具有變指數(shù)增長的非線性發(fā)展方程與變分不等式.pdf

1、自從M. R˙uˇziˇcka首先提出電流變流體運(yùn)動(dòng)模型后，許多研究者致力于研究變指數(shù)增長問題并得到很多重要的結(jié)果。變指數(shù)增長問題除了在非線性流體力學(xué)、圖像處理等方面具有重要的實(shí)用價(jià)值外，在研究這些問題過程中提出的一些新的理論與方法極大地豐富了數(shù)學(xué)理論。目前許多重要的結(jié)果主要集中在橢圓型偏微分方程，然而在具有變指數(shù)增長的拋物與雙曲問題方面僅有少數(shù)結(jié)果。
　　本文主要在變指數(shù)框架內(nèi)對幾類具有變指數(shù)增長的非線性發(fā)展方程與發(fā)展變分不等式

2、解的存在性進(jìn)行研究。
　　首先，對一類拋物型變指數(shù)空間X(QT)的基本性質(zhì)如自反性、完備性、稠密性等進(jìn)行研究。得到X(QT)中一個(gè)緊嵌入定理。然后，給出X(QT)的對偶空間X′(QT)的基本刻畫并引入由X(QT)及其對偶空間X′(QT)構(gòu)成的新空間W(QT).與此同時(shí)，給出W(QT)的基本性質(zhì)以及分部積分公式。
　　其次，在一個(gè)生物種群模型基礎(chǔ)上，對一類具有變指數(shù)增長的Kirchhoff型拋物方程弱解的存在性進(jìn)行研究。分兩種

3、情況討論該問題。第一種情況，研究右端項(xiàng)為線性增長的非局部(Kirchhoff型)拋物方程弱解的存在性。通過選取L2(?)中的光滑正交基，利用常微分方程解的存在理論得到光滑性較好的Galerkin逼近解。然后利用先驗(yàn)估計(jì)以及單調(diào)算子理論得到弱解的存在性。第二種情況，討論具有非線性增長條件的拋物方程，利用Galerkin逼近來探討弱解的存在性。然而，在所給出的條件下，只能得到弱解的局部存在性，即存在某個(gè)常數(shù)T0>0使得方程在0

4、在弱解。
　　再次，在變指數(shù)空間內(nèi)對兩類具有變指數(shù)增長的非線性拋物型發(fā)展變分不等式解的存在性以及衍滅行為進(jìn)行探討。對于非零初值的拋物型發(fā)展變分不等式，引入適當(dāng)?shù)牧P項(xiàng)，把求解不等式問題轉(zhuǎn)化為求解方程問題。在拋物方程弱解存在的基礎(chǔ)之上，通過利用先驗(yàn)估計(jì)等方法得到拋物型發(fā)展變分不等式解的存在性。對于零初值且?guī)荻认拗频膾佄镄妥兎植坏仁?，根?jù)梯度限制，引入恰當(dāng)?shù)牧P項(xiàng)，把不等式問題轉(zhuǎn)化為方程問題。進(jìn)而得到發(fā)展變分不等式弱解的存在性。在拋物型