Prony模型最優(yōu)解、算法性能及應用特性的研究.pdf

1、1795年，Prony提出了復指數(shù)函數(shù)的一個線性組合來描述等間隔采樣數(shù)據(jù)的數(shù)學模型，常稱為Prony模型。在干擾噪聲背景下，該模型的嚴格求解是一個高度非線性的最優(yōu)化問題。200多年來，人們從各種角度給出了這樣或那樣的近似求解算法。這些算法都不是嚴格最優(yōu)的。由于Prony模型在數(shù)值上是病態(tài)的，非嚴格最優(yōu)的算法對于噪聲的影響十分敏感，這極大地限制了Prony模型的應用。1999年末，我們得到了Prony模型嚴格最優(yōu)的求解算法。經(jīng)過幾年來的不

2、斷改進，算法的性能是：在信噪比低達10dB情況下，1000次獨立的數(shù)值試驗中有1-2次不能收斂，計算精度達到0.5‰。Prony模型的廣泛應用已成為現(xiàn)實。Prony模型在理論和應用上都有十分重大的意義，廣泛適用于雷達、水聲、語音等領(lǐng)域的信號處理。另外，Prony模型具有很好的外推能力，Prony方法具有短時數(shù)據(jù)的特點，這在某些應用場合是特別重要的。
　　 本文回顧和總結(jié)了Prony模型求解的歷史。指出線性化處理的擴展Prony方

3、法歸結(jié)為噪聲背景下線性預測方程的求解，該方程的求解已發(fā)展了多種方法，問題在于各方法的數(shù)值穩(wěn)定性及適用場合的研究；和各種高分辨率譜分析方法相比較，擴展Prony方法無需估計樣本自相關(guān)函數(shù)，給出的估計值方差較小，運算量也較小；回顧了Prony模型非線性求解的發(fā)展歷史，包括R.N.McDonough和Hua Y.的工作及對本人研究的貢獻，還有魏木生、Charles W.Therrien等人的工作；分析總結(jié)了Prony模型在廣泛領(lǐng)域的應用研究，

4、包括聲音處理、雷達信號處理、電力系統(tǒng)諧波分析、參數(shù)辨識、Prony級數(shù)逼近等。
　　 論述了本人關(guān)于Prony模型最優(yōu)求解的三個發(fā)展歷程，以及相應算法性能的分析。通過三個發(fā)展歷程相應算法的性能分析，展示發(fā)展歷程的正確性和重要性。三個發(fā)展歷程為：最優(yōu)解的代數(shù)表達、最優(yōu)解的幾何結(jié)構(gòu)、基于最優(yōu)解幾何結(jié)構(gòu)的迭代算法。通過數(shù)值實驗開展算法性能的定性研究，開展了數(shù)字極點與模擬極點、迭代收斂性與初值選擇、參數(shù)向量的更新算法等討論，并將實驗結(jié)果

5、與LS方法、TLS方法的結(jié)果進行了對比分析。尤其是，著重開展了“采樣率的選擇與影響”的數(shù)值實驗與分析研究。分析和研究了多種情況下，采樣率的選擇對最優(yōu)解迭代算法收斂性能的影響。在給定采樣數(shù)據(jù)點數(shù)和干擾噪聲強度的前提下，采樣率的選擇按：1）滿足采樣定理、覆蓋“信號的全貌”；2）過采樣、沒有覆蓋“信號的全貌”；3）欠采樣，覆蓋“信號的全貌”三個方面展開，并就每個方面分“有理頻率組成的正弦復合信號”和“無理頻率組成的正弦復合信號”兩種情況進行討

6、論。用統(tǒng)計的“采樣數(shù)據(jù)能量”來關(guān)聯(lián)分析“收斂次數(shù)”，在相空間重構(gòu)理論的引導下，提出“能量觀點的相空間重構(gòu)理論”的猜想。
　　 最主要的創(chuàng)新在于提出了迭代子空間非線性最小二乘估計（ISNLSE）算法。在最優(yōu)解幾何結(jié)構(gòu)認識的基礎(chǔ)上，導出一個合理的、能夠確實反映迭代過程按照期望目標收斂的控制條件，該控制條件的獲得為定量描述最優(yōu)解的結(jié)構(gòu)特征奠定了基礎(chǔ)?；谠摽刂茥l件，并結(jié)合提高數(shù)值計算穩(wěn)定性的若干方法，構(gòu)造了一個高效的求解算法。ISNL

7、SE算法的數(shù)值穩(wěn)定性措施包括：1）初值的選擇；2）用QR分解替代SVD分解；3）減少構(gòu)造、子空間的截斷誤差；4）參數(shù)向量的更新計算；5）殘余向量 計算的改進。主要思想依據(jù)在于：1）高階低秩逼近方法的應用；2）QR分解較SVD分解的數(shù)值穩(wěn)定性；3）乘積矩陣SVD分解或QR分解在數(shù)值上是病態(tài)的。在低信噪比（10dB）的情況下，ISNLSE算法具有良好的收斂性能和數(shù)值精度，有效地避免了“虛假收斂”。
　　 開展了采樣數(shù)據(jù)點數(shù)對ISNL

8、SE算法精度的影響、高階低秩逼近方法和ISNLSE算法的對比數(shù)值研究。應用“相對精度”或“相對分辨率”這一信息科學關(guān)于信息識別的樸素而又普遍的準則，提出采樣數(shù)據(jù)點個數(shù)是ISNLSE算法“測量精度”或“分辨精度”局限的觀點。解釋了頻率“相對分辨率”的實驗現(xiàn)象。
　　 開展了電力系統(tǒng)整次、非整次諧波檢測的擴展Prony算法和迭代Prony算法應用研究，基于迭代Prony算法的同步發(fā)電機和無刷直流發(fā)電機瞬態(tài)參數(shù)辨識。擴展Prony算法

9、應用于短(窄)周期脈沖分析，針對周期信號提出了擴展Prony算法的計算模型。在未知周期的情形下，應用擴展Prony算法實現(xiàn)周期信號的分析。對于脈沖周期信號的有限階（280階）的擬合結(jié)果表明，擴展Prony算法可以有效地逼近無限帶寬的周期信號。
　　 總結(jié)了本文開展的工作和不足之處。介紹了線性預測及其應用于清濁音分段判決的研究工作，提出了Prony模型的非線性預測特性。介紹了相空間重構(gòu)與卡爾曼濾波匯率預測的研究工作，提出了相空間重