二階非線性微分、差分方程的Liapunov型不等式與振動性.pdf

1、湖南大學(xué)碩士學(xué)位論文二階非線性微分、差分方程的Liapunov型不等式與振動性姓名：袁朝暉申請學(xué)位級別：碩士專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：黃立宏2000.4.1刖舂數(shù)學(xué)中大量的微分方程都來源于諸如物理學(xué)、生物工程、電路信號與系統(tǒng)。自動控制等所抽象出來的數(shù)學(xué)模型。但考慮到事物率身的復(fù)雜性及耩確性，有時必須用到時滯微分方程或稱泛函微分方程為了現(xiàn)代工具處理的需要，有時又要把這些方程加以離敬化，這樣就得到所謂的差分方程。由于這些方程應(yīng)用的廣泛性，微分

2、、差分方程的研究已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究的一個重要分支但眾所閣知能求出精確解的微分、差分方程畢竟為數(shù)不多因此對這些方程進行定性分析就變得非常重要。并且其研究成果己成為許多學(xué)科和尖端技術(shù)研究的不可缺少的理論工具振動理論是微分、差分方程定性理論的一個重要組成部分。近幾十年來，尤其是在最近30年有了迅速的發(fā)展，國際文獻中這一領(lǐng)域的論文己大量涌現(xiàn)。由于二階系統(tǒng)的力學(xué)意義極其明顯，因此對二階微分，差分方程振動性的研究在掘動理論中占有根重要的地位。本文共

3、分四章討論了下面的幾類二階微分，差分方程。(，)【J，(f)4】’g(f沙4(幻=o(o1)(“)△【口。(句一。)4】g。f(y。㈨)=o(02)(iii)(日(，)【X(，)P(OxO—f)l。)’口(f)，一(，～占)二0103)其中盯是兩個正奇數(shù)的比。我們在第一章討論方程(o1)。對于口=l，Liapunov在文[1]中得出了一個所謂的Lidpunovj；等式這個不等式在討論相應(yīng)方程的穩(wěn)定性及特征值問題有著重要作用。本章將對o≠

4、1的情形進行研究得出了類似于Liapunov不等式的結(jié)果第一章討論方程(01)的振動性及非振動性利用不等式的技巧，獲得了方程(o1)的兒個振動及非振動的充分條件。第三章中，我們i寸論方程(o2)的振動性。通過采用Riecati變換，改進或推廣了現(xiàn)有文獻中的一些結(jié)果第四章討論二階中立型微分方程(o3)的振動性。我們先把方程(o3)與微分不等式【口“)：’0)1‘十坶(，扣“一盯)≤OLu4’聯(lián)系起來，然后利用RJccatJ變換進行討論，推

5、廣一些現(xiàn)有結(jié)論或得到一些方程(o，3)振動的新的振動準則為了行文方便，現(xiàn)將率文用到的幾個主要概念敘述如下：本文所提到的方程的解如沒有特別說明，是指連續(xù)的非平凡解。方程(01)或(o3)的解x(t)振動是指有任意大的零點一反之稱為解不振動或等價地說x(t)最終為正或最終為負方程(o2)的解y1振動是指對任一給定的正整數(shù)N，均存在一個整數(shù)n州使YnYnI≤o否則稱y不振動或等價地說這個解是照終為正或最終為負。方程(01)或(03))振動是指