理是一個有關(guān)矩陣零化的定理，它指出，任給數(shù)域上一個階矩陣，總可以找到數(shù)域上的一個多項式使得.如果多項式使。就稱以為根.顯然，以為根的多項式是很多的，其中次數(shù)最低的首項系數(shù)為1的以為根的多項式稱為的最小多項式.</p><p>　　首先來介紹的最小多項式的一些基本性質(zhì)[3]：</p>

24、;<p>　?。?）矩陣的最小多項式是唯一的；</p><p>　?。?）數(shù)域上的任一階矩陣都有最小多項式；</p><p>　?。?）設(shè)是矩陣的最小多項式，那么以為根的充分必要條件是整除；</p><p>　?。?）設(shè)是一個準(zhǔn)對角矩陣</p><p><b>　　，</b></p><

25、p>　　并設(shè)的最小多項式為，那么的最小多項式為的最小公倍式.</p><p>　　推論1：矩陣的次冪（）可表示為的階多項式。</p><p><b>　　證明：由于</b></p><p><b>　　當(dāng)時，有</b></p><p><b>　　令</b></p&

26、gt;<p><b>　　，</b></p><p><b>　　則</b></p><p>　　當(dāng)更大時（），亦以此類推，故結(jié)論成立 ▍</p><p>　　推論2：可以表示為的階多項式</p><p><b>　　，

27、 </b></p><p><b>　　證明：</b></p><p><b>　　令</b></p><p><b>　　則</b></p><p><b>　　同理可證</b></p><p><b>　

28、　▍</b></p><p>　　哈密頓—凱萊定理在是一個非常重要的結(jié)論，它本身就是一個把矩陣零化的公式，在解決有關(guān)矩陣零化的問題中有著非常重要的運用，同時，該公式在解決其他問題中也有著非常巧妙的運用，會省去許多麻煩，在此列舉一個小例子來說明哈密頓—凱萊定理的巧妙運用，其詳細(xì)的運用可見參考文獻(xiàn)[4].</p><p><b>　　例2：設(shè)</b></

29、p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　且，求.</b></p><p>　　解：先求出矩陣的特征多項式則</p><p>　　再用去除（帶余除法）得</p><p>　　又由哈密頓—凱萊定理得</p><p><b>

30、　　從而</b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　從而</b></p><p>　　. ▌</p><p>　　3矩陣矩陣指數(shù)及基解矩陣</p&

31、gt;<p>　　陣指數(shù)可以使用多種的多項式來表示，除了哈密頓—凱萊（Hamilton—Cayley）定理推論2的方法，在這里介紹一種比較簡單的表示方法，而且要具體求出這種表示方法，就需要借助求出的特征多項式以及特征值來計算.為了說明這個問題，我們可以從簡單的情況開始，先了解一下矩陣指數(shù)[5].</p><p>　　如果是一個階常數(shù)矩陣，我們定義矩陣指數(shù)為下面的矩陣級數(shù)的和：</p>

32、<p><b>　　，</b></p><p>　　其中為階單位矩陣，是矩陣的次冪.這里我們規(guī)定.這個級數(shù)對于所有的都是收斂的，因而是一個確定的矩陣.特別地，對于所有元素均為0的零矩陣，有.</p><p>　　很容易得到，矩陣指數(shù)有以下性質(zhì)，具體可見參考文獻(xiàn)[6].</p><p>　　（1）如果矩陣是可交換的，即，則</p&

33、gt;<p><b>　　.</b></p><p>　?。?）對于任何矩陣，存在，且</p><p><b>　　.</b></p><p>　?。?）如果是非奇異矩陣，則</p><p><b>　　.</b></p><p>　　在了

34、解矩陣指數(shù)之后，我們現(xiàn)在來討論矩陣指數(shù)，這個矩陣指數(shù)在討論齊次線性微分方程組的基解矩陣的結(jié)構(gòu)有著非常重要的運用（這里是階常數(shù)矩陣），因為我們有如下定理：</p><p>　　定理3.1：矩陣是線性微分方程組的基解矩陣，并且.</p><p>　　該定理是常微分方程里一個主要的定理，很容易證明，那么對于任意一個線性微分方程組，我們?nèi)绾吻笃浠饩仃?？這里就可以運用到矩陣的特征多項式及其特征值.

35、</p><p>　　首先，我們來討論當(dāng)具有個線性無關(guān)的特征向量時（特別當(dāng)具有個不同的特征值時），微分方程組的基解矩陣的計算方法.</p><p>　　定理3.2：如果矩陣具有個線性無關(guān)的特征向量，它們對應(yīng)的特征值分別為，那么矩陣</p><p>　　就是常系數(shù)線性微分方程組（*）的一個基解矩陣.</p><p>　　證明：顯然，每一個向量函

36、數(shù)都是常系數(shù)線性微分方程組（*）的一個解.因此，矩陣</p><p>　　是常系數(shù)線性微分方程組（*）的一個解矩陣.因為向量是線性無關(guān)的，所以，進(jìn)而推出是線性微分方程組（*）的一個基解矩陣.定理證畢. ▍</p><p>　　例3：試求常系數(shù)線性微分方程組，其中的一個基解矩陣.</p><p>　　解：的特征方程為，從而得到的特征值為，</

37、p><p>　　對應(yīng)于特征值的特征向量為，</p><p>　　對應(yīng)于特征值的特征向量為</p><p>　　那么根據(jù)上述定理，矩陣</p><p>　　就是該微分方程組的一個基解矩陣. ▍</p><p>　　現(xiàn)在進(jìn)一步討論當(dāng)時任意的矩陣時，線

38、性微分方程組的基解矩陣的計算方法.由于這是常微分方程里的理論，且較為繁瑣，在這里就不再給出詳細(xì)的證明，但給出當(dāng)只有一個特征值時一個重要的公式，然后通過簡單的例子來說明矩陣的特征多項式及特征值在求其基解矩陣中的重要作用[8]. </p><p>　　當(dāng)只有一個特征值時，由矩陣指數(shù)的矩陣指數(shù)定義，我們得到：</p><p>　　[9] (1)</p>&

39、lt;p>　　例4：試求常系數(shù)線性微分方程組中矩陣的矩陣指數(shù)其中</p><p><b>　　.</b></p><p>　　解：的特征方程為，因此的特征值為（二重），從而利用公式（1）即得：</p><p><b>　　例5：如果，試求</b></p><p>　　解：的特征方程為，因此的特

40、征值為（5重），直接計算可得.從而利用公式（1）即得：</p><p><b>　　這樣一來，</b></p><p>　　4 對角矩陣及矩陣的對角化</p><p>　　4.1 矩陣的相似對角形</p><p>　　在這一節(jié)中，我們主要學(xué)習(xí)矩陣的相似，然后利用矩陣的特征多項式及特征值來求出滿足某些條件的矩陣的相似對角

41、形，為此，我們先引入矩陣相似的概念及其性質(zhì).</p><p>　　定義4.1：設(shè)數(shù)域上的兩個級方陣，如果可以找到數(shù)域上的級可逆矩陣，使得，就說相似于，記作.</p><p>　　相似是矩陣之間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有下面三個性質(zhì)：</p><p><b>　　1、反身性：.</b></p><p><b>　　

42、這是因為</b></p><p>　　2、對稱性：如果，那么.</p><p>　　如果，那么存在，使得.令，就有，所以.</p><p>　　3、傳遞性：如果，那么.</p><p>　　已知有，使.令，就有，從而.</p><p>　　定理4.1：設(shè)是維線性空間V的一個線性變換，的矩陣可以再某一組基下為

43、對角矩陣的充分必要條件是，有個線性無關(guān)的特征向量。</p><p>　　證明：設(shè)在基下具有對角矩陣</p><p><b>　　. </b></p><p><b>　　這就是說，</b></p><p>　　因此，就是的個線性無關(guān)的特征向量.</p><p>　　反過來，如

44、果有個線性無關(guān)的特征向量，那么就取為基，顯然在這組基下的矩陣就是對角矩陣. ▍</p><p>　　定理4.2：屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的[10].</p><p>　　證明：對特征值的個數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法。由于特征向量是不為零的，所以單個的特征向量必然線性無關(guān).現(xiàn)在設(shè)屬于個不同特征值的特征向量線性無關(guān)，我們證明屬于個不同特征值的特征向量也線性無關(guān).<

45、;/p><p><b>　　假設(shè)有關(guān)系式 </b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　成立，等式兩端乘以，得 </p><p><b>　　（2）</b></p><p>　?。?）式兩端同時施行線性變換，即有</p&g

46、t;<p><b>　?。?）</b></p><p>　?。?）減去（2）得到</p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　根據(jù)歸納法假設(shè)，向量線性無關(guān)，于是</p><p>　　但是所以這是（1）式變成，又因為，所以只有.這就證明了也線性無關(guān).</p>

47、;<p>　　根據(jù)歸納法原理，定理得證. ▍</p><p>　　下面是它的一些推論，我們可以由這些推論來利用特征多項式及特征值來解決相關(guān)問題.</p><p>　　推論1：如果在維線性空間中，線性變換的特征多項式在數(shù)域中有個不同的根，即有個不同的特征值，那么線性變換在某組基下的矩陣是對角形的。即線性變換對應(yīng)

48、的矩陣此時相似于某個對角形矩陣。</p><p>　　推論2：在復(fù)數(shù)域上的線性空間中，如果線性變換的特征多項式?jīng)]有重根，那么在某組基下的矩陣是對角形的。</p><p>　　推論3：很顯然，當(dāng)線性變換在一組基下的矩陣是對角形時：</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　的特征多項式就

49、是</b></p><p>　　因此，如果線性變換在一組基下的矩陣是對角形，那么主對角線上的元素除排列次序外是確定的，它們正是A的特征多項式全部的根（重根按重數(shù)計算）.</p><p>　　例6：在第一節(jié)例1中，已經(jīng)算出線性變換的特征值是-1（二重）與5，而對應(yīng)的特征向量是</p><p>　　由此可見，在基下的矩陣為對角矩陣</p>&l

50、t;p><b>　　,</b></p><p><b>　　而由到的過渡矩陣是</b></p><p><b>　　于是</b></p><p>　　. ▍</p><p>　　4.2 實對稱矩陣的合同對角形<

51、;/p><p>　　定義4.2: 數(shù)域上階矩陣稱為合同的，如果有數(shù)域上的可逆的階矩陣</p><p><b>　　，使得.</b></p><p>　　合同是矩陣之間的一個關(guān)系。不難看出，合同關(guān)系具有</p><p><b>　?。?）反身性，即；</b></p><p>　　（

52、2）對稱性，即若，則有</p><p>　?。?）傳遞性，若和，則有</p><p>　　矩陣的相似或矩陣的合同都有很多性質(zhì)，但這些性質(zhì)都是矩陣相似或矩陣合同的必要條件，只能排除矩陣的相似或合同，卻不能確定矩陣的相似或合同，同時，對于一般的矩陣，通過特征多項式及特征值，只能求出它的相似對角形，卻不能求出與它合同的對角形矩陣.而對于實對稱矩陣，我們就可以通過特征多項式及特征值求出與它合同的對

53、角形矩陣.為此，我們先引入一類特殊的矩陣——正交矩陣</p><p>　　定義4.3: 級實數(shù)矩陣稱為正交矩陣，如果.</p><p>　　有了正交矩陣的定義，我們就可以得到，對于任意一個級實對稱矩陣，都存在一個級正交矩陣，使得成為對角形矩陣. 此時，對于實對稱矩陣就可以通過特征多項式及特征值來求出與之合同的對角形矩陣.</p><p>　　為了得到這個結(jié)論，先通過

54、幾個引理來討論對稱矩陣的一些性質(zhì).</p><p>　　引理1：設(shè)是實對稱矩陣，則的特征值皆為實數(shù).</p><p>　　引理2：設(shè)是實對稱矩陣，的定義如上，則對于任意的，有</p><p><b>　　，或者</b></p><p>　　等式把實對稱矩陣的特性反映到線性變換上，我們引入</p><p

55、>　　定義4.4：歐氏空間滿足等式的線性變換稱為對稱變換.</p><p>　　容易看出，對稱變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是實對稱矩陣.用對稱變換來反映實對稱矩陣，一些性質(zhì)可以看得更清楚.</p><p>　　引理3：設(shè)是對稱變換，是子空間，則也是子空間</p><p>　　引理4：設(shè)是實對稱矩陣，則中屬于的不同特征值的特征向量必正交.</p>&l

56、t;p>　　現(xiàn)在來證明運用特征多項式以及特征值來求與某一對角矩陣合同的對角形矩陣，然后討論求這種對角矩陣的主要步驟.</p><p>　　定理4.3: 對于任意一個級實數(shù)矩陣，都存在一個級正交矩陣 ,使得成為對角形矩陣.</p><p>　　證明：由于實對稱矩陣和對稱變換之間的關(guān)系，只要證明對稱變換有個特征向量做成標(biāo)準(zhǔn)正交基就行了.</p><p>　　現(xiàn)在對

57、空間的維數(shù)做數(shù)學(xué)歸納法.</p><p>　　，定理的結(jié)論顯然是成立的.</p><p>　　設(shè)時定理的結(jié)論成立.對于維歐式空間，線性變換有一個特征向量，其特征值為實數(shù).把單位化，還用代表它.作的正交補，設(shè)為.由引理3，是的不變子空間，其維數(shù)為.又也滿足，仍是對稱變換.根據(jù)歸納法假設(shè)，有個特征向量做成的標(biāo)準(zhǔn)正交基.從而是的標(biāo)準(zhǔn)正交基，又是的個特征向量.定理得證.

58、 ▍</p><p>　　下面來看看在給定了實一個對稱矩陣之后，按什么辦法求正交矩陣，使得成為對角形矩陣.在定理的證明過程中我們看到，矩陣按照在中定義了一個線性變換.求正交矩陣的問題就相當(dāng)于在中求一組由的特征向量構(gòu)成的標(biāo)準(zhǔn)正交基.事實上，設(shè)</p><p>　　是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們都是的特征向量.顯然，由到的過渡矩陣就是</p><p><b>

59、;　　.</b></p><p>　　是一個正交矩陣，而就是對角形矩陣.</p><p>　　根據(jù)上面的討論，正交矩陣的求法可以按照以下的步驟進(jìn)行：</p><p>　　1、求出的特征值.設(shè)是的全部不同的特征值.</p><p>　　2、對于每個，解齊次線性方程組，求出一個基礎(chǔ)解系，這就是的特征子空間的一組基.由這組基出發(fā)，就可以

60、求出的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.</p><p>　　3、因為兩兩不同，所以根據(jù)引理4，向量組還是兩兩正交的.又根據(jù)上面所證明的定理，它們的個數(shù)就等于空間的維數(shù).因此，它們就構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，并且也都是的特征向量.這樣，正交矩陣也就求出了.</p><p><b>　　例7：已知</b></p><p>　　求出一正交矩陣使成對角形.</p&g

61、t;<p>　　解：先求出的特征值.由</p><p>　　即得的特征值為（三重），.</p><p>　　其次，求屬于1的特征向量.把代入</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　求得基礎(chǔ)解系為</b></p><p><

62、b>　　把它們正交化，得</b></p><p><b>　　再單位化，得</b></p><p>　　這是屬于三重特征值三個標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量.</p><p>　　再求屬于的特征向量.用代入（*）式求得其基礎(chǔ)解系為.</p><p><b>　　把它單位化，得.</b><

63、/p><p>　　特征向量構(gòu)成的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，所求的正交矩陣為</p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　而</b></p><p>　　. ▍</p><p>　　4.3 實對稱矩陣合同與相似之間的關(guān)系</

64、p><p>　　定理4.4 如果與都是階實對稱矩陣，且有相同的特征根.則，既相似又合同.</p><p>　　證明: 設(shè),的特征根均為，因為為階實對稱矩陣，則一定存在一個階正交矩陣,使得：</p><p>　　同理，一定可以找到一個正交矩陣，使得：</p><p><b>　　，</b></p><p&

65、gt;<b>　　從而有：</b></p><p>　　將上面兩邊分別左乘右乘，得</p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　由于</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b

66、>　　有</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以，可逆.</b></p><p><b>　　又由于</b></p><p><b>　　,</b></p><p>　　所

67、以，是正交矩陣，故，相似且合同.</p><p>　　定理4.5 若階矩陣，中有一個是正交矩陣，則與相似且合同.</p><p>　　證明：不妨設(shè)是正交矩陣，則可逆，取,</p><p>　　所以，與相似，由于與正交相似，故與合同.</p><p>　　定理4.6 若與相似且合同，與相似且合同，則與</p><p>

68、<b>　　相似且合同.</b></p><p>　　證明：　因為，相似，，相似，故存在可逆矩陣,使得</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　令, 則，</b></p><p><b>　　且</b></p>&

69、lt;p><b>　　故與相似.</b></p><p>　　又因為與，與分別合同，故存在可逆矩陣，使得</p><p><b>　　令，則.</b></p><p><b>　　而</b></p><p><b>　　.</b></p>

70、<p><b>　　故與合同 .</b></p><p>　　從上面這個定理我們可以得到，若與，與分別正交相似，則</p><p><b>　　與相似且合同.</b></p><p>　　4.4 矩陣的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形</p><p>　　最后指出，除了實對稱矩陣，對于一般矩陣，并不是所

71、有的矩陣在某一數(shù)域中都有相似的對角形矩陣，也就是說并不是對于每一個線性變換都有一組基，使它在這組基下的矩陣為對角形矩陣.甚至對于同一個實數(shù)矩陣，在某一個數(shù)域里有與其相似的對角矩陣，而在另一個數(shù)域里就沒有與其相似的對角形矩陣.為此，我們引入若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形，進(jìn)而探討在某一數(shù)域里，任一矩陣在某組基下可以化成與之相似的矩陣的最簡形式. </p><p>　　根據(jù)的理論推導(dǎo)，容易算出若爾當(dāng)塊</p><p

72、><b>　　的初等因子為.</b></p><p>　　設(shè)是一個若爾當(dāng)形矩陣，其中</p><p><b>　　.</b></p><p>　　顯然的全部初等因子是，換句話說，每個若爾當(dāng)形矩陣的所有初等因子就是由它的所有若爾當(dāng)塊的初等因子構(gòu)成的.由此可見，若爾當(dāng)形矩陣除去其中的若爾當(dāng)塊的排列次序外是被它的初等因子唯

73、一決定的，由此我們可以得到：</p><p>　　定理4.7：每個級的復(fù)數(shù)矩陣都與一個若爾當(dāng)形矩陣相似，這個若爾當(dāng)形矩陣除去其中若爾當(dāng)塊的排列次序外，是被矩陣唯一確定的，它稱為的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形[11].</p><p>　　這個定理的證明，需要用到的理論推導(dǎo)，在這里就不再詳細(xì)敘述了，但是我們依然可以利用矩陣的特征多項式及特征值來求出與矩陣相似的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.</p><p

74、><b>　　例8：求矩陣</b></p><p><b>　　的若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形.</b></p><p>　　解：先求出的特征值，由</p><p>　　得的特征值為0（三重）和1（一重）</p><p>　　那么由，可以求出它的一個解為：，</p><p>　　再由，

75、可以求出它的一個解為：，</p><p>　　再由，可以求出它的一個解為：，</p><p>　　由，可以求得它的一個解為：，</p><p>　　將并列成一個矩陣，顯然有</p><p><b>　　這時令</b></p><p><b>　　,</b></p>

76、<p>　　顯然有. ▍</p><p><b>　　參考文獻(xiàn)</b></p><p>　　[1] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1978.</p><p>　　[2] 張賢科，許甫華. 高等代數(shù)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2003:157

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79、gt;　　[8] 張俊祖，姜根明，馮復(fù)科.矩陣指數(shù)函數(shù)的一種計算[J].長安大學(xué)學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版)，2006，26（1）:85-88.</p><p>　　[9] Alexander Kuckelberg. The Matrix-Index Coding Approach to Efficient Navigation in Persistent Object Stores [J]. Technical

80、University of Clausthal Computer Science Institute，1999（DOI ：10.1007/978-1-4615-5137-9_7）：99-120.</p><p>　　[10] 張禾瑞，郝鈵新. 高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，1997：300-301.</p><p>　　[11] Raf Vandebril，Ellen Van Ca

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