圖像去噪處理畢業(yè)論文

1、<p><b>　　摘 要</b></p><p>　　圖像是一種重要的信息源，通過(guò)圖像處理可以幫助人們了解信息的內(nèi)涵。數(shù)字圖像噪聲去除涉及光學(xué)系統(tǒng)、微電子技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)學(xué)分析等領(lǐng)域，是一門(mén)綜合性很強(qiáng)的邊緣科學(xué)，如今其理論體系已十分完善，且其實(shí)踐應(yīng)用很廣泛，在醫(yī)學(xué)、軍事、藝術(shù)、農(nóng)業(yè)等都有廣泛且成熟的應(yīng)用。MATLAB是一種高效的工程計(jì)算語(yǔ)言，在數(shù)值計(jì)算、數(shù)據(jù)處理、圖像處理、

2、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、小波分析等方面都有廣泛的應(yīng)用。MATLAB是一種向量語(yǔ)言，它非常適合于進(jìn)行圖像處理。</p><p>　　本文概述了小波閾值去噪的基本原理。對(duì)常用的幾種閾值去噪方法進(jìn)行了分析比較和仿真實(shí)現(xiàn)。最后結(jié)合理論分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果，討論了一個(gè)完整去噪算法中影響去噪性能的各種因素。為實(shí)際的圖像處理中，小波閾值去噪法的選擇和改進(jìn)提供了數(shù)據(jù)參考和依據(jù)。</p><p>　　關(guān)鍵字：小波變換 圖像去

3、噪 閾值 MATLAB</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　Image is one kind of important information source, may help People through the imagery processing to understand the information the co

4、nnotation. The digital image de-noise involves domains and so on optical system, microelectronic technology, computer science，mathematical analysis, it’s a very comprehensive interdisciplinary science, now its practice a

5、pplication is very widespread: In the medicine, the military, art, the agriculture and all have very extensive and ripe using so on. MATLAB is one</p><p>　　This article has stated the theory of wavelet thres

6、hold denoising ， then done comparing experiments using several good threshold denoising methods．Finally according to the theory analysis and simulation results，the paper discusses several kinds of factors which affect th

7、e denoising capability in a complete denoising algorithm． That provides the date reference of threshold denoising methods in actual image process．</p><p>　　Keywords: Wavelet transformation; Image denoising;

8、Wavelet threshold; MATLAB</p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　前 言1</b></p><p>　　第一章 圖像與噪聲3</p><p>　　1.1 噪聲圖像模型及噪聲特性3</p><p>　　1.1.

9、1 含噪模型3</p><p>　　1.1.2 噪聲特性4</p><p>　　1.2 圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)5</p><p>　　1.2.1 主觀評(píng)價(jià)5</p><p>　　1.2.2 客觀評(píng)價(jià)5</p><p>　　第二章 圖像去噪方法7</p><p>　　2.1 傳統(tǒng)去噪方法7&

10、lt;/p><p>　　2.1.1 空域?yàn)V波7</p><p>　　2.1.2 頻域低通濾波法9</p><p>　　2.2 小波去噪13</p><p>　　2.2.1 小波去噪的發(fā)展歷程13</p><p>　　2.2.2小波去噪的研究現(xiàn)狀14</p><p>　　2.2.3 小波去噪

11、方法17</p><p>　　第三章 小波變換理論基礎(chǔ)18</p><p>　　3.2 小波理論的基本概念20</p><p>　　3.2.1 連續(xù)小波變換20</p><p>　　3.2.2 離散小波變換23</p><p>　　第四章 小波閾值去噪及MATLAB仿真26</p><

12、p>　　4.1 小波閾值去噪概述26</p><p>　　4.1.1 閾值去噪法簡(jiǎn)述26</p><p>　　4.1.2 小波閾值去噪方法27</p><p>　　4.2 基于MATLAB的小波去噪函數(shù)簡(jiǎn)介28</p><p>　　4.3小波去噪對(duì)比試驗(yàn)30</p><p>　　4.3.1 實(shí)驗(yàn)信號(hào)的產(chǎn)

13、生30</p><p>　　4.3.2 各參數(shù)下的去噪效果對(duì)比32</p><p>　　4.4 利用小波去噪函數(shù)去除給定圖像中的噪聲36</p><p><b>　　總結(jié)與展望39</b></p><p>　　致 謝 語(yǔ)41</p><p><b>　　參考文獻(xiàn):43&l

14、t;/b></p><p><b>　　前 言</b></p><p>　　圖像在生成和傳輸過(guò)程中常常因受到各種噪聲的干擾和影響而使圖像降質(zhì)，這對(duì)后續(xù)圖像的處理(如分割、壓縮和圖像理解等)將產(chǎn)生不利影響。噪聲種類(lèi)很多，如：電噪聲、機(jī)械噪聲、信道噪聲和其他噪聲。在圖像處理中，圖像去噪是一個(gè)永恒的主題，為了抑制噪聲，改善圖像質(zhì)量，便于更高層次的處理，必須對(duì)圖像進(jìn)行

15、去噪預(yù)處理。</p><p>　　計(jì)算機(jī)圖像處理主要采取兩大類(lèi)方法：一是在空間域中的處理，即在圖像空間中對(duì)圖像進(jìn)行各種處理；另一類(lèi)是把空間域中的圖像經(jīng)過(guò)正交變換到頻域，在頻域里進(jìn)行各種處理然后反變換到空間域，形成處理后的圖像。人們也根據(jù)實(shí)際圖像的特點(diǎn)、噪聲的統(tǒng)計(jì)特征和頻譜分布的規(guī)律， 發(fā)展了各式各樣的去噪方法。其中最為直觀的方法，是根據(jù)噪聲能量一般集中于高頻而圖像頻譜則分布于一個(gè)有限區(qū)間的這一特點(diǎn)，采用低通濾波方

16、式來(lái)進(jìn)行去噪，或?qū)D像進(jìn)行平滑處理等，這屬于第一類(lèi)圖像處理方法。還有就是在頻域進(jìn)行處理，如：傅立葉變換、小波基變換。</p><p>　　近年來(lái)，小波理論得到了非常迅速的發(fā)展，而且由于其具備良好的時(shí)頻特性，實(shí)際應(yīng)用也非常廣泛。其中圖像的小波閾值去噪方法可以說(shuō)是眾多圖像去噪方法的佼佼者?；舅枷刖褪抢脠D像小波分解后，各個(gè)子帶圖像的不同特性選取不同的閾值，從而達(dá)到較好的去噪目的。而且，小波變換本身是一種線形變換，而

17、國(guó)內(nèi)外的研究大多集中在如何選取一個(gè)合適的全局閾值，通過(guò)處理低于該閾值的小波系數(shù)同時(shí)保持其余小波系數(shù)值不變的方法來(lái)降噪，因而大多數(shù)方法對(duì)于類(lèi)似于高斯噪聲的效果較好，但對(duì)于混有脈沖噪聲的混合噪聲的情形處理效果并不理想。線形運(yùn)算往往還會(huì)造成邊緣模糊，小波分析技術(shù)正因其獨(dú)特的時(shí)頻局部化特性在圖像信號(hào)和噪聲信號(hào)的區(qū)分以及有效去除噪聲并保留有用信息等方面較之傳統(tǒng)的去噪具有明顯的優(yōu)勢(shì)，且在去噪的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了圖像一定程度的壓縮和邊緣特征的提取。所以小波去

18、噪具有無(wú)可比擬的優(yōu)越性。小波去噪主要優(yōu)點(diǎn)有：</p><p>　　低熵性，小波系數(shù)的稀疏分布，使得圖象變換后的熵降低；</p><p>　　多分辨率，由于采用了多分辨率的方法，所以可以非常好地刻畫(huà)信號(hào)的非平穩(wěn)特征，如邊緣、尖峰、斷點(diǎn)等；</p><p>　　去相關(guān)性， 因?yàn)樾〔ㄗ儞Q可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行去相關(guān)，且噪聲在變換后有白化趨勢(shì)， 所以小波域比時(shí)域更利于去噪；<

19、/p><p>　　選基靈活性，由于小波變換可以靈活選擇變換基， 從而對(duì)不同應(yīng)用場(chǎng)合、不同的研究對(duì)象，可以選用不同的小波函數(shù)，以獲得最佳的效果。</p><p>　　本文以圖像去噪方法為研究對(duì)象，以小波圖像去噪為研究方向，對(duì)比了傳統(tǒng)去噪方法與小波去噪方法，比較深入地研究了基于小波閾值的圖像去噪，對(duì)其在圖像去噪中的應(yīng)用做了進(jìn)一步的探討。全文安排具體如下:</p><p>　

20、　第一章主要介紹噪聲的特性和噪聲模型，圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)方法。</p><p>　　第二章主要對(duì)傳統(tǒng)的去噪方法進(jìn)行了總結(jié)和對(duì)比，指出其去噪的不足，介紹小波變換，綜述了小波去噪的發(fā)展歷程、研究現(xiàn)狀及其分類(lèi)。</p><p>　　第三章主要介紹連續(xù)小波變換、離散小波變換，并介紹了圖像小波變換情況，為下個(gè)章節(jié)中圖像小波去噪奠定理論基礎(chǔ)。</p><p>　　第四章詳細(xì)介紹小波

21、閾值在圖像去噪中的應(yīng)用，以及相應(yīng)的MATLAB程序，并給出了相應(yīng)的仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果。</p><p>　　第五章是對(duì)全文的總結(jié)與展望，概括了全文的研究?jī)?nèi)容和創(chuàng)新之處；針對(duì)論文的不盡完善之處，提出了一些意見(jiàn)和建議，以供后續(xù)工作參考借鑒。</p><p><b>　　第一章 圖像與噪聲</b></p><p>　　人類(lèi)獲取外界信息有視覺(jué)、聽(tīng)覺(jué)、觸覺(jué)、味

22、覺(jué)等多種方法，但絕大部分(約80%)是來(lái)自視覺(jué)所接收的圖像信息，即所謂“百聞不如一見(jiàn)”。而圖像處理就是對(duì)圖像息進(jìn)行加工處理，以滿足人的視覺(jué)心理和實(shí)際應(yīng)用的要求。因此，圖像處理技術(shù)的廣泛研究和應(yīng)用是必然的趨勢(shì)。在分析和使用圖像之前，需要對(duì)圖像信號(hào)進(jìn)行一系列處理。比如調(diào)整圖像存儲(chǔ)的格式，對(duì)圖像進(jìn)行去噪等等。圖像處理是針對(duì)性很強(qiáng)的技術(shù)，根據(jù)不同用途、不同要求采用不同的處理方法。采用的方法是綜合各學(xué)科較先進(jìn)的成果而成的，如數(shù)學(xué)、物理學(xué)、心理學(xué)、

23、生理學(xué)、醫(yī)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、通信理論、信號(hào)分析、控制論和系統(tǒng)工程等，各學(xué)科相互補(bǔ)充、相互滲透才使數(shù)字圖像處理技術(shù)飛速發(fā)展。</p><p>　　根據(jù)本文研究的內(nèi)容，我們只探討圖像去噪這一圖像預(yù)處理技術(shù)。一般來(lái)說(shuō)，在圖像采集、編碼、傳輸、恢復(fù)的幾個(gè)基本步驟中，影響圖像質(zhì)量的因素很多。例如，現(xiàn)實(shí)圖像中無(wú)用的信息對(duì)我們而言就是噪聲，設(shè)備、環(huán)境、獲取方法等因素也會(huì)引入許多噪聲干擾。如電磁干擾、相片顆粒噪聲、采集圖像信號(hào)的傳

24、感器噪聲、信道噪聲、甚至濾波器產(chǎn)生的噪聲等等。所以，為了提高圖像的質(zhì)量以及后續(xù)更高層次的處理，對(duì)圖像進(jìn)行去噪處理是不可缺少的重要環(huán)節(jié)，而尋求一種行之有效的去噪方法也是人們一直在進(jìn)行的工作。</p><p>　　1.1 噪聲圖像模型及噪聲特性</p><p>　　1.1.1 含噪模型</p><p>　　現(xiàn)實(shí)中的數(shù)字圖像在數(shù)字化和傳輸過(guò)程中，常受到成像設(shè)備與外部環(huán)境噪

25、聲干擾等影響，成為含噪圖像。去除或減輕在獲取數(shù)字圖像中的噪聲稱(chēng)為圖像去噪[1,2],在圖像去噪之前我們先要建立一個(gè)含噪圖像的模型，為了簡(jiǎn)便，我們研究如下的加性噪聲模型，即含噪圖像僅由原始圖像疊加上一個(gè)隨機(jī)噪聲形成:</p><p><b>　　（1-1）</b></p><p>　　表示圖像，為噪聲，含噪圖像記為。</p><p>　　1.1.

26、2 噪聲特性</p><p>　　在對(duì)這個(gè)含噪模型進(jìn)行研究之前，我們有必要了解一下噪聲的一些特性，經(jīng)常影響圖像質(zhì)量的噪聲源可分為三類(lèi)。人們對(duì)其生成原因及相應(yīng)的模型作了大量研究:</p><p>　　1、電子噪聲。在阻性器件中由于電子隨機(jī)熱運(yùn)動(dòng)而造成的電子噪聲是三種模型中最簡(jiǎn)單的，一般常用零均值高斯白噪聲作為其模型，它可用其標(biāo)準(zhǔn)差來(lái)完全表征。</p><p>　　2、

27、光電子噪聲。由光的統(tǒng)計(jì)本質(zhì)和圖像傳感器中光電轉(zhuǎn)換過(guò)程引起，在弱光照的情況下常用具有泊松分布的隨機(jī)變量作為光電噪聲的模型，在光照較強(qiáng)時(shí)，泊松分布趨向于更易描述的高斯分布。</p><p>　　3、感光片顆粒噪聲。由于曝光過(guò)程中感光顆粒只有部分被曝光，而其余部分則未曝光，底片的密度變化就由曝光后的顆粒密集程度變化所決定，而算曝光顆粒的分布呈現(xiàn)一種隨機(jī)性。在大多數(shù)情況下，顆粒噪聲可用高斯白噪聲作為有效模型。</p

28、><p>　　通過(guò)以上分析可以看出，絕大多數(shù)的常見(jiàn)圖像噪聲都可用均值為零，方差不同的高斯白噪聲作為其模型，因而為了簡(jiǎn)便和一般化，我們采用零均值的高斯白噪聲作為噪聲源。</p><p>　　1.2 圖像質(zhì)量的評(píng)價(jià)</p><p>　　如何評(píng)價(jià)一個(gè)圖像經(jīng)過(guò)去噪處理后所還原圖像的質(zhì)量，對(duì)于我們判斷去噪方法的優(yōu)劣有很重要的意義?，F(xiàn)有的評(píng)價(jià)方法一般分為主觀和客觀兩種。</p

29、><p>　　1.2.1 主觀評(píng)價(jià)</p><p>　　主觀評(píng)價(jià)通常有兩種:一種是作為觀察者的主觀評(píng)價(jià)，這是由選定的一組人對(duì)圖像直接用肉眼進(jìn)行觀察，然后分別給出其對(duì)所觀察的圖像的質(zhì)量作好或壞的評(píng)價(jià)，再綜合全組人的意見(jiàn)給出一個(gè)綜合結(jié)論。它只是一種定性的方法，沒(méi)有定量的標(biāo)準(zhǔn)，而且受到觀察者的主觀因素的影響，評(píng)價(jià)結(jié)果有一定的不確定性。另一種是隨著模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展，可以用模糊綜合評(píng)判方法來(lái)盡量減少主觀因

30、素的影響，實(shí)現(xiàn)對(duì)圖像質(zhì)量近似定量的評(píng)價(jià)，不過(guò)它仍然沒(méi)有完全消除主觀不確定性的影響，其定量計(jì)算公式中的參數(shù)往往要依賴(lài)專(zhuān)家經(jīng)驗(yàn)確定。</p><p>　　1.2.2 客觀評(píng)價(jià)</p><p>　　圖像質(zhì)量的客觀評(píng)價(jià)由于著眼點(diǎn)不同而有多種方法，這里介紹的是一種經(jīng)常使用的所謂的逼真度測(cè)量。對(duì)于彩色圖像逼真度的定量表示是一個(gè)十分復(fù)雜的問(wèn)題[4]。目前應(yīng)用得較多的是對(duì)黑白圖像逼真度的定量表示。合理的測(cè)

31、量方法應(yīng)和主觀實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，而且要求簡(jiǎn)單易行。</p><p>　　對(duì)于連續(xù)圖像場(chǎng)合，設(shè)為一定義在矩形區(qū)域，的連續(xù)圖像，其降質(zhì)圖像為，它們之間的逼真度可用歸一化的互相關(guān)函數(shù)K來(lái)表示: </p><p><b>　　(l-2)</b></p><p>　　對(duì)于數(shù)字圖像場(chǎng)合設(shè)為原參考圖像，為其降質(zhì)圖像，逼真度可定義為歸一化的均方誤差值NMSE：&l

32、t;/p><p><b>　　（1-3）</b></p><p>　　其中，運(yùn)算符表示在計(jì)算逼真度前，為使測(cè)量值與主觀評(píng)價(jià)的結(jié)果一致而進(jìn)行的某種預(yù)處理。如對(duì)數(shù)處理、冪處理等，常用的為</p><p>　　,、、、b均為常數(shù)。 (l-4)</p><p>　　另外一種常用的

33、峰值均方誤差PMSE: </p><p><b>　　(l-5)</b></p><p>　　式中，A為的最大值。實(shí)用中還常采用簡(jiǎn)單的形式。此時(shí)，對(duì)于8比特精度的圖像，A=255，M、N為圖像尺寸。</p><p>　　峰值均方誤差PMSE也被表示成等效的峰值信噪PSNR:</p><p><b>　?。?-6

34、）</b></p><p>　　主觀評(píng)價(jià)和客觀評(píng)價(jià)這兩種圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。由于人眼視覺(jué)特性的準(zhǔn)確模型還沒(méi)有完全建立起來(lái)，因此主觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)還只是一個(gè)定性的描述方法，不能作定量描述，但它能反映人眼的視覺(jué)特性。峰值信噪比能夠?qū)D像質(zhì)量給出定量的描述。它是一種數(shù)學(xué)上統(tǒng)計(jì)的處理方法，其缺點(diǎn)是它并不是總能反映人眼的真實(shí)感覺(jué)。一種折衷的方法是在衡量圖像“去噪”算法的優(yōu)劣時(shí)，將主觀與客觀兩種標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合起來(lái)

35、考慮。</p><p>　　第二章 圖像去噪方法</p><p>　　2.1 傳統(tǒng)去噪方法</p><p>　　對(duì)隨時(shí)間變化的信號(hào)，通常采用兩種最基本的描述形式，即時(shí)域和頻域。時(shí)域描述信號(hào)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化，頻域描述在一定時(shí)間范圍內(nèi)信號(hào)的頻率分布。對(duì)應(yīng)的圖像的去噪處理[4]方法基本上可分為空間域法和變換域法兩大類(lèi)。前者即是在原圖像上直接進(jìn)行數(shù)據(jù)運(yùn)算，對(duì)像素的灰度值進(jìn)行

36、處理。變換域法是在圖像的變換域上進(jìn)行處理，對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行相應(yīng)的處理，然后進(jìn)行反變換達(dá)到圖像去噪的目的。</p><p>　　2.1.1 空域?yàn)V波</p><p><b>　　1 均值濾波</b></p><p>　　鄰域平均法是一種局部空間域處理的算法。設(shè)一幅圖像為的陣列，處理后的圖像為，它的每個(gè)像素的灰度級(jí)由包含領(lǐng)域的幾個(gè)像素的灰度級(jí)的平

37、均值所決定，即用下式得到處理后的圖像: </p><p><b>　　(2-l)</b></p><p>　　式中；s是以點(diǎn)為中心的鄰域的集合，M是s內(nèi)坐標(biāo)總數(shù)。圖像鄰域平均法的處理效果與所用的鄰域半徑有關(guān)。半徑愈大，則圖像模糊程度也愈大。另外，圖像鄰域平均法算法簡(jiǎn)單，計(jì)算速度快，但它的主要缺點(diǎn)是在降低噪聲的同時(shí)使圖像產(chǎn)生模糊，特別在邊緣和細(xì)節(jié)處，鄰域越大，模越厲害

38、。</p><p><b>　　2 中值濾波</b></p><p>　　中值濾波是一種非線性濾波[5-7]，由于它在實(shí)際運(yùn)算過(guò)程中并不需要圖像的統(tǒng)計(jì)特性，所以比較方便。中值濾波首先是被應(yīng)用在一維信號(hào)處理技術(shù)中，后來(lái)被二維圖像信號(hào)處理技術(shù)所應(yīng)用。在一定的條件下，可以克服線性濾波器所帶來(lái)的圖像細(xì)節(jié)模糊，而且對(duì)濾除脈沖干擾及圖像掃描噪聲最為有效。但是對(duì)一些細(xì)節(jié)多，特別是點(diǎn)

39、、線、尖頂細(xì)節(jié)多的圖像不宜采用中值濾波的方法。</p><p>　　中值濾波的基本原理是把數(shù)字圖像或數(shù)字序列中一點(diǎn)的值用該點(diǎn)的一個(gè)鄰域中各點(diǎn)值的中值代替。</p><p>　　設(shè)有一個(gè)一維序列，，…，，取窗口長(zhǎng)度為m(m為奇數(shù))，對(duì)此序列進(jìn)行中值濾波，就是從輸入序列中相繼抽出m個(gè)數(shù)，，…，，…，，…，，…，，其中為窗口的中心位置，，再將這m個(gè)點(diǎn)按其數(shù)值大小排列，取其序號(hào)為正中間的那作為出。

40、用數(shù)學(xué)公式表示為: </p><p><b>　　(2-2)</b></p><p>　　例如：有一個(gè)序列為{0，3，4，0，7}，則中值濾波為重新排序后的序列{0，0，3，4，7}中間的值為3。此例若用平均濾波，窗口也是取5，那么平均濾波輸出為。因此平均濾波的一般輸出為: </p><p><b>　　(2-3)</b>

41、</p><p>　　對(duì)于二位序列進(jìn)行中值濾波時(shí)，濾波窗口也是二維的，但這種二位窗口可以有各種不同的形狀，如線狀、方形、圓形、十字形、圓環(huán)形等。二維數(shù)據(jù)的中值濾波可以表示為： (2-4)</p><p>　　在實(shí)際使用窗口時(shí)，窗口的尺寸一般

42、先用再取逐漸增大，直到其濾波效果滿意為止。對(duì)于有緩變的較長(zhǎng)輪廓線物體的圖像，采用方形或圓形窗口為宜，對(duì)于包含尖頂角物體的圖像，適宜用十字形窗口。使用二維中值濾波最值得注意的是保持圖像中有效的細(xì)線狀物體。與平均濾波器相比，中值濾波器從總體上來(lái)說(shuō)，能夠較好地保留原圖像中的躍變部分。</p><p>　　2.1.2 頻域低通濾波法</p><p>　　在分析圖像信號(hào)的頻率特性時(shí)，一幅圖像的邊緣，

43、跳躍部分以及顆粒聲代表圖像信號(hào)的高頻分量，而大面積的背景區(qū)則代表圖像信號(hào)的低頻分量。用濾波的方法濾除其高頻部分就能去掉噪聲使圖像得到平滑由卷積定理可知:</p><p><b>　　(2-5)</b></p><p>　　式中，是含噪聲圖像的傅里葉變換，是平滑后圖像的傅里葉變換，是低通濾波器傳遞函數(shù)。利用使的高頻分量得到衰減，得到后再經(jīng)過(guò)反變換就得到所希望的圖像了。低

44、通濾波平滑圖像的系統(tǒng)框圖2-1所示。</p><p>　　圖2-1 頻域空間濾波框圖</p><p>　　下面介紹幾種常用的低通濾波器。</p><p>　　1.理想低通濾波器(LIPF)</p><p>　　一個(gè)理想的低通濾波器的傳遞函數(shù)由下式表示:</p><p><b>　　(2-6)</b>

45、;</p><p>　　式中是一個(gè)規(guī)定的非負(fù)的量，稱(chēng)為理想低通濾波器的截止頻率。代表從頻率平面的原點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即: </p><p><b>　　(2-7)</b></p><p>　　理想低通濾波器平滑處理的概念是清楚的，但它在處理過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生較嚴(yán)重的模糊和振鈴現(xiàn)象。這是由于在處由1突變到0，這種理想的對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)在空域中表現(xiàn)為同心環(huán)的形

46、式，并且此同心環(huán)半徑與成反比。越小，同心環(huán)半徑越大，模糊程度愈厲害。正是由于理想低通濾波器存在此“振鈴”現(xiàn)象，使其平滑效果下降。</p><p>　　2.巴特沃思低通濾波器</p><p>　　巴特沃思低通濾波器(BLPF)又稱(chēng)作最大平坦濾波器。與ILPF不同，它的通帶與阻帶之間沒(méi)有明顯的不連續(xù)性，因此它的空域響應(yīng)沒(méi)有“振鈴”現(xiàn)象發(fā)生，模糊程度減少。一個(gè)n階巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)為:

47、 </p><p><b>　　（2-8）</b></p><p>　　或 （2-9）</p><p>　　與理想低通相比，它保留有較多的高頻分量，所以對(duì)噪聲的平滑效果不如理想低通濾波器。一般情況下，常采用下降到最大值的那一點(diǎn)為低通濾波器的截止頻率點(diǎn)。<

48、;/p><p>　　3.指數(shù)低通濾波器(ELPF)</p><p>　　ELPF的傳遞函數(shù)表示為: </p><p>　?。?-10）或 （2-11）</p><p>　　當(dāng)、時(shí)，以上兩式的傳遞函數(shù)分別為和H，所以?xún)烧叩乃p特性仍有不同。由于ELPF具有比較平

49、滑的過(guò)濾帶，經(jīng)此平滑后的圖像沒(méi)有振鈴現(xiàn)象，而ELPF與BLPF相比，它具有更快的衰減特性，因此ELPF濾波后的圖像比BLPF處理的圖像稍微模糊上些。除了上述濾波方法外，學(xué)者們還提出了其它的基于頻域?yàn)V波的圖像去噪方法，如Wiener濾波[8]等。</p><p>　　綜上所述，圖像的經(jīng)典去噪方法主要有兩大類(lèi)，一種是基于空間域的處理方法，一種是基于頻域的處理方法。</p><p>　　基于空域

50、的平均濾波法和非線性的中值濾波都是通過(guò)對(duì)圖像像素的灰度值進(jìn)行運(yùn)算，達(dá)到平滑圖像的效果。平均濾波是以點(diǎn)鄰域像素灰度平均值來(lái)代替該點(diǎn)的灰度值，而中值濾波則以點(diǎn)鄰域像素灰度值中值來(lái)代替該點(diǎn)的灰度值，因此，對(duì)于隨機(jī)噪音的抑制能力，中值濾波器的性能要比均值濾波器的差些。但對(duì)于脈沖干擾來(lái)講，特別是脈沖寬度小于濾波器的窗口寬度一半，中值濾波還是很有效的。不過(guò)，他們?cè)谄交瑘D像的同時(shí)亦會(huì)使圖像輪廓變得模糊，它們的噪音平滑效果與窗口的寬度有關(guān)，窗口寬度越寬

51、，噪音平滑效果越好，但圖像就越模糊，這個(gè)矛盾難于解決，也是均值濾波和中值濾波的缺點(diǎn)。</p><p>　　基于頻域的處理方法主要是用濾波器，把有用的信號(hào)和干擾信號(hào)分開(kāi)，它在有用信號(hào)和干擾信號(hào)的頻譜沒(méi)有重疊的前提下，才能把有用信號(hào)和干擾信號(hào)完全區(qū)別開(kāi)來(lái)。但在實(shí)際的情況中，有用信號(hào)和干擾信號(hào)的頻譜往往是重疊的，因?yàn)闊o(wú)論是高斯白噪聲還是脈沖干擾，它們的頻譜幾乎都是分布在整個(gè)頻域。而圖像的像素灰度一般是光滑的，只有在圖像

52、輪廓細(xì)節(jié)處像素才會(huì)突變，所以可以用具有低通的濾波對(duì)圖像進(jìn)行平滑，不過(guò)在平滑的同時(shí)亦會(huì)使圖像變得模糊。這是用低通濾波器對(duì)圖像進(jìn)行平滑難于解決的矛盾。如果要噪聲平滑效果好，必然會(huì)引起圖像模糊，要圖像輪廓清晰，噪聲平滑效果必然不好。在使用時(shí)，必須權(quán)衡得失，在兩者中選擇其一。各種低通濾波器的性能比較如表2-1所示:</p><p>　　表2-1 各種低通濾波器的性能比較</p><p>　　由上述

53、經(jīng)典去噪方法要么完全在頻率域，要么完全在空間域展開(kāi)。這兩類(lèi)消噪方法造成了顧此失彼的局面，雖然抑制了噪聲，卻損失了圖像邊緣細(xì)節(jié)信息，造成圖像模糊[9]。因此，提出了基于小波變換的去噪方法研究。小波分析由于在時(shí)域頻域同時(shí)具有良好的局部化性質(zhì)和多分辨率分析的特點(diǎn)，能有效地把信號(hào)和噪聲區(qū)別開(kāi)來(lái)，因此不僅能滿足各種去噪要求如低通、高通、陷波、隨機(jī)噪音的去除等，而且與傳統(tǒng)的去噪方法相比較，有著無(wú)可比擬的優(yōu)點(diǎn)，成為信號(hào)分析的一個(gè)強(qiáng)有力的工具，被譽(yù)為分

54、析信號(hào)的數(shù)學(xué)顯微鏡。</p><p><b>　　2.2 小波去噪</b></p><p>　　近年來(lái)，小波理論得了非常迅速的發(fā)展，由于其具備良好的時(shí)頻特性和多分辨率特性，小波理論成功地在許多領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用?，F(xiàn)在小波分析已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、應(yīng)用科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域。在圖像去噪領(lǐng)域中，應(yīng)用小波理論進(jìn)行圖像去噪受到許多專(zhuān)家學(xué)者的重視，并取得了非常好的效果。</

55、p><p>　　2.2.1 小波去噪的發(fā)展歷程</p><p>　　1992年，Donoho和oJhnostne提出了小波閾值收縮方法(Wavelet Shrinkage)，同時(shí)還給出了小波收縮閾值，并從漸近意義上證明了它是小波收縮最佳閾值的上限[11]。以上小波收縮算法的一個(gè)嚴(yán)重的缺陷是:在去噪之前必須知道噪聲的大小(方差)。而在實(shí)際應(yīng)用中噪聲大小是無(wú)法預(yù)先知道的，于是Maarten Jas

56、en等提出了GCV(generalized cross validation)方法[12]，這種方法無(wú)需知道噪聲大小的先驗(yàn)知識(shí)，較好地解決了這一問(wèn)題。另外，由于Donoho和Johnstone給出的閾值有很?chē)?yán)重的“過(guò)扼殺”小波系數(shù)的傾向，因此人們紛紛對(duì)閾值的選擇進(jìn)行了研究[20一30]，并提出了多種不同的閾值確定方法。后來(lái)，人們針對(duì)閾值函數(shù)的選取也進(jìn)行了一些研究，并給出了不同的閾值[13-16]；但是當(dāng)這些方法用到非高斯、有色噪聲場(chǎng)合中

57、，效果卻不甚理想，其最主要的原因是這些方法都基于獨(dú)立同分布噪聲的假設(shè)，并且這些方法大多是從Donoho和Johnstone給出的方法發(fā)展而來(lái)的，從而它們最后的去噪性能也依賴(lài)于用wavelet shrinkage確定閾值時(shí)，對(duì)噪聲服從</p><p>　　目前，基于閾值收縮的小波去噪方法的研究仍然非?；钴S，近來(lái)仍不斷有新的方法出現(xiàn)，而且也可以看出，人們的研究方向已經(jīng)轉(zhuǎn)為如何最大限度地獲得信號(hào)的先驗(yàn)信息[18]，并用

58、這些信息來(lái)確定更合適的閾值或閾值向量，以達(dá)到更高的去噪效率。另外，除了閾值收縮方法外，Kivnac，John和Xu等人還提出了不同的去噪方法[l9]，例如利用LiPschitz指數(shù)的方法和基于最大后驗(yàn)概率MAP的比例收縮法等，這些都豐富了小波去噪的內(nèi)容。</p><p>　　2.2.2小波去噪的研究現(xiàn)狀</p><p>　　在數(shù)學(xué)上，小波去噪問(wèn)題的本質(zhì)是一個(gè)函數(shù)逼近問(wèn)題，即如何在有小波母函

59、數(shù)伸縮和平移所展成的函數(shù)空間中，根據(jù)提出的衡量準(zhǔn)則，尋找對(duì)原圖像的最佳逼近，以完成原圖像和噪聲的區(qū)分。這個(gè)問(wèn)題可以表述為：</p><p>　　由此可見(jiàn)，小波去噪方法也就是尋找實(shí)際圖像空間到小波函數(shù)空間的最佳映射，以便得到原圖像的最佳恢復(fù)。從信號(hào)的角度看，小波去噪是一個(gè)信號(hào)濾波的問(wèn)題，而且盡管在很大程度上小波去噪可以看成是低通濾波，但是由于在去噪后，還能成功地保留圖像特征，所以在這一點(diǎn)上優(yōu)于傳統(tǒng)的低通濾波器。由此

60、可見(jiàn)，小波實(shí)際上是特征提取和低通濾波功能的綜合，其等效框圖如圖2-2所示。</p><p>　　圖2-2 小波去噪的等效框圖</p><p>　　在早期，人們通過(guò)對(duì)邊緣進(jìn)行某些處理，以緩解低通濾波產(chǎn)生的邊緣模糊。在這一點(diǎn)上，雖然這種方法同小波去噪很相似，但是小波變換之所以能夠很好地保留邊緣，是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q的多分辨率特性，小波變化后，由于對(duì)應(yīng)圖像特征(邊緣等) 處的系數(shù)幅值變大，而且在相鄰尺

61、度層間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，所以便于特征提取和保護(hù)。相對(duì)早期的方法而言，小波噪聲對(duì)邊緣等特征的提取和保護(hù)是有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論背景的，因而便于系統(tǒng)的理論分析。在許多國(guó)內(nèi)外研究學(xué)者的努力下，小波去噪技術(shù)在信號(hào)處理領(lǐng)域中不斷得到發(fā)展和完善。早期的小波去噪工作類(lèi)似有損壓縮技術(shù)，即先對(duì)含噪信號(hào)進(jìn)行正交小波變換，再選定一個(gè)固定的閾值與小波系數(shù)比較進(jìn)行取舍，低于此閾值的小波系數(shù)設(shè)為零，然后進(jìn)行小波重構(gòu)恢復(fù)原信號(hào)，上述算法中的閾值選取完全取決于經(jīng)驗(yàn)和實(shí)際應(yīng)用

62、[24-28]。</p><p>　　1992年，由S.Mallat和Zhong提出了小波模極大值方法[40]，具體來(lái)說(shuō)，就是利用有用信號(hào)與噪聲小波變換的模極大值在多尺度分析中呈現(xiàn)不同的奇異性，用計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)由粗到精的跟蹤并消除各尺度下屬于噪聲的模極大值，然后利用屬于有用信號(hào)的模極大值重構(gòu)小波，模極大值方法可使信噪比提高4-7dB。由于受到各種因素的干擾，這種跟蹤是很困難的，在實(shí)際工作中需要一些經(jīng)驗(yàn)性的判據(jù)。奇

63、異點(diǎn)重建信號(hào)分為過(guò)零點(diǎn)重建小波變換和模極大值重建小波變換，其缺點(diǎn):用過(guò)零點(diǎn)或極大值來(lái)重建信號(hào)只是一種逼近，結(jié)果不太精確。</p><p>　　1995年，Stanford大學(xué)的學(xué)者D.L.Donoho和M.Johnstone提出了通過(guò)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行非線性閾值處理來(lái)恢復(fù)噪聲中的信號(hào)[24-27]，稱(chēng)為“小波收縮”。在此基礎(chǔ)上，他們提出了軟閾值和硬閾值的準(zhǔn)則，并從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度出發(fā)，不斷完善這一理論。他們算法的去噪效果

64、超過(guò)了一般的線性去噪技術(shù)，算法中的閾值選取取決于噪聲能量的大小，換句話說(shuō)，是取決于帶噪信號(hào)的信噪比的。和固定閾值算法一樣，分解后的每一層小波系數(shù)和這一閾值比較后進(jìn)行非線性處理，要么保留或收縮，要么歸零。有文獻(xiàn)表明[34]，與Mallat的模極大值法相比較，閾值法去噪后有噪信號(hào)的信噪比提高10dB以上，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，閾值法去噪效果優(yōu)于模極大值法，而且實(shí)現(xiàn)起來(lái)更為簡(jiǎn)單。</p><p>　　這之后的小波去噪方法主要是

65、從閾值函數(shù)的選擇或最優(yōu)小波基的選擇出發(fā)，提高去噪的效果。比較有影響的方法有：Eero P.Se moncelli和E H.Adelson提出的基于最大后驗(yàn)概率的貝葉斯估計(jì)準(zhǔn)則確定小波閾值的方法[31]。Elwood T.Olsen等在處理斷層攝影圖像時(shí)，提出了三種基于小波相位去噪方法：邊緣跟蹤法、局部相位方差閾值和尺度相位變動(dòng)閾值法[32]；學(xué)者Kozaitis結(jié)合小波變換和高階統(tǒng)計(jì)量的特點(diǎn)，提出對(duì)一維信號(hào)進(jìn)行去噪和信號(hào)重建的基于高階統(tǒng)

66、計(jì)量的小波閾值去噪方法[33]；G.P.Nason等利用原圖像和小波域圖像的相關(guān)性用GCV(general cross vali-dation)法對(duì)圖像進(jìn)行去噪[34].Huang.X和Woolsey等提出結(jié)合維納濾波器和小波閾值的方法對(duì)信號(hào)進(jìn)行去噪[35],VasilyStrela等人將一類(lèi)新的特性良好多小波(約束對(duì))應(yīng)用于圖像去噪的方法[34]，這些方法均取得了良好的效果，對(duì)發(fā)展小波去噪的理論和應(yīng)用起著重大的作用。</p>

67、;<p>　　2.2.3 小波去噪方法</p><p>　　小波去噪的方法有多種，如利用小波分解與重構(gòu)的方法濾波降噪、利用小波變換模極大值的方法去噪、利用信號(hào)小波變換后空域相關(guān)性進(jìn)行信噪分離、非線性小波閾值方法去噪、平移不變量小波去噪法，以及多小波去噪等等。歸結(jié)起來(lái)主要有三類(lèi):模極大值檢測(cè)法、閾值去噪法和屏蔽(相關(guān))去噪法。其中最常用的就是閾值法去噪，本文主要研究閾值去噪。</p>&

68、lt;p>　　第三章 小波變換理論基礎(chǔ)</p><p>　　3.1 從傅里葉變換到小波變換</p><p>　　傅立葉變換是一個(gè)強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)工具，它具有重要的物理意義，即信號(hào)的傅立葉變換表示信號(hào)的頻譜。正是傅立葉變換的這種重要的物理意義，決定了傅立葉變換在信號(hào)分析和信號(hào)處理中的獨(dú)特地位。傅立葉變換用在兩個(gè)方向上都無(wú)限伸展的正弦曲線波作為正交基函數(shù)，把周期函數(shù)展成傅立葉級(jí)數(shù)，把非周期函

69、數(shù)展成傅立葉積分，利用傅立葉變換對(duì)函數(shù)作頻譜分析，反映了整個(gè)信號(hào)的時(shí)間頻譜特性，較好地揭示了平穩(wěn)信號(hào)的特征。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看，傅立葉變換是通過(guò)一個(gè)基函數(shù)的整數(shù)膨脹而生成任意一個(gè)周期平方可積函數(shù)。通過(guò)傅立葉變換，在時(shí)域中連續(xù)變化的信號(hào)可轉(zhuǎn)化為頻域中的信號(hào)，因此傅立葉變換反映的是整個(gè)信號(hào)在全部時(shí)間下的整體頻域特征，但不能反映信號(hào)的局部特征。</p><p>　　傅立葉變換有如下不足：</p><p&

70、gt;　?。?）當(dāng)我們將一個(gè)信號(hào)變換到頻域的時(shí)候，其時(shí)間上的信息就失去了。當(dāng)觀察一個(gè)信號(hào)的傅立葉變換，我們不可能知道特定的事件何時(shí)發(fā)生；</p><p>　?。?）為了從模擬信號(hào)中提取頻譜信息，需要取無(wú)限的時(shí)間量，使用過(guò)去的和將來(lái)的信號(hào)信息只是為了計(jì)算單個(gè)頻率的頻譜；</p><p>　?。?）因?yàn)橐粋€(gè)信號(hào)的頻率與它的周期長(zhǎng)度成反比，對(duì)于高頻譜的信息，時(shí)間間隔要相對(duì)較小以給出比較好的精度。

71、而對(duì)于低頻譜的信息，時(shí)間間隔要相對(duì)較寬以給出完全的信息，亦即需要一個(gè)靈活可變的時(shí)間—頻率窗，使在高“中心頻率”時(shí)自動(dòng)變窄，而在低“中心頻率”時(shí)自動(dòng)變寬，傅立葉變換無(wú)法達(dá)到這種要求，它只能作全局分析，而且只對(duì)平穩(wěn)信號(hào)的分析有用。</p><p>　　但是，在實(shí)際應(yīng)用中，常常有些非平穩(wěn)信號(hào)，如音樂(lè)、語(yǔ)音信號(hào)等它們的頻域特性都隨著時(shí)間的變化而改變，這時(shí)傅立葉變換明顯表現(xiàn)出了其中的不足。為此，D.Gabor于1946年提

72、出了著名的Gabor變換，之后又進(jìn)一步發(fā)展為短時(shí)傅立葉變換(Short Time Fourier Trans</p><p>　　-form)，簡(jiǎn)記為STFT，又稱(chēng)窗口傅立葉變換。窗口傅立葉變換(STFT)克服了傅立葉變換不能同時(shí)進(jìn)行時(shí)間頻域的局部分析，在非平穩(wěn)信號(hào)的分析中起到了很好的作用。其主要特點(diǎn)是：用一窗口函數(shù)對(duì)信號(hào)作乘積運(yùn)算，實(shí)現(xiàn)在τ附近平穩(wěn)和開(kāi)窗，然后再進(jìn)行傅立葉變換。其變換如下：</p>

73、<p><b>　　(3-1)</b></p><p>　　由于窗口傅立葉變換所定義的窗函數(shù)的大小和形狀均與時(shí)間和頻率無(wú)關(guān)而保持不變，在實(shí)際應(yīng)用中也存在其局限性。主要有兩方面：一是因?yàn)楦哳l信號(hào)一般持續(xù)時(shí)間短，而低頻信號(hào)持續(xù)時(shí)間長(zhǎng)，因此需對(duì)高頻信號(hào)采用小時(shí)窗，對(duì)低頻信號(hào)采用大時(shí)窗。二是在進(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí)，為了便于計(jì)算，需對(duì)基函數(shù)進(jìn)行離散化，但Gabor基無(wú)論怎樣離散都不能組成一組正交

74、基，因此會(huì)給計(jì)算帶來(lái)不便。為了克服這些缺陷，使窗口具有自適應(yīng)特性和平穩(wěn)功能，1984年，法國(guó)地球物理學(xué)家J.Morlet在分析地震數(shù)據(jù)時(shí)提出將地震波通過(guò)一個(gè)確定函數(shù)的伸縮和平移來(lái)展開(kāi)。之后，他與A.Grossman共同研究，發(fā)展了連續(xù)小波變換的幾何體系，將任意一個(gè)信號(hào)可分解成對(duì)空間和尺度的貢獻(xiàn)。1985年，YMeyer,A.G.rossman與Daubechies共同尋找了連續(xù)小波空間的一個(gè)離散子集，得到了一組離散的小波基(稱(chēng)為小波框架

75、)。1986年，由Y.Meyer發(fā)現(xiàn)了構(gòu)成希爾伯特空間的規(guī)范正交基，從而證明了小波正交系的存在。1987年，Mallat將計(jì)算機(jī)視覺(jué)領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析的思想引入小波分析中，提出了多分辨率分析的概念，并提出了相應(yīng)的分解和重構(gòu)快速算法—Mal</p><p>　　3.2 小波理論的基本概念</p><p>　　3.2.1 連續(xù)小波變換</p><p>　　設(shè)，其傅里葉變

76、換為，當(dāng)滿足允許條件(完全重構(gòu)條件)：</p><p><b>　　(3-2)</b></p><p>　　時(shí)，我們稱(chēng)為一個(gè)基本小波或母小波(Mother Wavelet)。它說(shuō)明了基本小波在其頻域內(nèi)具有較好的衰減性。其中，當(dāng)時(shí)，有=0，即同時(shí)有。因此，一個(gè)允許的基本小波的幅度頻譜類(lèi)似于帶通濾波器的傳遞函數(shù)。事實(shí)上，任何均值為零(即 )且在頻率增加時(shí)以足夠快的速度消減

77、為零(空間局域化特征)的帶通濾波器的沖激響應(yīng)(傳遞函數(shù))，都可以作為一個(gè)基本小波。</p><p>　　將母函數(shù)經(jīng)過(guò)伸縮和平移后得到：</p><p><b>　　(3-3)</b></p><p>　　稱(chēng)其為一個(gè)小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。通常情況下，基本小波以原點(diǎn)為中心，因此是基本小波以為中心進(jìn)行伸縮得到?；拘〔ū簧炜s為(時(shí)

78、變寬，而時(shí)變窄)可構(gòu)成一組基函數(shù)。在大尺度a上，膨脹的基函數(shù)搜索大的特征，而對(duì)于較小的a則搜索細(xì)節(jié)特征。</p><p>　　對(duì)于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為：</p><p><b>　　(3-4)</b></p><p>　　當(dāng)此小波為正交小波時(shí)，其重構(gòu)公式為：</p><p><b>　　(3-5)<

79、/b></p><p>　　在小波變換過(guò)程中必須保持能量成比例，即</p><p><b>　　(3-6)</b></p><p>　　由于基小波生成的小波在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，所以還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件： </p><p><b>　　(3-7)</b>&l

80、t;/p><p>　　故是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，這意味著，為了滿足重構(gòu)條件式(3-2)，在原點(diǎn)必須等于零，即 (3-8)</p><p>　　此即說(shuō)明具有波動(dòng)性。為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了滿足重構(gòu)條件外，還要求的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定性條件：</p><p><

81、;b>　　(3-9) </b></p><p>　　式中，。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：</p><p>　?。?）線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。</p><p>　?。?）平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。</p><p>　?。?）伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為，&l

82、t;/p><p>　?。?）自相似性：對(duì)應(yīng)于不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。</p><p>　?。?）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度〔redundancy〕，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：</p><p>　?、儆蛇B續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說(shuō)，信號(hào)的小波變換與小波重構(gòu)

83、不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對(duì)應(yīng)的。</p><p>　?、谛〔ㄗ儞Q的核函數(shù)即小波函數(shù)存在許多可能的選擇(例如，它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。</p><p>　　小波的選擇并不是任意的，也不是唯一的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的(Compact Support)，即在一個(gè)很小的區(qū)間之外，函數(shù)值為零，函數(shù)應(yīng)有速降特性，以便

84、獲得空間局域化。另外，它還要滿足平均值為零。也就是說(shuō)，小波應(yīng)具有振蕩性，而且是一個(gè)迅速衰減的函數(shù)。</p><p>　　連續(xù)小波變換式(3-4)是用內(nèi)積來(lái)表示的，而數(shù)學(xué)上的內(nèi)積表示與的相似程度，所以由式(3-4)，當(dāng)尺度a增加時(shí)，表示以伸展了的波形去觀察整個(gè)；反之，當(dāng)尺度a減小時(shí)，則以壓縮的波形去衡量局部?？梢哉f(shuō)，尺度因子類(lèi)似于地圖中的比例因子，大的比例(尺度)參數(shù)看全局而小的比例(尺度)參數(shù)看局部細(xì)節(jié)。因此，有

85、人對(duì)小波變換特性作如下形象比喻：人們希望既看到森林，又看清樹(shù)木。所以，先通過(guò)望遠(yuǎn)鏡看清全貌，進(jìn)而通過(guò)顯微鏡觀察我們最感興趣的細(xì)節(jié)。小波變換就能達(dá)到這個(gè)目的，它既是望遠(yuǎn)鏡，又是顯微鏡，是一架變焦鏡頭。</p><p>　　3.2.2 離散小波變換</p><p>　　在實(shí)際運(yùn)用中，尤其是在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)時(shí)，連續(xù)小波必須加以離散化。因此有必要討論連續(xù)小波）和連續(xù)小波變換的離散化。需要強(qiáng)調(diào)指出的是

86、，這一離散化都是針對(duì)連續(xù)的尺度參數(shù)和連續(xù)平移參數(shù)b的，而不是針對(duì)時(shí)間t的。這一點(diǎn)與我們以前的習(xí)慣不同。在公式(3-3)中，a ,b ∈R; a≠0是容許的。為方便起見(jiàn)，在離散化中，總限制a只取正值。通常，把連續(xù)小波變換中尺度參數(shù)a和平移參數(shù)b的離散化公式分別取作，這里，擴(kuò)展步長(zhǎng)是固定值，為方便起見(jiàn)，總是假定。所以對(duì)應(yīng)的離散小波函數(shù)即可寫(xiě)作：</p><p><b>　　(3-10) </b>

87、</p><p>　　而離散化小波變換系數(shù)則可表示為：</p><p><b>　　(3-11)</b></p><p><b>　　其重構(gòu)公式為：</b></p><p><b>　　(3-12)</b></p><p>　　C是一個(gè)與信號(hào)無(wú)關(guān)的常數(shù)。

88、如何選擇和，才能保證重構(gòu)信號(hào)的精度呢?顯然，網(wǎng)絡(luò)點(diǎn)應(yīng)盡可能密(即和盡可能的小)，因?yàn)槿绻W(wǎng)絡(luò)點(diǎn)越稀疏，使用的小波函數(shù)和離散小波系數(shù)就越少，信號(hào)重構(gòu)的精確度也就會(huì)越低。由于圖像是二維信號(hào)，因此首先需要把小波變換由一維推廣到二維。令表示一個(gè)二維信號(hào)，分別是其橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，表示二維的基本小波，對(duì)應(yīng)的尺度函數(shù)為 。若尺度函數(shù)可分離，即：。令是與對(duì)應(yīng)的一維小波函數(shù)，則二維的二進(jìn)小波可表示為以下三個(gè)可分離的正交小波基函數(shù)：</p>

89、<p><b>　?。?-13）</b></p><p><b>　　（3-14）</b></p><p><b>　?。?-15）</b></p><p>　　這說(shuō)明在可分離的情況下，二維多分辨率可分兩步進(jìn)行。先沿方向分別用和做分析，把分解成平滑和細(xì)節(jié)兩部分，然后對(duì)這兩部分再沿方向用和做同

90、樣分析，所得到的四路輸出中經(jīng)，處理所得的一路是第一級(jí)平滑逼近，其它三路輸出，，都是細(xì)節(jié)函數(shù)。如果把和的對(duì)應(yīng)頻譜，設(shè)想成理想的半帶低通濾波器和高通濾波器，則反映的是 , 兩個(gè)方向的低頻分量， 反映的是水平方向的低頻分量和垂直方向的高頻分量，反映的是水平方向的高頻分量和垂直方向的低頻分量，反映的是兩個(gè)方向的高頻分量。對(duì)圖像進(jìn)行小波變換就是用低通濾波器和高通濾波器對(duì)圖像的行列進(jìn)行濾波（卷積），然后進(jìn)行二取一的下抽樣。這樣進(jìn)行一次小波變換的結(jié)果

91、便將圖像分解為一個(gè)低頻子帶（水平方向和垂直方向均經(jīng)過(guò)低通濾波）和三個(gè)高頻子帶，即用表示水平高通、垂直低通子帶，用表示水平低通、垂直高通子帶，用表示水平高通、垂直高通子帶。分辨率為原來(lái)的1/2，頻率范圍各不相同。第二次小波變換時(shí)只對(duì)子帶進(jìn)行，進(jìn)一步將子帶分解為，，和，分辨率為原來(lái)的1/4,頻率范圍進(jìn)一步減半，以此類(lèi)推。所以，進(jìn)行一次小波變換得到4個(gè)子帶，進(jìn)行M次分解就得到3 M+1個(gè)子帶，如圖3-1。</p><p&g

92、t;　　圖3-1 圖像的三級(jí)小波分解圖</p><p>　　第四章 小波閾值去噪及MATLAB仿真</p><p>　　4.1 小波閾值去噪概述</p><p>　　4.1.1 閾值去噪法簡(jiǎn)述</p><p>　　1992年，斯坦福大學(xué)的Donoho D L和Johnstone教授提出一種具有良好的統(tǒng)計(jì)優(yōu)化特性的去噪方法，稱(chēng)作“Wavele

93、t Shrinkage”（即閾值收縮法）。</p><p>　　該方法的主要思想是：基于圖像和噪聲在經(jīng)小波變換后具有不同的統(tǒng)計(jì)特性：圖像本身的能量對(duì)應(yīng)著幅值較大的小波系數(shù),主要集中在高頻（）；噪聲能量則對(duì)應(yīng)著幅值較小的小波系數(shù)，并分散在小波變換后的所有系數(shù)中。根據(jù)該特征，設(shè)置一個(gè)閾值門(mén)限，認(rèn)為大于該閾值的小波系數(shù)的主要成份為有用的信號(hào)，給予收縮后保留；小于該閾值的小波系數(shù)，主要成份為噪聲，予以剔除，這樣就可以達(dá)到

94、去噪的目的。</p><p>　　去噪時(shí)，通常認(rèn)為低通系數(shù)含有大量的圖像能量，一般不作處理，只對(duì)剩余三個(gè)高通部分進(jìn)行處理。因此，一次閾值去噪并不能完全去除噪聲，還需要對(duì)未作處理的低頻部分（）再次進(jìn)行小波分解和閾值去噪，直到實(shí)際圖像與估計(jì)圖像的偏差達(dá)到最小值。</p><p>　　但是，隨著分解和去噪次數(shù)的增加，小波系數(shù)中的噪聲能量越來(lái)越少，并且趨于分散，去噪的效果將逐漸降低。一般來(lái)說(shuō)，進(jìn)行

95、3-4層小波分解和去噪就可以達(dá)到滿意的去噪效果。</p><p>　　4.1.2 小波閾值去噪方法</p><p>　　小波閾值去噪的基本思路是：</p><p>　?。?）先對(duì)含噪信號(hào)做小波變換，得到一組小波系數(shù)；</p><p>　　（2）通過(guò)對(duì)進(jìn)行閾值處理，得到估計(jì)系數(shù)，使得與兩者的差值盡可能??；</p><p>

96、;　　（3）利用進(jìn)行小波重構(gòu)，得到估計(jì)信號(hào)即為去噪后的信號(hào)。</p><p>　　Donoho提出了一種非常簡(jiǎn)潔的方法對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行估計(jì)。對(duì)連續(xù)做幾次小波分解后，有空間分布不均勻信號(hào)各尺度上小波系數(shù)在某些特定位置有較大的值，這些點(diǎn)對(duì)應(yīng)于原始信號(hào)的奇變位置和重要信息，而其他大部分位置的較??；對(duì)于白噪聲，它對(duì)應(yīng)的小波系數(shù)在每個(gè)尺度上的分不都是均勻的，并隨尺度的增加，系數(shù)的幅值減小。因此，通常的去噪辦法是尋找一個(gè)合適的

97、數(shù)作為閾值（門(mén)限），把低于λ的小波函數(shù)（主要由信號(hào)引起），設(shè)為零，而對(duì)于高于的小波函數(shù)（主要由信號(hào)引起），則予以保留或進(jìn)行收縮，從而得到估計(jì)小波系數(shù)，它可理解為基本由信號(hào)引起的，然后對(duì)進(jìn)行重構(gòu)，就可以重構(gòu)原始信號(hào)。</p><p>　　估計(jì)小波系數(shù)的方法如下，?。?lt;/p><p><b>　　（4-1）</b></p><p><b>

98、;　　定義：</b></p><p><b>　?。?-2）</b></p><p>　　稱(chēng)之為硬閾值估計(jì)方法。一般軟閾值估計(jì)定義為</p><p><b>　?。?-3）</b></p><p>　　4.2 基于MATLAB的小波去噪函數(shù)簡(jiǎn)介</p><p>　

99、　常用的圖像降噪方式是小波閾值降噪方法。這是一種實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單而效果較好的降噪方法，閾值降噪方法的思想很簡(jiǎn)單，就是對(duì)小波分解后的各層系數(shù)模大于和小于某閾值的系數(shù)分別進(jìn)行處理，然后利用處理后的小波系數(shù)重構(gòu)出降噪后的圖像。在閾值降噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)小波分解系數(shù)的不同處理策略和不同的估計(jì)方法。常用的閾值函數(shù)有硬閾值函數(shù)和軟閾值函數(shù)。硬閾值函數(shù)可以很好地保留圖像邊緣等局部特征，但圖像會(huì)出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺(jué)失真等現(xiàn)象：而軟閾值處理相對(duì)較光滑，但可

100、能會(huì)造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象，為此人們提出了半軟閾值函數(shù)。</p><p>　　小波閾值降噪方法處理閾值的選取，另一個(gè)關(guān)鍵因素是閾值的具體估計(jì)。如果閾值太小，降噪后的圖像仍然存在噪聲：相反如果閾值太大，重要圖像特征有被濾掉，引起偏差。從直觀上講,對(duì)于給定的小波系數(shù)，噪聲越大，閾值就越大。</p><p>　　MATLAB中實(shí)現(xiàn)圖像的降噪，主要是閾值獲取和圖像降噪實(shí)現(xiàn)兩個(gè)方面。</p&g

101、t;<p><b>　　1 閾值獲取</b></p><p>　　MATLAB中實(shí)現(xiàn)閾值獲取的函數(shù)有ddencmp、select、wbmpen和wdcbm2。這里主要介紹函數(shù)ddencmp。</p><p>　　函數(shù)ddencmp的功能是獲取降噪或壓縮的默認(rèn)值。該函數(shù)是降噪和壓縮的導(dǎo)向函數(shù)，它給出一維或二維信號(hào)使用小波或小波包進(jìn)行降噪和壓縮一般過(guò)程的所有

102、默認(rèn)值。</p><p><b>　　其語(yǔ)法格式為：</b></p><p>　　[THR,SORH,KEEPAPP,CRIT]=ddencmp（IN1，IN2，X）</p><p>　　[THR,SORH,KEEPAPP]= ddencmp（IN1，‘wv’，X）</p><p>　　[THR,SORH,KEEPAPP

103、,CRIT]= ddencmp（IN1，‘wp’，X）</p><p><b>　　2 閾值降噪</b></p><p>　　MATLAB中實(shí)現(xiàn)閾值降噪的函數(shù)有wden、wdencmp、wpdencmp、wthresh、wpthcoef和wthcoef2。這里主要介紹函數(shù)wdencmp。</p><p><b>　　其語(yǔ)法格式為：&l

104、t;/b></p><p>　　[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('gbl',X,'wname',N,THR,SORH,KEEPAPP)</p><p>　　[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('lvd',X,'wname',N,THR,SORH)

105、</p><p>　　[XC,CXC,LXC,PERF0,PERFL2] = wdencmp('lvd',C,L,'wname',N,THR,SORH)</p><p>　　函數(shù)wdencmp的功能是使用小波進(jìn)行降噪。該函數(shù)是二維小波降噪的導(dǎo)向函數(shù)。它使用小波對(duì)信號(hào)或圖像執(zhí)行降噪過(guò)程。wname是所用的小波函數(shù)。gbl（global）表示每層都采用同一個(gè)閾值

106、進(jìn)行處理。lvd表示每層用不同的閾值進(jìn)行處理。N表示小波分解的層數(shù)。THR為閾值向量，長(zhǎng)度為N。SORH表示選擇軟閾值或硬閾值（分別取值為‘s’和‘h’）。參數(shù)KEEPAPP取值為1是，則低頻系數(shù)不進(jìn)行閾值量化，反之，則低頻系數(shù)要進(jìn)行閾值量化。XC是降噪后的信號(hào)，[CXC,LXC]是XC的小波分解結(jié)構(gòu)，PHRF0和PERFL2是恢復(fù)和壓縮L2的范數(shù)百分比。如果[C，L]是x的小波分解結(jié)構(gòu)，則PERFL2=100（CXC向量的范數(shù)/C向量

107、的范數(shù)）2；如果X是一維信號(hào)，小波wname是一個(gè)正交小波，則PERFL2=。</p><p>　　4.3小波去噪對(duì)比試驗(yàn)</p><p>　　接下來(lái)按照上述小波閾值變換在信號(hào)去噪中的算法及小波閾值函數(shù)進(jìn)行計(jì)算機(jī)仿真，仿真程序采用MATLAB語(yǔ)言編寫(xiě)。該節(jié)首先產(chǎn)生一個(gè)實(shí)驗(yàn)信號(hào)，然后對(duì)小波去噪時(shí)各種參數(shù)設(shè)置進(jìn)行了詳細(xì)的對(duì)比研究，最后用MATLAB語(yǔ)言對(duì)小波去噪進(jìn)行仿真。</p>

108、<p>　　4.3.1 實(shí)驗(yàn)信號(hào)的產(chǎn)生</p><p>　　該節(jié)所用到的實(shí)驗(yàn)信號(hào)是由wnoise（）函數(shù)產(chǎn)生的長(zhǎng)度為211點(diǎn)、含標(biāo)準(zhǔn)高斯白噪聲、信噪比為3的‘heavy sine’信號(hào)。</p><p>　　MATLAB工具箱提供了函數(shù)wnoise以實(shí)現(xiàn)為檢驗(yàn)小波去噪性能產(chǎn)生測(cè)試噪聲。其語(yǔ)法格式為：</p><p>　　X = wnoise(FUN,N)

109、</p><p>　　[X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR)</p><p>　　[X,XN] = wnoise(FUN,N,SQRT_SNR,INIT)</p><p>　?。?）X = wnoise(FUN,N)產(chǎn)生幅值在[0，1]之間長(zhǎng)度為2N的信號(hào)，信號(hào)的類(lèi)型由FUN指定：</p><p>　　FUN=1