矩陣初等變換及其應(yīng)用畢業(yè)論文

1、<p>　　學(xué)號：2008310849</p><p><b>　　哈爾濱師范大學(xué)</b></p><p><b>　　學(xué)士學(xué)位論文</b></p><p>　　題 目 矩陣初等變換及其應(yīng)用</p><p>　　學(xué) 生 焦 陽</p><p>

2、　　指導(dǎo)教師 林立軍 副教授</p><p>　　年 級 2008級</p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p>　　系 別 數(shù)學(xué)系</p><p>　　學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院</p><p>　　2012年4月25日</p><p>

3、　　學(xué) 士 學(xué) 位 論 文</p><p>　　題 目 矩陣初等變換及其應(yīng)用</p><p>　　學(xué) 生 焦陽</p><p>　　指導(dǎo)教師 林立軍 副教授</p><p>　　年 級 2008級</p><p>　　專 業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)</p><p

4、>　　系 別 數(shù)學(xué)系</p><p>　　學(xué) 院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院</p><p>　　2012年4月25日</p><p>　　矩陣初等變換及其應(yīng)用</p><p><b>　　焦 陽</b></p><p>　　摘 要：初等變換是高等代數(shù)和線性代數(shù)學(xué)習(xí)過程中非常重要的，

5、使用非常廣泛的一種工具。本文列舉了矩陣初等變換的幾種應(yīng)用，包括求矩陣的秩、判斷矩陣是否可逆及求逆矩陣、判斷線性方程組解的狀況、求解線性方程組的一般解及基礎(chǔ)解系、證向量的線性相關(guān)性及求向量的極大無關(guān)組、求向量空間兩個基的過渡矩陣、化二次型為標準形。并用具體例子說明矩陣初等變換在以上幾種應(yīng)用中是如何運用的。</p><p>　　關(guān)鍵詞：矩陣 初等變換 初等矩陣</p><p>　　在代數(shù)的

6、學(xué)習(xí)過程中，我發(fā)現(xiàn)矩陣的初等變換有許多應(yīng)用，幾乎貫穿著始終。本文將對矩陣的初等變換進行介紹并以具體例子說明矩陣初等變換的七種應(yīng)用。雖然這些計算格式有不少類似之處，但是也指出由于這些計算格式有不同的原理，所以它們的應(yīng)用也有一些明顯的區(qū)別。</p><p>　　定義1：矩陣的行（列）初等變換是指對一個矩陣施行的下列變換：</p><p>　?。?）交換矩陣的兩行（列）(交換第i，j兩行（列），

7、記作）；</p><p>　　（2）用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）即用一個不等于零的數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個元素（用數(shù)k乘以第i行（列），記作；</p><p>　?。?）用某一個數(shù)乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列），即用某一數(shù)乘矩陣的某一行（列）的每一個元素再加到另一行（列）的對應(yīng)元素上(第i行（列）k倍加到第j行（列），記作。</p><p>

8、　　初等行、列變換統(tǒng)稱為初等變換。</p><p>　　定義2：對單位矩陣I僅施以一次初等變換后得到的矩陣稱為相應(yīng)的初等矩陣，分別記為第1、2、3類行（列）初等矩陣為，，，有</p><p><b>　　==</b></p><p><b>　　==</b></p><p><b>　　=

9、=</b></p><p>　　初等變換與初等矩陣之間有下列基本性質(zhì)。</p><p>　　定理1：對mn矩陣A，作一次初等行（列）變換所得的矩陣B，等于以一個相應(yīng)的m階（n階）初等矩陣左（右）乘A。</p><p>　　下面將介紹幾種實用初等變換的方法。由于側(cè)重實際應(yīng)用方面，在表述方面著重講清基本概念、原理和計算方法，避免繁瑣、冗長的理論推導(dǎo)和證明，力

10、求簡明準確；將抽象的理論，從具體問題入手，通過典型例題對基本概念、所涉及的方法進行融會貫通。</p><p><b>　　1、求矩陣的秩</b></p><p>　　由于初等變換不改變矩陣的秩，如果我們要求一個矩陣的秩，可以先利用行初等變換將其化為行階梯形矩陣。行階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù)，行階梯形矩陣的秩就是原矩陣的秩。這樣我們就可以求出原矩陣的秩。</p

11、><p>　　定義1：在mn矩陣A中，任取k行k列（km，kn），位于這些行列交叉處的個元素，不改變它們在A中所處的位置次序二而得到的k階行列式，稱為A的k階子式。</p><p>　　定義2：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)，稱為矩陣A的秩，記作r（A），并規(guī)定零矩陣的秩等于零。</p><p>　　定理1：初等變換不改變矩陣的秩。</p><p>

12、　　推論1：若A是一個的矩陣，經(jīng)過初等變換可以得到一個行階梯形矩陣B，顯然B與A等價，有r（A）=r（B）。</p><p>　　例1 求矩陣A的秩，A=。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　A=。</b></p><p>　　所以由推論得：A的秩為3。<

13、/p><p>　　例2 求矩陣A=的秩r（A）。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　A==B</b></p><p>　　所以r（B）=2，r（A）=r（B）=2。</p><p>　　矩陣的秩是矩陣的一個重要數(shù)字特征，矩陣的許多重要性質(zhì)都可

14、以通過它來反映，如矩陣非零子式的最高階數(shù)，矩陣行（列）向量組的線性相關(guān)性等。</p><p>　　2、判斷矩陣是否可逆及求逆矩陣 </p><p>　　可逆矩陣在線性代數(shù)中具有很重要的地位，但若是用伴隨矩陣的方式來求一個矩陣的逆矩陣工作量非常大。然而根據(jù)可逆矩陣與初等矩陣之間的關(guān)系，矩陣求逆的問題可以通過初等變換很輕松的解決。</p><p>　　利用初等變換判定矩

15、陣為可逆陣的方法有：</p><p>　　滿秩法：n階矩陣A為可逆陣的充要條件是r（A）=n。</p><p>　　初等變換法：n階矩陣A為可逆陣的充要條件是可通過對A作有限次行（或列）初等變換后化為單位陣。</p><p>　　定理1：矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是A可以表示為有限個初等矩陣的乘積。</p><p>　　例1 判定矩陣A

16、=是否可逆。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　1）滿秩法：</b></p><p><b>　　A=，</b></p><p>　　所以r（A）=3，即矩陣A為滿秩，故矩陣A可逆。</p><p><b>

17、　　初等變換法：</b></p><p><b>　　A=</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　所以矩陣A可逆。</b></p><p>　　一種求逆的方法：將分塊矩陣進行行初等變換，當(dāng)前面一塊變成單位矩陣時，后</p&

18、gt;<p><b>　　面一塊就是。</b></p><p>　　例2 設(shè)A=，求。</p><p><b>　　解：因為A=</b></p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　所以=。</b></p>

19、;<p>　　另一種求逆方法：將分塊矩陣進行列初等變換，當(dāng)上面一塊變成單位矩陣時，下面</p><p><b>　　一塊就是。</b></p><p>　　例3 已知矩陣A= 可逆，用列初等變換法求。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　=

20、</b></p><p><b>　　， </b></p><p>　　從而得到：A-1=。</p><p>　　在用初等變換法求逆的過程中，或從始至終只作行的初等變換，或從始至終只作列初等變換。絕不能同時作行與列的初等變換。</p><p>　　3、判斷線性方程組解的狀況</p><p&

21、gt;　　齊次線性方程組有個明顯的零解x=0，稱其為平凡解。于是，對于齊次線性方程組，只需研究其在何種情況下有非零解（非平凡解）。</p><p>　　定理1：n元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分且必要條件為它的系數(shù)矩陣的秩r（A） <n;它只有零解的充分必要條件是r（A）=n。</p><p>　　定理2：n元非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣解

22、陣的秩。</p><p>　　判斷線性方程組解的狀況就是先求出線性方程組的系數(shù)矩陣的秩r（A）與增廣矩陣的秩r（B），然后比較r（A）與r（B）。當(dāng)r（A）小于r（B）時，方程組無解；當(dāng)r（A）等于r（B）等于未知量的個數(shù)時，方程組有唯一解；當(dāng)r（A）等于r（B）并小于未知量的個數(shù)時，方程組有無窮多解。</p><p>　　例1 已知齊次線性方程組</p><p>

23、;　　有非平凡解，求的值。</p><p>　　解：齊次線性方程組有非平凡解，必有系數(shù)矩陣A的秩r（A）<3.而</p><p><b>　　A= </b></p><p>　　為了使r（A）<3，必須+8=0，即=-8時齊次線性方程組有非平凡解。</p><p>　　例2 判斷線性方程組是否有解？<

24、/p><p>　　解：對相應(yīng)的增廣矩陣進行初等行變換</p><p><b>　　B=</b></p><p>　　則r（A）=2，r（B）=3，r（A）r(B),所以，原線性方程組無解。</p><p>　　例3 討論取何值時方程組有唯一解、無窮多解、無解。</p><p>　　解：對增廣矩陣實施

25、初等行變換</p><p><b>　　B= </b></p><p>　　當(dāng)=1時，r（A）=r（B）=1<3，方程組有無窮多解；當(dāng)1時，繼續(xù)變換</p><p>　　所以，當(dāng)1并且-2時，r（A）=r(B)=3,方程組有唯一解。當(dāng)=-2時，r（A）=2<r（B）=3，方程組無解。</p><p>　　在判

26、定含有參量的線性方程組有沒有解及有多少解的問題時，需要注意的是：由于所含的參數(shù)是不確定的數(shù)值，所以在對增廣矩陣施行行初等變換的時候，應(yīng)當(dāng)考慮作變換時所用的“數(shù)”（如果它是含參量的一個代數(shù)式）是否可能為零（對某參量的取值），是否有意義，即（無論參量的取值如何）分母是否為零等，以決定所作的變換是否可施行。</p><p>　　4、解線性方程組的一般解及基礎(chǔ)解系</p><p>　　線性代數(shù)的起

27、源之一，是解線性方程組的問題。解一個線性方程組最基本的方法是所謂“加減消元法”。這種方法有三個基本操作：方程組中兩個方程互換，一個方程兩邊乘一非零常數(shù)，一個方程加另一個方程的若干倍。</p><p>　　用初等行變換解線性方程組的步驟是：</p><p>　　將增廣矩陣B=（Ab）化為行階梯矩陣，若R（B）R（A），則方程組無解；若R（B）= R（A），則進行下一步。</p>

28、<p>　　將增廣矩陣進一步化為行最簡形矩陣；</p><p>　　寫出同解方程組（用自由未知量表示其余未知量）；</p><p>　　寫出方程組的通解（參數(shù)形式或向量形式）。</p><p>　　例1 求線性方程組的解。</p><p>　　解：設(shè)B是線性方程組的增廣矩陣，于是</p><p><

29、b>　　B= </b></p><p>　　于是，得到同解的方程組為</p><p><b>　　將這方程組改寫為</b></p><p>　　通過回代，將作為自由未知量，得到原方程組的一般解： 。</p><p>　　例2 求四元齊次線性方程組的一般解和一個基礎(chǔ)解系。</p><

30、;p><b>　　解：A= ，</b></p><p><b>　　得到一般解：</b></p><p>　　由此可得到方程組的一個基礎(chǔ)解系為</p><p><b>　　。</b></p><p>　　利用矩陣初等變換解線性方程組就是將方程組的增廣矩陣進行初等變換，從

31、而得到與原</p><p>　　方程組同解的梯形線性方程組。再通過回代得到原方程組的一般解。</p><p>　　在解線性方程組的時候只允許使用交換系數(shù)矩陣中的兩列，而不得使用其余的兩種初等</p><p>　　列變換，此時相當(dāng)于交換兩個未知量的次序。但是，在實際解方程組時，我們不必要這么做，</p><p>　　更不要把最后一列與前面某一列

32、交換。此外，由于其余兩種初等列變換不是“同解變換”，</p><p>　　因此在解方程組時，不允許使用。</p><p>　　5、證向量的線性相關(guān)性、求向量組的極大無關(guān)組</p><p>　　求向量組的極大線性無關(guān)組,最方便,最常用的方法可能要數(shù)初等變換法了，這也是我們</p><p><b>　　最容易掌握的。</b>

33、</p><p>　　定義1：設(shè)是向量空間V的r個向量。如果存在F中不全為零的數(shù)a1，a2，</p><p>　　ar使得 ，那么就說線性相關(guān)。</p><p>　　定義2：設(shè)向量組T。如果它的一個部分組滿足：</p><p><b>　?。?）線性無關(guān)；</b></p><p>　　（2）任取T

34、，則，線性相關(guān)。則稱部分組為向量組T的一個最大無關(guān)組。</p><p>　　定理1：設(shè)rn，則n維向量組線性無關(guān)的充分必要條件是它構(gòu)成的矩陣</p><p>　　A=的秩等于向量的個數(shù)r。</p><p>　　證向量組的線性相關(guān)性的步驟是：</p><p>　　一、求向量組所構(gòu)成的矩陣的秩；</p><p>　　二、比

35、較向量組所構(gòu)成的矩陣的秩與向量組向量的個數(shù)。若向量組所構(gòu)成的矩陣的秩等于向量組向量的個數(shù)，那么，向量組線性相關(guān)。若向量組所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量組向量的個數(shù)，那么，向量組線性無關(guān)。</p><p>　　例1 已知，，，試討論向量組b1,b2,b3</p><p>　　和向量組b1，b2的線性相關(guān)性。</p><p><b>　　解：</b>&

36、lt;/p><p>　?。╞1,b2,b3）= </p><p>　　r（b1,b2,b3）=2,向量組b1,b2,b3線性相關(guān)；r（b1,b2）=2，向量組b1,b2線性無關(guān)。</p><p>　　例2 k取何值時，向量組，，線性無關(guān)。</p><p>　　解：構(gòu)造矩陣（），由于</p><p><b>

37、;　　=</b></p><p>　　當(dāng)k-2時，矩陣的秩等于3，等于向量的個數(shù)，線性無關(guān)。</p><p>　　定義：向量組的一個部分向量組叫做一個極大線性無關(guān)</p><p>　　部組（簡稱極大無關(guān)組），如果</p><p><b>　　（1）線性無關(guān)；</b></p><p>　

38、?。?）每一，j=1，…n，都可以由線性表示。</p><p>　　利用矩陣的初等變換將向量組堪稱某個矩陣A的列（行）向量組，然后用初等行（列）變換將A化為階梯形矩陣B，則向量組的秩等于階梯形矩陣B的非零行（列）的行（列）數(shù)，在B中找出一個階數(shù)最高的非零子式，那么與中這r列（行）相對應(yīng)的r個向量就是原向量組的一個極大無關(guān)組。</p><p>　　例3 求向量組，，，，的極大線性無關(guān)組，

39、并將其余向量用極大線性無關(guān)組表示。</p><p>　　解：設(shè)A==。對A作初等變換，將其化為行階梯矩陣，即</p><p><b>　　A= </b></p><p>　　故r（A）=3。該行階梯矩陣每個非零行第一個非零元所在的列為第1，2，4列，所以，</p><p>　　向量組的一個極大線性無關(guān)組為，且，。<

40、/p><p>　　向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但向量組的任意兩個極大無關(guān)組之間等價。一個向量</p><p>　　組的所有極大無關(guān)組所含的向量的個數(shù)都是相同的。一個由非零向量組成的向量組必有最大</p><p>　　無關(guān)組，若向量組線性無關(guān)，則此向量組本身就是一個最大無關(guān)組；若向量組線性相關(guān)，則</p><p>　　此向量組中必存在最大無關(guān)組。

41、</p><p>　　6、求向量空間兩個基的過渡矩陣</p><p>　　過渡矩陣是線性空間理論中非常重要的概念之一。求向量空間的一組基到另一組基的過</p><p>　　渡矩陣，最直接的方法便是按過渡矩陣的定義先列出一組等式，進而需求解n個非齊次線性方程組，然后寫出過渡矩陣，其間運算量很大，為了簡化計算，下面將介紹用行初等變換的方法求的一組基到另一組的過渡矩陣。&

42、lt;/p><p>　　定義1：設(shè)和{}是n維向量空間V的兩個基。于是我們知向</p><p>　　量，j=1， ，n，可以由線性表示。我們設(shè)</p><p>　　這里()就是關(guān)于基的坐標。以這n個坐標為列，作一個n 階矩陣T=，矩陣T叫做由基到基{}的過渡矩陣。</p><p>　　求過渡矩陣的方法為：</p><p>

43、　　1、先寫出這個向量空間的標準基到這兩個基和{}的過渡矩陣A和B。</p><p>　　2、我們有=A,( ) =B。</p><p>　　3、于是()=A-1B。因此，由基到基</p><p>　　{}的過渡矩陣是A-1B。</p><p>　　求A-1B的方法：將分塊矩陣進行行初等變換，當(dāng)前一塊變成單位矩陣時，</p>&

44、lt;p>　　后一塊即為A-1B。</p><p>　　例1 已知,,,與,,,為線性空間R4的兩組基。求由到的過渡矩陣。</p><p>　　解：設(shè)A為由基到的過渡矩陣，則（）=</p><p>　?。ǎ〢。B、C為標準基到這兩個基的過渡矩陣，則A=B-1C。</p><p><b>　　=</b></p

45、><p><b>　　.</b></p><p><b>　　得到A==。</b></p><p>　　若矩陣T是基到基{}的過渡矩陣，那么由基{}到基得過渡矩陣就是。</p><p>　　7、化二次型為標準形</p><p>　　定義1：含有n個變量的二次齊次函數(shù)</p&

46、gt;<p><b>　　=（）</b></p><p><b>　　稱為二次型。</b></p><p>　　定義2：若二次型=經(jīng)可逆變換x=Cy變成只含平方項，即</p><p><b>　　=</b></p><p>　　這種只含平方項的二次型，稱為的標準型

47、。</p><p>　　利用初等變換將二次型化為標準型的過程如下：</p><p><b>　　（其中為對角陣）</b></p><p>　　對A進行兩次變換（一次列變換和一次對應(yīng)的行變換或一次行變換和一次對應(yīng)的列變換），對E僅進行一次相應(yīng)的列變換，兩次變換一定要對應(yīng)，且對E的列變換與對A的列變換要相同。此法的優(yōu)點是：經(jīng)初等變換后可同時求出對角

48、陣及所用的非退化線性變換矩陣P，從而直接寫出所用的非退化的線性變換。</p><p>　　例1 用初等變換法將二次型化為標準形，并寫出所用的可逆線性變換。</p><p>　　解：二次型的矩陣為A=，又有=,故可逆線性變換</p><p><b>　　化二次型為。</b></p><p>　　例2 用初等變換法將二次

49、型化為標準型。</p><p><b>　　解：</b></p><p><b>　　==，</b></p><p><b>　　所求P=。</b></p><p>　　經(jīng)非退化線性變換x=Py可化為標準型=。 </p><p>　　由于采用的初等變換方

50、法不同，所以得到的和P可能不同。由此可說明線性變換P</p><p>　　和對角陣是不唯一的，進而說明實二次型的標準型是不唯一的。在工程數(shù)學(xué)教材中化二次型為標準形一般是采用正交換法或配方法，求解過程較繁，特別是施密特正交化過程公式，較易忘記。這里介紹的用初等變換就能快速化二次型為標準型的方法與書中的初等變換結(jié)合緊密,學(xué)生容易理解和掌握。</p><p>　　矩陣的初等變換是矩陣十分重要的運

51、算，應(yīng)用的方面十分廣泛，大家要能夠熟練的掌握矩陣的初等變換。本文只是對作者比較熟悉的幾個方面的應(yīng)用做了粗略的介紹，望對矩陣初等變換的學(xué)習(xí)有所幫助。</p><p><b>　　參考文獻：</b></p><p>　　[1]張禾瑞 郝鈵新：高等代數(shù)，高等教育出版社，1999年。</p><p>　　[2]西北工業(yè)大學(xué)高等代數(shù)編寫組：高等代數(shù)，科學(xué)

52、出版社，2008年。</p><p>　　[3]上海市教育委員會：線性代數(shù)及其應(yīng)用，上海交通大學(xué)出版，2008年。</p><p>　　[4]河北農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院：線性代數(shù)及其應(yīng)用，高等教育出版社，2001年。</p><p>　　[5]盧剛：線性代數(shù)，高等教育出版社，2000年。</p><p>　　[6]盧剛：線性代數(shù)中的典型例題分析與習(xí)題

53、，高等教育出版社，2004年。</p><p>　　[7]天津大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)教研組：線性代數(shù)及其應(yīng)用，科學(xué)出版社，2007年。</p><p>　　[8]鄧澤清：線性代數(shù)及其應(yīng)用，高等教育出版社，2001年。</p><p>　　[9]郝志峰：線性代數(shù)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與典型例題，高等教育出版社，2006年。</p><p>　　[10]劉劍平 施勁松

54、 錢夕元：線性代數(shù)及其應(yīng)用，華東理工大學(xué)出版社，2005年。</p><p>　　[11]鄧澤清 黃光谷 陳曉坤：線性代數(shù)習(xí)題與考研題解析，中山大學(xué)出版社，2004年。</p><p>　　[12]朱永松 楊策平：線性代數(shù)應(yīng)用與提高，科學(xué)出版社，2003年。</p><p>　　APPLICATIONS OF ELEMENTARY TRANSFORMATION OF

55、 MATRIX</p><p><b>　　JINA Yang</b></p><p>　　Abstract: Elementary transformation is very important in studying advanced algebra and linear algebra, and it is widely used to solve the p

56、roblem. This article enumerates several examples of elementary transformation of matrix, including solving the rank of the matrix、determining whether a matrix is reversible and solving inverse matrix、determining the stru

57、cture of solutions of the group of linear equations、solving the basic set of solutions or the general solutions to the group of linear equati</p><p>　　Key words: matrix; elementary transformation; elementary

58、 matrix</p><p><b>　　論文評閱人意見</b></p><p><b>　　論文評閱人意見</b></p><p><b>　　指導(dǎo)教師評語頁</b></p><p>　　本科畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯過程記錄</p><p>　　院系

59、數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 年級 2006級 </p><p>　　答辯人姓名 焦 陽 學(xué)號 2008310849 </p><p>　　畢業(yè)論文（設(shè)計）題目 矩陣初等變換及其應(yīng)用 </p><p&

60、gt;　　畢業(yè)論文（設(shè)計）答辯過程記錄：</p><p>　　1、為什么選這個課題？</p><p>　　答：在學(xué)習(xí)高等代數(shù)的過程中，發(fā)現(xiàn)矩陣初等變換的應(yīng)用特別廣泛。在很多方面都要用到初等變換，覺得掌握好初等變換對代數(shù)的學(xué)習(xí)特別有幫助。</p><p>　　2、全文的基本框架是怎么安排的？</p><p>　　答：主要是根據(jù)所應(yīng)用的方面在高等

61、代數(shù)的學(xué)習(xí)中的難易程度，從易到難，循序漸進。</p><p>　　3、你寫這篇論文時參考了哪些書籍和有關(guān)資料？</p><p>　　答：除了大學(xué)學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)的教材還包括西北大學(xué)高等代數(shù)編寫組編寫的《高等代數(shù)》、盧剛編寫的《線性代數(shù)》等關(guān)于高等代數(shù)和線性代數(shù)及其應(yīng)用方面的書籍，以及線性代數(shù)的習(xí)題解析等書籍。</p><p>　　錢方生問：有沒有論文中沒提到的初等變換

62、其它方面的應(yīng)用？</p><p>　　答：其實初等變換的應(yīng)用還很多，比如在初等數(shù)論中我們也可以用初等變換來求最大公因數(shù)及其倍數(shù)和、不定方程、一次同余式組等等。</p><p>　　答辯是否通過：通過（ ） 未通過（ ）</p><p>　　記錄員 答辯小組組長簽字 </