博解一類矩陣最佳逼近問題的理論和算法.pdf

1、線性矩陣方程的求解問題及相應的最小二乘問題是近年來數(shù)值代數(shù)領域中研究和討論的重要課題之一，它在結構設計，系統(tǒng)識別，結構動力學，自動控制理論，振動理論等領域有著廣泛的應用．矩陣最佳逼近問題來源于試驗設計和有限元模型修正問題等，它是在一類特殊矩陣集合中求一個“距離”給定矩陣X*最接近的矩陣X的問題，這里的“距離”由一個矩陣范數(shù)度量．本篇博士論文系統(tǒng)地研究了一類來源于結構動力學模型修正問題的矩陣最佳逼近問題：
　　 問題I給定X*∈R

2、n×m，求X∈S使得‖(X)—X*‖=min/X∈S‖X—X*‖，其中‖·‖為Frobenius范數(shù)，S分別表示矩陣方程AXB=D，AXAT+ByBT=D，AXB+CyD=E和矩陣方程組[ATXA，BTXB]=[C，D]，[AXB，GXH]=[C，D]在一般矩陣集合或對稱矩陣集合上不相容時的最小二乘解集合．
　　 本文分別利用多種矩陣分解相結合的直接方法和具有短遞推格式的迭代方法得到了問題I的解，其主要研究成果如下：
　　

3、 1．基于有限維內積空間的正交投影定理，同時運用矩陣對的廣義奇異值分解(GSVD)和標準相關分解(CCD)，將上述不相容矩陣方程(組)在給定矩陣集合上的最小二乘問題等價轉換為相容矩陣方程的求解問題，并得到了相應的最小二乘解的通解表達式．由該表達式并結合Frobenius范數(shù)的正交不變性，成功解決了矩陣整體逼近的關鍵性困難，得到了問題I的解的解析表達式，進而給出了求解問題I的數(shù)值算法和數(shù)值例子．
　　 2．通過構造具有短遞推格式

4、的迭代方法，成功地解決了關于上述不相容矩陣方程(組)的矩陣最佳逼近問題．在不考慮舍入誤差的情況下，對任意的初始矩陣都可以在有限步計算出它們在給定矩陣集合中的一個最小二乘解，若選取特殊的初始矩陣，則可以得到相應的最小范數(shù)最小二乘解．而問題I可等價轉化為求一個新的不相容矩陣方程(組)的最小范數(shù)最小二乘解的問題．
　　 3．進一步分析了這類迭代方法的理論性質．通過構造一類特殊的矩陣函數(shù)來刻畫該迭代方法的極小化性質，并證明了由該迭代方法

5、計算出來的逼近解，可使得這類矩陣函數(shù)在一個仿射子空間上達到極小，而且所得到的殘差序列的Frobenius范數(shù)是嚴格單調遞減的．類似于經典的共軛梯度法，利用該迭代方法所具有的極小化性質，給出了一個粗略的誤差估計．最后通過數(shù)值例子驗證了所得到的理論結果．
　　 對于求上述不相容矩陣方程(組)在給定矩陣集合上的最小二乘解，很多文獻中利用傳統(tǒng)的矩陣分解方法得到了其通解表達式，但是利用該表達式很難得到問題I的解，這是因為一般的非奇異矩陣并