二階非線性微分、差分方程的Liapunov型不等式與振動(dòng)性.pdf

1、湖南大學(xué)碩士學(xué)位論文二階非線性微分、差分方程的Liapunov型不等式與振動(dòng)性姓名：袁朝暉申請(qǐng)學(xué)位級(jí)別：碩士專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：黃立宏2000.4.1刖舂數(shù)學(xué)中大量的微分方程都來(lái)源于諸如物理學(xué)、生物工程、電路信號(hào)與系統(tǒng)。自動(dòng)控制等所抽象出來(lái)的數(shù)學(xué)模型。但考慮到事物率身的復(fù)雜性及耩確性，有時(shí)必須用到時(shí)滯微分方程或稱泛函微分方程為了現(xiàn)代工具處理的需要，有時(shí)又要把這些方程加以離敬化，這樣就得到所謂的差分方程。由于這些方程應(yīng)用的廣泛性，微分

2、、差分方程的研究已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要分支但眾所閣知能求出精確解的微分、差分方程畢竟為數(shù)不多因此對(duì)這些方程進(jìn)行定性分析就變得非常重要。并且其研究成果己成為許多學(xué)科和尖端技術(shù)研究的不可缺少的理論工具振動(dòng)理論是微分、差分方程定性理論的一個(gè)重要組成部分。近幾十年來(lái)，尤其是在最近30年有了迅速的發(fā)展，國(guó)際文獻(xiàn)中這一領(lǐng)域的論文己大量涌現(xiàn)。由于二階系統(tǒng)的力學(xué)意義極其明顯，因此對(duì)二階微分，差分方程振動(dòng)性的研究在掘動(dòng)理論中占有根重要的地位。本文共

3、分四章討論了下面的幾類二階微分，差分方程。(，)【J，(f)4】’g(f沙4(幻=o(o1)(“)△【口。(句一。)4】g。f(y。㈨)=o(02)(iii)(日(，)【X(，)P(OxO—f)l。)’口(f)，一(，～占)二0103)其中盯是兩個(gè)正奇數(shù)的比。我們?cè)诘谝徽掠懻摲匠?o1)。對(duì)于口=l，Liapunov在文[1]中得出了一個(gè)所謂的Lidpunovj；等式這個(gè)不等式在討論相應(yīng)方程的穩(wěn)定性及特征值問(wèn)題有著重要作用。本章將對(duì)o≠

4、1的情形進(jìn)行研究得出了類似于Liapunov不等式的結(jié)果第一章討論方程(01)的振動(dòng)性及非振動(dòng)性利用不等式的技巧，獲得了方程(o1)的兒個(gè)振動(dòng)及非振動(dòng)的充分條件。第三章中，我們i寸論方程(o2)的振動(dòng)性。通過(guò)采用Riecati變換，改進(jìn)或推廣了現(xiàn)有文獻(xiàn)中的一些結(jié)果第四章討論二階中立型微分方程(o3)的振動(dòng)性。我們先把方程(o3)與微分不等式【口“)：’0)1‘十坶(，扣“一盯)≤OLu4’聯(lián)系起來(lái)，然后利用RJccatJ變換進(jìn)行討論，推

5、廣一些現(xiàn)有結(jié)論或得到一些方程(o，3)振動(dòng)的新的振動(dòng)準(zhǔn)則為了行文方便，現(xiàn)將率文用到的幾個(gè)主要概念敘述如下：本文所提到的方程的解如沒(méi)有特別說(shuō)明，是指連續(xù)的非平凡解。方程(01)或(o3)的解x(t)振動(dòng)是指有任意大的零點(diǎn)一反之稱為解不振動(dòng)或等價(jià)地說(shuō)x(t)最終為正或最終為負(fù)方程(o2)的解y1振動(dòng)是指對(duì)任一給定的正整數(shù)N，均存在一個(gè)整數(shù)n州使YnYnI≤o否則稱y不振動(dòng)或等價(jià)地說(shuō)這個(gè)解是照終為正或最終為負(fù)。方程(01)或(03))振動(dòng)是指