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文檔簡介
1、數學生態(tài)學是一門使用數學模型和方法研究生態(tài)現象的學科.我們借助對生態(tài)現象的研究和分析,得到對生態(tài)現象科學的解釋以及對生態(tài)變化做出預測.隨著社會的需要,它正快速成長為一門現代應用數學學科,已經引起了人們的廣泛興趣.生物數學中建立的連續(xù)模型一般有兩種,一種是常微分方程(ODE)模型,加入擴散作用則是另一種模型,偏微分方程(PDE)模型.由于加入了擴散作用,在一定情況下,模型的相關性質就會相應地發(fā)生一些有趣的變化,其中1952年20世紀偉大的
2、英國科學家Alan.M.Turing在《The chemical basis of morphogenesis》一文中提出的Turing不穩(wěn)定現象就是一個很好的例子. Turing認為,如果參加相互反應的化學物質自身沒有擴散作用,那么它們經過一段時間的反應,其濃度都會變得均一、穩(wěn)定,但是如果這些化學物質具有擴散作用,那么在滿足某種條件下,原來濃度均一、穩(wěn)定的平衡狀態(tài)將變成不穩(wěn)定的平衡狀態(tài).換句話說在同一個正常數平衡解處常微分模型
3、是穩(wěn)定的,但是對于加入了擴散作用的偏微分模型卻是不穩(wěn)定的. 自從1952年Turing提出這個有趣的論點到現在,Turing不穩(wěn)定現象已經引起了化學、物理學、生物學、數學、通信等各學科研究者的廣泛興趣.尤其是科技發(fā)展的今天,Turing不穩(wěn)定思想已經成為現代化學中反應擴散理論中的最基礎的理論之一,科學家們在實驗室中也已經成功實現Turing不穩(wěn)定現象. 本文在引言中具體介紹了Turing不穩(wěn)定這一問題的來源、相關工作背景
4、以及已經研究得到的關于Truring不穩(wěn)定的主要結論.在第二章中,本文首先給出了一個在一維空間(0,π)上具有自擴散的兩種群Turing不穩(wěn)定的一般例子及其相應結論的證明過程;然后再加入時滯把問題推廣到全空間Rn(n≥1)中的一般n維有界空間Ω上,通過對有界空間Ω的正交分解,給出了一個出現Turing不穩(wěn)定現象的充分條件,通過相應結論的比較,說明時滯對Turing不穩(wěn)定現象有一定的影響,但是如果常微系統(tǒng)絕對穩(wěn)定,那么偏微系統(tǒng)一定絕對穩(wěn)定
5、;最后利用前面的理論,具體討論了一般的Lotka-Volterra模型在滿足什么條件下,加入自擴散作用才有可能出現Turing不穩(wěn)定,同時我們給出了具體的例子運用數值模擬來進一步說明文中的結論.在現實生活中除了自擴散作用普遍存在著,交錯擴散也是普遍存在的.研究帶有交錯擴散的非線性偏微分方程是相對比較困難的,它需要更強理論支持和分析能力,但是隨著科學技術的不斷發(fā)展,科學理論的不斷成熟與更新,近幾十年來,各學科的越來越多的學者加入了研究交錯
6、擴散的行列.在生物界中,種群之間的相互遷徙就是一種典型的交錯擴散,有些生態(tài)現象就是由于交錯擴散引起的,而不是由于自擴散引起的.在研究自擴散的基礎上加入了交錯擴散的討論,相對來講更為合理. 本文的第三章,對一個具體的帶交錯擴散的蚜蟲-天敵-殺蟲劑的模型進行了研究,針對這個具體模型著重研究了交錯擴散對于Turing不穩(wěn)定現象的影響.第一小節(jié),給出了這一具體模型建立的生物學背景及其前人所做的一些工作,說明了研究這一模型的實際意義。在接
7、下來的兩小節(jié)中,本文主要討論了在滿足什么樣條件下,模型在其同一個正常數平衡解處出現Turing不穩(wěn)定現象,重點研究交錯擴散對于Turing不穩(wěn)定現象的影響,得出在滿足常微分系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下,不管加入了自擴散的系統(tǒng)是穩(wěn)定的還是不穩(wěn)定的,再加入交錯擴散后,只要滿足一定的條件,交錯擴散都有可能改變自擴散系統(tǒng)在同一正常值平衡解處穩(wěn)定性的結論,也就是說,交錯擴散既可以使系統(tǒng)產生Turing不穩(wěn)定現象,也可以使原來的Turing不穩(wěn)定現象消失.最后
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