離散時間的紅利模型及Markov鏈轉(zhuǎn)移概率在其中的應(yīng)用.pdf

1、風險理論已經(jīng)發(fā)展了很長一段時間，關(guān)于經(jīng)典風險模型(特別是連續(xù)時間的經(jīng)典風險模型)的理論已經(jīng)發(fā)展成了一個較為完善的體系．毫無疑問，經(jīng)典風險模型的理論為保險公司的險種設(shè)計及風險管理起到了重要的作用．De Finetti于1957年在紐約召開的國際精算學術(shù)會議上報告了一篇論文，文中首次提出了保險風險模型的分紅問題，并用它來更為現(xiàn)實地反映保險公司的剩余現(xiàn)金流．顯然，紅利的引入能為保險公司提供更多有價值的理論依據(jù)，特別地，為保險公司設(shè)計帶紅利的險

2、種及其管理提供了理論依據(jù)．最近，風險理論中的分紅問題引起了學者的很大興趣．但是基本上都是考慮連續(xù)時間風險模型中的紅利問題．然而，引入紅利的離散時間風險模型不但有其固有的研究價值，作為連續(xù)時間的風險模型的近似也有它研究的意義，而且保險公司的實際操作不可能連續(xù)時間進行，而只能在離散時刻進行．所以，本文考慮了離散時間風險模型中的紅利問題． 關(guān)于紅利問題，本文對兩個離散時間的紅利模型作了討論．這兩個模型在本文中分別稱作紅利模型(Ⅰ)和

3、紅利模型(Ⅱ)．對這兩個模型的討論主要采取兩種方法：Gerber-Shiu期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)方法和本文提出的Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣方法．其中Gerber-Shiu期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)法自提出以來，在連續(xù)時間模型中的應(yīng)用比較廣泛而且相當有效．但是很少在離散時間模型中看到它的應(yīng)用，原因是其運用的難度．本文嘗試著用這種方法得到了一些滿意的結(jié)論．而Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法在當前的文獻中很難見到，其原因可能是此法計算量大，也可能是因為這種方法只能在離散

4、時間模型中或?qū)B續(xù)時間模型離散化后的模型中才能運用，而離散時間模型的研究往往比連續(xù)時間模型難度大．可以認為，在當前計算機技術(shù)高度發(fā)展的情況下，Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法值得大力推廣，這也是本文撰寫的一個初衷． 紅利模型(Ⅰ)是一個隨機支付紅利的離散時間模型．這一模型是在復合二項模型的基礎(chǔ)上引入紅利支付而修正了的模型．我們假設(shè)保險公司在盈余大于或等于某一給定的非負整數(shù)的紅利界(門檻)x時，保險公司以概率q<,0>支付1個單位的紅利給

5、受保者或本公司股票的持有者．本文第二、三、四章討論這個模型． 在第二章中，我們推導出了這個紅利模型的罰金函數(shù)Φ(0)，Φ(1)，…，Φ(x)滿足一個線性方程(組)，并且運用矩陣論的知識證明了這個線性方程組在正的安全負載條件下存在—個唯一的解．而當u>z時，我們獲得了罰金函數(shù)Φ(u)滿足的兩個遞推公式．接著我們推導出了罰金函數(shù)滿足的一個漸近估計公式．上述公式的獲得經(jīng)歷了一個非常復雜的推導過程，并且對它們的推導完全異于連續(xù)時間模型的

6、推導，很難借鑒連續(xù)時間模型．根據(jù)罰金函數(shù)，我們能獲得許多重要的風險量所滿足的線性方程組、遞推公式以及漸近估計公式，例如： (本文提供的)最終破產(chǎn)概率、破產(chǎn)時赤字的分布函數(shù)、破產(chǎn)時赤字的母函數(shù)、破產(chǎn)前一時刻盈余的概率函數(shù)等．在本章的最后，我們運用所得的公式對上述風險量進行了數(shù)值計算，獲得了十分滿意的效果． 在第三章中，我們用另一方法--Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法推導了紅利模型(Ⅰ)一些重要風險量的矩陣表達式．可喜并難得的是這些表達式

7、全是顯式形式的．運用這些矩陣表達式計算出的結(jié)果與第二章中數(shù)值計算結(jié)果完全吻合．這一章的論述過程大致如下．在假設(shè)條件下，保險公司的盈余過程U(t)是一個初始分布為單點分布的齊次馬氏鏈，如果在停時(破產(chǎn)時刻)T處kill這個過程所得的killed過程U(t＾T)仍然是一個齊次馬氏鏈．運用這個killed過程的一步轉(zhuǎn)移概率矩陣我們首先推導出了破產(chǎn)時刻、破產(chǎn)前一時刻的盈余和破產(chǎn)時的赤字的聯(lián)合概率函數(shù)．從這個聯(lián)合概率函數(shù)我們可以求出各邊際分布，從

8、而獲得有限時間內(nèi)的破產(chǎn)概率、最終破產(chǎn)概率、破產(chǎn)時赤字的分布函數(shù)、給定破產(chǎn)(或破產(chǎn)時刻)的條件下破產(chǎn)時赤字的條件分布函數(shù)等．運用這一章的公式進行計算時顯然計算量巨大．但值得一提的是，我們獲得了一些第二章中無法得到的風險量，例如，有限時間內(nèi)的破產(chǎn)概率、赤字的條件分布等． 在第四章中，我們在正的安全負載的條件下考慮紅利模型(Ⅰ)的負盈余時間，即保險公司的盈余處于赤字狀態(tài)的時間．如果允許保險公司在破產(chǎn)之后仍然正常經(jīng)營，或遲或早盈余將回

9、到零狀態(tài)，以后將有可能第二次破產(chǎn)、第三次破產(chǎn)……，我們發(fā)現(xiàn)破產(chǎn)次數(shù)N的分布有兩種情況: (1)當初始盈余u=0時，N服從幾何分布； (2)當u≥1時，N服從如下分布：所以我們就上述兩種情況，分別推導了第一次負盈余時間、以后備次負盈余時間以及負盈余時間總和的一階矩、二階矩、母函數(shù)、分布函數(shù)(矩陣表達式)．值得強調(diào)的是，負盈余時間與首達時(盈余從0出發(fā)首次到達某一大于0的給定水平的時間)的分布有著密切的關(guān)系．首達時分布的推導已有一套成熟的方

10、法，值得慶幸的是這套方法能成功地運用到紅利模型(Ⅰ)，這就是本章的切入點． 我們常見的復合二項模型，即Gerber(1988)最初定義的模型假設(shè)了單位時間內(nèi)的保費收入為1個單位、每次索賠的量都是保費率的正整數(shù)倍，這不具有一般性． 因此我們在第五章對這個模型作了改進，考慮一個任意正整數(shù)保費率的復合二項模型．這個模型的Gerber-Shiu期望貼現(xiàn)罰金函數(shù)的推導遇到了嚴重的困難．所幸的是我們?nèi)匀猾@得了罰金函數(shù)滿足的一個線性

11、方程、一個上界、一個下界以及一個不完善的遞推公式．上述這些公式雖然不能精確地求出罰金函數(shù)，但可為保險公司提供一個粗略的風險估計，并且在運用第六章的公式(矩陣表達式)進行數(shù)值計算時可用來作誤差估計．第六章的矩陣表達的公式雖然是精確的表達，但數(shù)值計算時只能作近似計算，其誤差不太好估計，第五章中的公式正好彌補了這一不足之處． 在第六章中，我們提出紅利模型(Ⅱ)，它是在第五章改進了的復合二項模型中引入紅利支付而得到的模型．與紅利模型(Ⅰ

12、)對比，—個主要的區(qū)別是紅利的支付不是隨機化決策決定的．我們假設(shè)當盈余大于或等于給定的紅利界時保險公司就支付1個單位的紅利．紅利模型(Ⅱ)是復合二項模型的推廣，因而所得結(jié)果全部包含了復合二項模型的結(jié)果．本章所采用的方法主要是Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法(與第三章類似)，這比第五章中的罰金函數(shù)法有效得多，并且所處理的模型更為廣泛．這也就是本章的目的所在． Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法值得推廣不僅體現(xiàn)在處理離散時間模型中的強大功能，我們也可

13、以用它來對許多連續(xù)時間模型的風險量作近似計算． 為了拋磚引玉，在第七章中我們考慮一個連續(xù)時間風險模型--sparre Andersen模型．我們用Markov鏈轉(zhuǎn)移矩陣法成功地推導出了這個風險模型的最終破產(chǎn)概率的近似計算公式以及上下界．在運用我們提供的公式進行數(shù)值計算時有一個顯著的優(yōu)勢，那就是所得的近似值與精確值之間的誤差從理論上來說是可以控制的，即誤差可以控制到事先給定的任意水平． 從本文可以看出，Gerber-Sh