部分信息下正倒向隨機(jī)系統(tǒng)的微分博弈問(wèn)題及金融中的應(yīng)用.pdf

1、本篇論文主要研究了部分信息下由正倒向隨機(jī)微分方程驅(qū)動(dòng)的隨機(jī)微分博弈問(wèn)題，及其相關(guān)理論在金融中的應(yīng)用。全文共分為六章。
　　在控制系統(tǒng)中，決策者需要根據(jù)已掌握的信息進(jìn)行決策。大部分情況下，決策者無(wú)法獲取完全真實(shí)的狀態(tài)方程，觀測(cè)到全部的信息。因此，他們只能基于所掌握的部分信息或由觀測(cè)方程得到的信息進(jìn)行決策，并對(duì)狀態(tài)方程的真實(shí)形式進(jìn)行估計(jì)，得到濾波方程。同時(shí)，在經(jīng)典的控制系統(tǒng)中，往往只考慮單一控制與單一目標(biāo)的問(wèn)題。然而實(shí)際中，存在如囚徒

2、困境等多決策者多目標(biāo)的博弈情形。在制定策略時(shí)，決策者需要考慮他人的策略，使自身的代價(jià)泛函達(dá)到最優(yōu)。問(wèn)題變?yōu)閷ふ也┺牡摹癗ash均衡點(diǎn)”，而不再是“最優(yōu)控制”。單一參與者的最優(yōu)控制問(wèn)題也可認(rèn)為是多參與者博弈問(wèn)題的特殊情況。而隨機(jī)微分博弈問(wèn)題，即以動(dòng)態(tài)的隨機(jī)微分方程刻畫(huà)狀態(tài)方程，構(gòu)建博弈系統(tǒng)，針對(duì)相應(yīng)的Nash均衡點(diǎn)進(jìn)行研究。在第一章中，對(duì)本論文涉及的研究背景進(jìn)行介紹，并闡述每章工作的主要貢獻(xiàn)。
　　第二章中，研究了部分可觀測(cè)情形下由

3、正倒向隨機(jī)微分方程驅(qū)動(dòng)的微分博弈問(wèn)題。其中，正向隨機(jī)微分方程的擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)包含控制變量，控制域?yàn)橥辜？紤]博弈參與者無(wú)法完全觀測(cè)到真實(shí)的狀態(tài)過(guò)程，僅能通過(guò)各自的觀測(cè)方程進(jìn)行決策。同時(shí)，考慮觀測(cè)方程與狀態(tài)方程之間存在相關(guān)噪聲，且觀測(cè)方程中顯式含有控制變量。利用凸變分技術(shù)，引入了相應(yīng)的伴隨方程，得到Nash均衡點(diǎn)滿足的最大值原理（必要性條件）及驗(yàn)證定理（充分性條件）。
　　第三章中，在隨機(jī)線性二次系統(tǒng)下，研究了部分可觀測(cè)情形下的微分博弈

4、問(wèn)題。其中，狀態(tài)方程由正倒向的隨機(jī)微分方程驅(qū)動(dòng)，正向方程中擴(kuò)散項(xiàng)系數(shù)不含控制變量且控制域不要求為凸集。假設(shè)博弈參與者無(wú)法完全觀測(cè)到真實(shí)的狀態(tài)過(guò)程，僅能根據(jù)觀測(cè)過(guò)程產(chǎn)生的信息流進(jìn)行決策。應(yīng)用倒向分離技術(shù)克服了博弈參與者控制過(guò)程適應(yīng)于受控信息流的循環(huán)依賴關(guān)系。應(yīng)用針狀變分方法，得到了該問(wèn)題Nash均衡點(diǎn)滿足的必要性條件與充分性條件。同時(shí)，利用隨機(jī)濾波公式，得到了狀態(tài)的濾波方程，并給出了均衡點(diǎn)的狀態(tài)反饋表達(dá)形式與Riccati方程。作為理論應(yīng)

5、用，引入g-期望作為凸風(fēng)險(xiǎn)測(cè)度的度量，研究了一類風(fēng)險(xiǎn)最小化的投資問(wèn)題，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值模擬與分析。
　　第四章中，針對(duì)含有延遲與超前延遲的正倒向隨機(jī)微分方程，研究了部分信息下的微分博弈問(wèn)題。同時(shí)，考慮博弈參與者只能基于不完全的信息流進(jìn)行決策。利用凸變分技術(shù)建立了該模型下Nash均衡點(diǎn)滿足的最大值原理與驗(yàn)證定理。進(jìn)一步，針對(duì)含有延遲與超前延遲項(xiàng)的線性二次系統(tǒng)，得到了Nash均衡點(diǎn)的顯式表達(dá)式并證明了Nash均衡點(diǎn)的存在唯一性。同時(shí)

6、，利用隨機(jī)濾波公式得到了相應(yīng)的狀態(tài)濾波方程。最后，作為理論應(yīng)用，研究了一類帶延遲的風(fēng)險(xiǎn)最小化消費(fèi)問(wèn)題，給出了顯式的Nash均衡策略。
　　第五章中，研究了具有時(shí)間不一致性的部分可觀測(cè)隨機(jī)線性二次控制系統(tǒng)。其中，狀態(tài)方程為由布朗運(yùn)動(dòng)和泊松跳過(guò)程共同驅(qū)動(dòng)的正向隨機(jī)微分方程。不同于經(jīng)典形式的代價(jià)泛函，考慮其中包含有初始狀態(tài)依賴項(xiàng)與狀態(tài)條件期望的非線性項(xiàng)（平方項(xiàng)）。該類效用形式會(huì)導(dǎo)致動(dòng)態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生時(shí)間不一致性，使得經(jīng)典的Bellman最優(yōu)性

7、原理不再滿足，無(wú)法應(yīng)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法進(jìn)一步求解。針對(duì)每個(gè)時(shí)間點(diǎn)偏好的不同，由博弈的思想給出該類問(wèn)題均衡控制的定義。進(jìn)一步，在完全信息下，給出隨機(jī)系數(shù)模型均衡控制的顯式表達(dá)式。而后，在確定性系數(shù)情形下給出均衡控制滿足的反饋表達(dá)式與Riccati方程。最后，針對(duì)部分可觀測(cè)系統(tǒng)，在特殊情形下給出了狀態(tài)濾波方程，并對(duì)均衡控制滿足的反饋表達(dá)式進(jìn)行了驗(yàn)證。
　　第六章中，結(jié)合金融模型，研究了一類具有模型不確定性的魯棒最優(yōu)消費(fèi)與投資組合問(wèn)題。考慮

8、投資者為模糊厭惡的(Ambiguity averse)，即投資者由于無(wú)法獲知模型的準(zhǔn)確分布而產(chǎn)生的厭惡的懷疑態(tài)度。模糊厭惡的投資者認(rèn)為由現(xiàn)有數(shù)據(jù)產(chǎn)生的模型僅為“參考模型”并不準(zhǔn)確，而其他的模型可能會(huì)更好。因此，投資者希望找到某種具有魯棒性（穩(wěn)健性）的最優(yōu)投資與消費(fèi)策略，使得即使在模型最差的情況下，依然可以保證投資的穩(wěn)健性。在模型的假設(shè)中，考慮資產(chǎn)過(guò)程為具有隨機(jī)波動(dòng)率的跳擴(kuò)散過(guò)程，且投資者對(duì)于擴(kuò)散風(fēng)險(xiǎn)與跳風(fēng)險(xiǎn)分別有不同的模糊厭惡程度。這里

9、，假設(shè)投資者具有Duffie-Epstein-Zin遞歸效用，該遞歸效用在連續(xù)時(shí)間下將風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)與消費(fèi)的跨期替代彈性相分離，適用更為廣泛。考慮市場(chǎng)中的投資者不僅可以進(jìn)行股票與無(wú)風(fēng)險(xiǎn)債券的交易，同時(shí)可以進(jìn)行衍生品交易。由于資產(chǎn)過(guò)程會(huì)受到多種風(fēng)險(xiǎn)因素的影響，衍生產(chǎn)品的引入可以使得市場(chǎng)完備化。分別針對(duì)完全市場(chǎng)與不完全市場(chǎng)中（不進(jìn)行衍生品交易）的模型進(jìn)行研究，并在投資者的消費(fèi)跨期替代彈性為1時(shí)，得到模型精確的解析解;消費(fèi)跨期替代彈性不為1時(shí)，