外文翻譯--鉸接四桿機(jī)構(gòu)會(huì)引起不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的證明 中文版

1、<p>　　鉸接四桿機(jī)構(gòu)會(huì)引起不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的證明</p><p>　　不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)在它的運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)有兩個(gè)平衡點(diǎn)，它們?cè)诤芏嘞到y(tǒng)中都很重要，如閥，開(kāi)關(guān)和節(jié)拍。不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)由于能量?jī)?chǔ)存和動(dòng)作特征相結(jié)合并必須同時(shí)考慮而難設(shè)計(jì)。這篇論文研究的是不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)如四桿機(jī)構(gòu)，它在聯(lián)接處有扭轉(zhuǎn)彈力，理論上硬質(zhì)機(jī)構(gòu)的性質(zhì)已經(jīng)有所改善來(lái)保證不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)計(jì)師用這些知識(shí)可以解決大量的不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)與能量需求問(wèn)題。舉例說(shuō)明在不穩(wěn)

2、定機(jī)設(shè)計(jì)中理論的作用。</p><p><b>　　介紹</b></p><p>　　一個(gè)活動(dòng)機(jī)構(gòu)在它的運(yùn)動(dòng)范圍內(nèi)有兩個(gè)平衡位置，這是很多機(jī)構(gòu)所要求的，但是活動(dòng)機(jī)構(gòu)在設(shè)計(jì)中存在許多問(wèn)題，尤其是機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)與能量積累特點(diǎn)有關(guān)。而且，通常情況下運(yùn)動(dòng)與能量存儲(chǔ)會(huì)發(fā)生在一個(gè)靈活轉(zhuǎn)動(dòng)部件上。這篇論文講的是要設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)，研究機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)和不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)之間的基本關(guān)系的必要性。&

3、lt;/p><p>　　許多人已經(jīng)討論了大量的轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)的特征，包括運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)特征的設(shè)計(jì)。最近，他們對(duì)微型轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)特別感興趣，它需要的用來(lái)控制開(kāi)關(guān)的動(dòng)力是由轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)提供的，而不需要維持運(yùn)轉(zhuǎn)。不穩(wěn)定微型閥，微型開(kāi)關(guān)，微型繼電器，甚至是一個(gè)小的纖維開(kāi)關(guān)都已經(jīng)證明了這一點(diǎn)。有人建議用一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)系統(tǒng)來(lái)提供裝配微小零件的彈力，在穩(wěn)定系統(tǒng)中這項(xiàng)工作也正進(jìn)展。這篇論文是研究機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)來(lái)保證不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的執(zhí)行，這是不存在的例子。</p

4、><p><b>　　問(wèn)題的研究</b></p><p>　　以上的每個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中都存儲(chǔ)和釋放能量，事實(shí)上，所有的不穩(wěn)定系統(tǒng)需要某種形式的能量?jī)?chǔ)存，因?yàn)?，穩(wěn)定點(diǎn)發(fā)生在能量最小處。不穩(wěn)定機(jī)械系統(tǒng)典型地靠拉緊時(shí)儲(chǔ)存的能量來(lái)獲得不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)。不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)表現(xiàn)的順從的方式得到不穩(wěn)定執(zhí)行運(yùn)動(dòng)，因?yàn)榛顒?dòng)桿件允許活動(dòng)桿件和能量?jī)?chǔ)存合并為一體。另外，有許多優(yōu)點(diǎn)，如減少零件數(shù)，減少摩

5、擦，反沖和損耗。</p><p>　　然而，不穩(wěn)定機(jī)械的設(shè)計(jì)并非機(jī)械的，需要分析機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)和儲(chǔ)存的能量，為解決這個(gè)問(wèn)題，以上提到的機(jī)械中的許多用一個(gè)簡(jiǎn)單梁來(lái)獲得不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的情況。但是，這個(gè)方法簡(jiǎn)單，不能讓設(shè)計(jì)者靈活的控制滑動(dòng)力或穩(wěn)定狀態(tài)的位置，尤其是對(duì)小橫梁?？渴Ｓ嗟囊稽c(diǎn)拉力和改變的很多的參數(shù)減少?gòu)澢?lt;/p><p>　　鉸鏈模型提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的方法來(lái)模擬復(fù)雜的非直線偏斜的機(jī)構(gòu)。它能大約地

6、說(shuō)明一個(gè)用了一個(gè)或一個(gè)以上螺栓聯(lián)接的機(jī)構(gòu)的力偏斜的特征。聯(lián)接的扭轉(zhuǎn)彈力模仿部件的剛度，如圖1所示。這個(gè)類型的模型用運(yùn)了短且彎曲的旋軸，端部用螺栓固定，或直構(gòu)件用螺栓固定。連桿的長(zhǎng)度和彈簧的剛度都綜合地用運(yùn)。</p><p>　　鉸鏈模型在精確分析與轉(zhuǎn)動(dòng)機(jī)構(gòu)和能量?jī)?chǔ)存特點(diǎn)的綜合用運(yùn)已經(jīng)被充分地證明，但是為了研究分析目前的問(wèn)題，人們已經(jīng)意識(shí)到許多類型的機(jī)構(gòu)可能表示連桿被彎曲的彈簧螺栓聯(lián)接。因此，這篇論文將提醒我們用固

7、定的帶有彎曲彈簧的結(jié)構(gòu)在一個(gè)或多個(gè)聯(lián)接處檢查機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)和運(yùn)行情況，然后這個(gè)；運(yùn)行的結(jié)果可能會(huì)用到固定結(jié)構(gòu)或不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)中。這要依賴于執(zhí)行結(jié)果或設(shè)計(jì)者的要求。</p><p>　　不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性。機(jī)械中部件的彎曲或是彎曲彈簧要求有力的運(yùn)動(dòng)。當(dāng)沒(méi)有外部力來(lái)保證力機(jī)構(gòu)位置的時(shí)候，機(jī)構(gòu)處于平衡位置。如果在小干擾之后系統(tǒng)又回到原來(lái)位置，機(jī)構(gòu)就是穩(wěn)定的，但是，如果小干擾使系統(tǒng)改變了原來(lái)的位置就不穩(wěn)定。潛能和機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性可以

8、用拉格朗日定理聯(lián)系起來(lái)。如果符合最小潛能，平衡位置就是穩(wěn)定的，這條定理導(dǎo)致了更多的不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)形式上的定義，一個(gè)不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)在轉(zhuǎn)動(dòng)范圍內(nèi)包括兩個(gè)最小能量點(diǎn)。</p><p>　　用鉸鏈固定的模型的潛能方程可以簡(jiǎn)單地建立，對(duì)有聯(lián)接的桿，它的潛能方程為；</p><p><b>　　(1)</b></p><p>　　式中k是彎曲彈簧系數(shù)，θ是連桿的轉(zhuǎn)

9、角，或桿件的彎曲角度，機(jī)構(gòu)的潛能是儲(chǔ)存在各個(gè)桿件中的潛能之和。平衡點(diǎn)可以通過(guò)確定機(jī)械位置的找，它是第一次找到偏移量為零的位置。在這些點(diǎn)中第二次的偏移量將決定平衡位置的穩(wěn)定性，正值則符合。</p><p>　　分析機(jī)構(gòu)的方法 如圖2所示無(wú)鉸鏈的四桿機(jī)構(gòu)，圖中有四根桿長(zhǎng)度分別是r1,r2,r3,r4,四個(gè)扭轉(zhuǎn)彈簧系數(shù)分別是k1,k2,k3和k4，每根桿和地面的夾角為θ1，θ2，θ3，θ4，定義地面為第一根桿，認(rèn)為扭

10、轉(zhuǎn)彈簧不扭曲，機(jī)構(gòu)中的位置決定于θ20，θ30，θ40，不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)要保證有不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)存在。所以，可能要單獨(dú)檢查每個(gè)彈簧來(lái)確定是否有一個(gè)彈簧在機(jī)構(gòu)中保證機(jī)構(gòu)能執(zhí)行運(yùn)動(dòng)。這要選擇一個(gè)非零參數(shù)，而其它的都為零，這種潛能方程可能不同，它的偏移量等于零，方程的解決定于平衡位置。因此，可以這樣描述解決問(wèn)題的方法：在一般的四桿鉸鏈機(jī)構(gòu)中找到扭轉(zhuǎn)彈簧位置，該機(jī)構(gòu)在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中要有兩個(gè)平衡點(diǎn)。</p><p>　　問(wèn)題的解表明

11、簡(jiǎn)單設(shè)計(jì)的工具加工不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)如同一系列定理指導(dǎo)不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，由一系列定理說(shuō)明不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的運(yùn)行結(jié)果，用定理論證以上解。</p><p>　　定理指導(dǎo)不穩(wěn)定結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)</p><p>　　根據(jù)Grashof準(zhǔn)則，四桿機(jī)構(gòu)分為Grashof機(jī)構(gòu)和非 Grashof機(jī)構(gòu)，Grashof</p><p>　　準(zhǔn)則可以用數(shù)學(xué)式描述：</p><p><

12、;b>　?。?）</b></p><p>　　式中s,l,p和q分別是最長(zhǎng)最短，和兩根長(zhǎng)度處于中間的桿。Grashof準(zhǔn)則2將方程分為</p><p>　　符合不等式的為 機(jī)構(gòu)，反之為非 機(jī)構(gòu)。另外，邊為機(jī)構(gòu)是對(duì)于方程左邊和右邊相等的一系列機(jī)構(gòu)。變位機(jī)構(gòu)將回和其它 機(jī)構(gòu)類型不同地處理，所以這里有三種機(jī)構(gòu)： 機(jī)構(gòu)，邊為機(jī)構(gòu)和非機(jī)構(gòu)。</p>&l

13、t;p>　　Grashof不等式機(jī)構(gòu)</p><p>　　定理1 當(dāng)且僅當(dāng)四桿機(jī)構(gòu)的一個(gè)聯(lián)接處的扭轉(zhuǎn)彈簧位于最短桿對(duì)面，并且不彎曲彈簧與其對(duì)面的兩桿在一條直線上的狀態(tài)不符時(shí)，它運(yùn)動(dòng)起來(lái)和鉸鏈桿模型機(jī)構(gòu)一樣不穩(wěn)定。</p><p>　　準(zhǔn)則1.1 當(dāng)且僅當(dāng)四桿Grashof機(jī)構(gòu)有一個(gè)扭轉(zhuǎn)彈簧位于最短桿對(duì)面，并且不彎曲彈簧與其對(duì)面的兩桿在一條直線上的狀態(tài)不符時(shí)，它將不會(huì)平衡。</

14、p><p>　　論證. 通過(guò)對(duì)一般的有一個(gè)聯(lián)接的四桿機(jī)構(gòu)的潛能方程分析，證明定理1，分析最小潛能方程的解決定機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)是否能達(dá)到每個(gè)最小值，因?yàn)榍懊嬲撟C的鉸鏈機(jī)構(gòu)的精度，結(jié)果是相當(dāng)?shù)剡m合任何機(jī)構(gòu)。因此準(zhǔn)則1和定理1.1同樣的論據(jù)。</p><p>　　以上定理可以通過(guò)考慮Grashof機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)動(dòng)來(lái)決定哪個(gè)螺栓聯(lián)接要在兩個(gè)位置保持相對(duì)大小一樣的角度。但是，更多的嚴(yán)密的論據(jù)給設(shè)計(jì)者更多的信息去認(rèn)識(shí)自

15、然和穩(wěn)定位置的設(shè)定方法。</p><p>　　能量方程發(fā)分析，對(duì)于任何四桿機(jī)構(gòu)，能量方程是每個(gè)彈簧潛能的和</p><p><b>　　(3)</b></p><p><b>　　式中 </b></p><p><b>　　(4)</b></p><p&

16、gt;　　選擇θ2為獨(dú)立的變量，第一個(gè)偏移量為：</p><p><b>　　(5) </b></p><p>　　因?yàn)檫@個(gè)機(jī)構(gòu)可能被反轉(zhuǎn)以使它的每個(gè)桿是地面一樣固定的，只有一個(gè)彈簧位置需要分析，選擇位置4是因?yàn)榉匠毯?jiǎn)單，而且θ2這個(gè)獨(dú)立變量沒(méi)在表達(dá)ψ4的方程中出現(xiàn)，如果k4不為零，方程為：</p><p>　　0=

17、 （6）</p><p>　　方程中的第一部分θ4-θ40=0，使機(jī)構(gòu)有兩種符合的裝配方法，那就是說(shuō)，任何長(zhǎng)度r1,r2,r3r 和r4的桿，第四根桿的初始角θ40，有兩個(gè)不同的機(jī)械位置，假設(shè)θ40不符合要求，機(jī)構(gòu)可以被裝配，如圖3，按準(zhǔn)確的位置可以這樣列方程</p><p><b>　?。?）</b></p&g

18、t;<p><b>　　方程的解是</b></p><p>　　或 （8）</p><p><b>　　式中</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　θ20，θ30分別是第二，第三根桿的

19、初始交，但是如果θ20=θμ，這兩組解就相同了，和θ40的例子一樣。</p><p>　　方程（6）的第二部分偏移量為</p><p><b>　?。?0）</b></p><p>　　如果 方程有兩組解：</p><p><b>　　θ2=θ3 </b></p>&l

20、t;p><b>　　θ2=θ3+π</b></p><p>　　因此，當(dāng)?shù)诙鶙U和第三根桿在同一條直線上時(shí)，偏移量為零，根據(jù)方程（10）的偏移量為零時(shí)，第二，三根桿也在同一條直線上，也就是說(shuō)機(jī)構(gòu)是變位機(jī)構(gòu)。</p><p><b>　　對(duì)解的解釋</b></p><p>　　從以上分析可知，彈簧放在四桿機(jī)構(gòu)的任何一個(gè)

21、桿件上第一個(gè)偏移量的潛能方程都有四組解。前兩組在方程（8）中給出，是機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定位置，另兩組解在方程（11）中，是不穩(wěn)定位置，除非θ40象以上定義的那樣是極值。這時(shí)，方程（7）有唯一解，和方程（11）總的解相同。因此，潛能方程在整個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中最多有兩個(gè)準(zhǔn)確值---一個(gè)穩(wěn)定位置和一個(gè)不穩(wěn)定位置。這就證明了一個(gè)四桿機(jī)構(gòu)的彈簧聯(lián)接的對(duì)桿同軸是就會(huì)穩(wěn)定。</p><p>　　雖然對(duì)任何長(zhǎng)度桿件的機(jī)構(gòu)和彎曲彈簧都有可能有兩個(gè)

22、穩(wěn)定位置，但是除了以上討論的極值，有些結(jié)構(gòu)達(dá)不到穩(wěn)定狀態(tài)，也就是說(shuō)，一個(gè)機(jī)構(gòu)總可以在穩(wěn)定位置裝配。但是裝配后不一定穩(wěn)定。為了證明這點(diǎn)，認(rèn)為一個(gè)機(jī)構(gòu)在不穩(wěn)定位置，這時(shí)與彈簧聯(lián)接的對(duì)桿在一條直線上。即當(dāng)θ2=θ3時(shí)，機(jī)構(gòu)達(dá)到平衡點(diǎn)，</p><p><b>　　（12） </b></p><p>　　相似地，如果θ2和θ3相差π弧度，方程為</p>&

23、lt;p><b>　?。?3）</b></p><p>　　方程(12)的第二個(gè)條件和方程(13)的第一個(gè)條件可以同時(shí)用任意的四桿機(jī)構(gòu)證明，式中可知任意兩桿的長(zhǎng)度小于等于另外兩桿的和，要想證明這個(gè)不等式，可以組裝一個(gè)符合不等式地機(jī)構(gòu)。最長(zhǎng)的桿也要小于等于另外兩桿之和，表達(dá)式為 </p><p>　　s+p+q>l

24、 （14）</p><p>　　式中slpq如方程（2）中定義的，代數(shù)不等式為</p><p>　　l-q ≤ s+p （15）</p><p><b>　　l-p ≤s+q</b></p><p><

25、;b>　　l-s ≤ p+q</b></p><p>　　另外，由于l為最長(zhǎng)桿，可得以下不等式：</p><p>　　p-s<l+q （16）</p><p><b>　　q-s<l+p</b></p><p

26、><b>　　|p-q|<l+s</b></p><p>　　以上六個(gè)不等式證明的四桿機(jī)構(gòu)的任意兩桿長(zhǎng)只差等于另外兩桿只和，這滿足方程(12)的第二式和方程(3 )的第一式。但是，一個(gè)不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)必須滿足兩條件中的一個(gè)，得到一貫平衡位置中。要決定哪個(gè)機(jī)械結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，沒(méi)個(gè)可能結(jié)構(gòu)的桿長(zhǎng)都要考慮。</p><p><b>　　個(gè)別結(jié)果</b>

27、;</p><p>　　在說(shuō)明使每個(gè)機(jī)構(gòu)達(dá)到不穩(wěn)定狀態(tài)的條件之前，要詳述三個(gè)有用的關(guān)系式。前兩個(gè)是最長(zhǎng)桿和中間桿的長(zhǎng)度之和要大于等于中間兩桿的長(zhǎng)度之差，</p><p>　?。?7） （18） </p><p><b>　　（19）</b></p><p>　　方程（

28、17）（18）（19）是對(duì)得到不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)的條件的補(bǔ)充。</p><p>　　以上證明了對(duì)于一個(gè)彈簧在任意一個(gè)聯(lián)接處，這個(gè)四桿機(jī)構(gòu)可能在兩個(gè)穩(wěn)定位置中的一個(gè)處裝配。但是，如果能得到兩個(gè)不穩(wěn)定位置中的一個(gè)，彈簧就可以插入兩個(gè)位置中間。這些不穩(wěn)定位置與彈簧對(duì)面的兩桿同線的狀態(tài)相符，或者換句話說(shuō)，就是它們的夾角相同或相差π弧度。對(duì)于彈簧對(duì)面兩桿的夾角相同的位置，方程（12）的第一個(gè)條件必須滿足：</p>&

29、lt;p>　　() (20)</p><p>　　式中和是聯(lián)接彈簧的兩桿長(zhǎng)度,和是與彈簧相對(duì)的桿長(zhǎng)，為不穩(wěn)定四桿機(jī)構(gòu)的條件之一，同理，當(dāng)機(jī)構(gòu)的位置處于相對(duì)桿的角度差為π時(shí)，就必須滿足（13）中的第二個(gè)條件。</p><p>　　() (21)</p><p>　　此式為機(jī)構(gòu)不穩(wěn)定條件二，分析一個(gè)彈簧聯(lián)接引起的不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)，每個(gè)彈簧必須滿

30、足以上兩個(gè)條件中的一個(gè)。如果兩個(gè)條件都滿足，該彈簧引起的不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)可以在兩個(gè)方向上旋轉(zhuǎn)時(shí)都能達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)；如果只滿足一個(gè)條件，可以用在不穩(wěn)定狀態(tài)下掛索環(huán)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)穩(wěn)定位置；如果兩個(gè)條件都不滿足，彈簧的位置不會(huì)引起不穩(wěn)定狀態(tài)。</p><p>　　對(duì)于Grashof 機(jī)構(gòu)，變位機(jī)構(gòu)和Grashof機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)可以形成兩條運(yùn)動(dòng)學(xué)鏈中的一條，或者可以組成機(jī)構(gòu)的基本方法，例如圖4，在（a）圖中，最長(zhǎng)桿和最短桿相鄰。圖（b）恰

31、好相反，每個(gè)基本鏈都要考慮。</p><p><b>　　推論</b></p><p>　　以上討論適合任何四桿機(jī)構(gòu)，但是最后一部分論據(jù)只適合Grashof機(jī)構(gòu)，我們首先考慮位置1的彈簧機(jī)構(gòu)，圖4（a）類型的Grashof機(jī)構(gòu)：</p><p><b>　　(22)</b></p><p>　　式（

32、22）違背了，因?yàn)橄噜弮蓷U的長(zhǎng)度之和小于對(duì)桿只和，同理，也不滿足，對(duì)于圖4 (b)的Grashof類型</p><p><b>　　(23)</b></p><p>　　式（23）違背了，由方程（17），是不滿足的。彈簧在位置1的Grashof結(jié)構(gòu)既不穩(wěn)定也不滿足運(yùn)動(dòng)學(xué)。</p><p>　　用同樣的方法，每個(gè)彈簧都要經(jīng)過(guò)分析決定是否能夠得到不

33、穩(wěn)定結(jié)構(gòu)，對(duì)于Grashof機(jī)構(gòu)結(jié)果，表1中有所顯示，1a表示圖4（a）中的位置1，1b表示圖4(b)中彈簧位置1。表中可知，如果彈簧置于位置3或4時(shí)，機(jī)構(gòu)就不穩(wěn)定，這說(shuō)明彈簧如果彈簧不在最短桿相鄰位置，Grashof機(jī)構(gòu)在滿足條件的同時(shí)也會(huì)滿足條件2，機(jī)構(gòu)可以放入不穩(wěn)定位置得到第二個(gè)穩(wěn)定位置，以上是對(duì)定理1和準(zhǔn)則1.1的證明</p><p>　　非Grashof機(jī)構(gòu)</p><p>　　

34、定理2 當(dāng)且僅當(dāng)鉸鏈桿模型機(jī)構(gòu)的不彎曲彈簧與其對(duì)面的兩桿在一條直線上的狀態(tài)不符時(shí)，它運(yùn)動(dòng)起來(lái)和任意一個(gè)聯(lián)接處有扭轉(zhuǎn)彈簧的非Grashof四桿機(jī)構(gòu)一樣不穩(wěn)定。</p><p>　　準(zhǔn)則2.1 當(dāng)且僅當(dāng)非Grashof四桿機(jī)構(gòu)的不彎曲扭轉(zhuǎn)彈簧與其對(duì)面的兩桿在一條直線上的狀態(tài)不符時(shí)，彈簧在任意位置它都不會(huì)平衡。</p><p>　　論證 已經(jīng)準(zhǔn)確的證明鉸鏈桿模型，我們同時(shí)來(lái)證明訂立和準(zhǔn)則2.1，

35、除了最后一部分外，以上所有的證明都適合于Grashof機(jī)構(gòu)和非Grashof機(jī)構(gòu)。因此可以證明訂立和準(zhǔn)則2.1說(shuō)明彈簧在機(jī)械機(jī)構(gòu)任意一個(gè)位置都滿足方程(20)和(21)中的至少一個(gè)條件。以上材料證明了如果彈簧對(duì)面的兩桿在為曲折位置同軸，機(jī)構(gòu)不穩(wěn)定。</p><p>　　例如，彈簧位于a圖位置1，根據(jù)已經(jīng)用過(guò)的準(zhǔn)則，Grashof不等式為：</p><p><b>　　(24) &

36、lt;/b></p><p>　　此式證明非Grashof機(jī)構(gòu)滿足，但是根據(jù)方程（19），不滿足 。如果彈簧放在圖b位置1，方程（17）證明不滿足，同時(shí)Grashof有不等式：</p><p><b>　　（25）</b></p><p>　　此式證明滿足，如表2所示為彈簧位置所有其它結(jié)果，兩個(gè)條件中只有一個(gè)滿足任意一個(gè)彈簧位置，即彈簧放

37、在四個(gè)中的任何位置將使非 Grashof 不平衡，彈簧的對(duì)桿同一條直線的情況除外。所以，定理2和準(zhǔn)則2.1已證明。</p><p>　　一個(gè)其它的關(guān)于非Grashof機(jī)構(gòu)的內(nèi)容. 彈簧在一貫聯(lián)接的非Grashof機(jī)構(gòu)能得到兩個(gè)不平衡位置中的一個(gè)，表2 說(shuō)明不能達(dá)到另一個(gè)平衡位置，因?yàn)槊總€(gè)彈簧只能滿足二條件中的一個(gè)。圖中的內(nèi)容決定在機(jī)構(gòu)的哪個(gè)方向插入插栓，注意1b,2a,2b和3a處的彈簧，它們滿足，意味著彈簧對(duì)桿

38、的角度必須相差π弧度，其它的位置1a,3b,4a和4 b要求兩根對(duì)桿與地面角度相等。圖4 反映的每個(gè)滿足條件1的位置和最長(zhǎng)桿鄰近，但是滿足條件2 的位置和最長(zhǎng)桿鄰近。這在許多設(shè)計(jì)中是有用的，因?yàn)闈M足條件2要求兩相對(duì)桿互相交叉，在兩桿共面的情況下，如同加工MEMS表面，通常是不可能的。</p><p><b>　　變位機(jī)構(gòu)</b></p><p>　　定理3 .鉸鏈桿模

39、型運(yùn)動(dòng)和在任意位置有扭轉(zhuǎn)彈簧的四桿變位機(jī)構(gòu)一樣，當(dāng)且僅當(dāng)彈簧未彎曲狀態(tài)不符和機(jī)構(gòu)的位置，即彈簧的對(duì)桿同直線時(shí)會(huì)不平衡。</p><p>　　準(zhǔn)則3.1 扭轉(zhuǎn)彈簧置于四桿機(jī)構(gòu)的任意一個(gè)聯(lián)接處都不穩(wěn)定，當(dāng)且僅當(dāng)彈簧未彎曲狀態(tài)不符和機(jī)構(gòu)的位置，即彈簧的對(duì)桿同直線時(shí)會(huì)不平衡。</p><p>　　論證 再次證明定理3和準(zhǔn)則3.1，對(duì)位置4處的彈簧，如圖3所示，以前講過(guò)當(dāng)桿2和桿3同一條直線是，偏移

40、量在方程10中可能分子分母都為零，這是因?yàn)樗械臈U在變位機(jī)構(gòu)中同直線時(shí)只有一個(gè)位置。機(jī)構(gòu)可以按兩中方式運(yùn)動(dòng)。如果它向一個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)，則有 就會(huì)增大，如果向相反的方向轉(zhuǎn)動(dòng)，就會(huì)變小。因此，在一個(gè)方向上轉(zhuǎn)動(dòng)意味著偏移量的符號(hào)在改變，在另一個(gè)方向符號(hào)則不變。如果符號(hào)改變了，單一的位置是潛能的最大值，但是符號(hào)不變表示潛能繼續(xù)增加，此時(shí)不考慮哪根桿最長(zhǎng)哪根桿最短，因?yàn)樽兾凰亲兾粰C(jī)構(gòu)。機(jī)構(gòu)在著個(gè)位置時(shí)，彈簧將轉(zhuǎn)向潛能減少的方向，機(jī)構(gòu)變得不穩(wěn)定

41、。由此，彈簧在變位機(jī)構(gòu)的任何位置都會(huì)出現(xiàn)不穩(wěn)定狀態(tài)，除非如前面所述，未彎曲的彈簧對(duì)桿在同一條直線上。在變位點(diǎn)所有桿在一條直線上，變位點(diǎn)如初始狀態(tài)的機(jī)構(gòu)就不穩(wěn)定。</p><p><b>　　進(jìn)一步了解變位機(jī)構(gòu)</b></p><p>　　雖然以上證明的定理3和準(zhǔn)則3.1，更多關(guān)于變位機(jī)構(gòu)的內(nèi)容能用分析Grashof機(jī)構(gòu)和非Grashof機(jī)構(gòu)的方法分析。表3證明了檢驗(yàn)圖

42、4機(jī)構(gòu)中每個(gè)位置的結(jié)果。當(dāng)機(jī)構(gòu)移動(dòng)通過(guò)變位點(diǎn)時(shí)，彈簧會(huì)促使不平衡運(yùn)動(dòng)。但是，如果彈簧在最短桿對(duì)面，（表中位置3，4）機(jī)構(gòu)只能得到在任意兩個(gè)方向上的螺栓聯(lián)接。所以變位機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)起來(lái)象Grashof機(jī)構(gòu)和非Grashof機(jī)構(gòu)之間的一個(gè)混合物，彈簧放在四個(gè)位置中的任意一個(gè)位置都能導(dǎo)致不平衡機(jī)構(gòu)，但是，只有在彈簧位于最短桿對(duì)面的情況下，機(jī)構(gòu)才能向兩個(gè)方向穿梭移動(dòng)。另外，機(jī)構(gòu)也只能在彈簧位于最短桿對(duì)面，鄰近于最長(zhǎng)桿，且彈簧對(duì)面的兩桿與地面的角度相等

43、時(shí)，才能得到不平衡位置。如果彈簧與最長(zhǎng)桿不鄰近，對(duì)桿的角度相差為π，那么機(jī)構(gòu)就不平衡。</p><p>　　總結(jié) 每個(gè)定理和準(zhǔn)則的結(jié)果都概括在表4中，機(jī)構(gòu)滿足初始位置條件，彈簧對(duì)桿不在同一條直線上的情況。彈簧在4位置不穩(wěn)定的四桿機(jī)構(gòu)如圖5（a）說(shuō)，明一個(gè)不穩(wěn)定機(jī)構(gòu)通過(guò)代替彈簧和螺栓聯(lián)接構(gòu)成的直構(gòu)件。</p><p>　　若結(jié)果中適合機(jī)構(gòu)的只有一個(gè)彈簧，它們就可以通過(guò)歸納把多個(gè)彈簧簧一起加