Clifford分析中的k-正則函數(shù).pdf

1、k-正則函數(shù)是Clifford分析中一類性質(zhì)良好的函數(shù)類，是正則函數(shù)的一種自然形式的推廣.正則函數(shù)一定為k-正則函數(shù)，但k-正則函數(shù)不一定為正則函數(shù)，例如：當(dāng)f(x)為正則函數(shù)時(shí)，xf(x)不是正則函數(shù)，但它是2-正則函數(shù).并且有一個(gè)規(guī)律就是k-1-正則函數(shù)一定為k-正則的，但反之是不成立的.因此研究k-正則函數(shù)有一定的理論和應(yīng)用價(jià)值. 在第一章中給出了預(yù)備知識(shí)和一些重要引理.這些引理在本文中起到了非常重要的作用. 在第

2、二章中討論了k-正則函數(shù)的若干性質(zhì)，如唯一性定理、當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)k-正則函數(shù)的判定定理等，使我們對(duì)k-正則函數(shù)有了更清楚的認(rèn)識(shí).我們是用k-正則函數(shù)的級(jí)數(shù)和k-正則函數(shù)所定義區(qū)域的連通性來(lái)證明唯一性定理的.這點(diǎn)告訴我們k-正則函數(shù)的唯一性定理是以連通開(kāi)子集為基礎(chǔ)的.并且這種方法對(duì)單復(fù)變中解析函數(shù)以及實(shí)Clifiord分析中正則函數(shù)，雙正則函數(shù)，超正則函數(shù)都適用.k為偶數(shù)時(shí)k-正則函數(shù)的判定定理使我們簡(jiǎn)化了對(duì)k-正則函數(shù)的判定. 在

3、第三章中討論了定義于Rn中的有界域上取值于clifford代數(shù)C(Vn,0)的r次連續(xù)可微函數(shù)的Cauchy-Pompeiu公式及k-正則函數(shù)的高階Cauchy積分公式，平均值定理，Cauchy不等式等.這些都是k-正則函數(shù)的基本定理，其中高階Cauchy積分公式是基礎(chǔ)，它是k-正則函數(shù)的積分表示，是我們研究k-正則函數(shù)的重要工具.平均值定理，Cauchy不等式都是應(yīng)用高階Cauchy積分公式得出的.另外在研究有關(guān)k-正則函數(shù)邊值問(wèn)題時(shí)

4、，高階Cauchy型積分是主要的研究工具之一.我們注意到高階Cauchy型積分與Cauchy型積分的區(qū)別是多了一些弱奇性的項(xiàng).本文主要采用的手法是把高階Cauchy型積分分成兩部分，一部分是我們所熟悉的Cauchy型積分，另一部分是那些具有弱奇性項(xiàng)的和.接下來(lái)我們應(yīng)用球坐標(biāo)變換的方法，討論了定義于Rn中的有界域上取值于Clifiord代數(shù)C(Vn,0)的r次連續(xù)可微函數(shù)的高階Cauchy型積分的Cauchy主值，Plemelj公式及邊值

5、的H lder連續(xù)性，然后給出了高階Cauchy型積分的Privalov定理.在證明Plemelj公式時(shí)，我們主要證的是高階Cauchy型積分具有弱奇性的那些項(xiàng)的和的連續(xù)性.采用的手法是把區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)趨近于邊界上的點(diǎn)的方式分成兩種情況來(lái)討論，一種情況是不沿邊界上的點(diǎn)的切平面方向趨近，另一種情況是沿邊界上的點(diǎn)的切平面方向趨近.并且應(yīng)用高階Cauchy積分公式和高階Cauchy型積分的Plemelj公式，可以得到k-正則函數(shù)的開(kāi)拓定理.證明邊

6、值的H lder連續(xù)性和高階Cauchy型積分的Privalorr定理時(shí)都采用了把積分曲面分成有奇性和沒(méi)有奇性兩部分來(lái)加以證明的.從三種情況來(lái)證明PriValov定理：首先是兩點(diǎn)都在邊界上，應(yīng)用邊值的HtSlder連續(xù)性即可得證；然后是一點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)，一點(diǎn)在邊界上，應(yīng)用了最近距離點(diǎn)的性質(zhì)及一些技巧得出結(jié)論；最后是兩點(diǎn)都在區(qū)域內(nèi)，類似第二種情況進(jìn)行討論. 在第四章中討論了定義在Rn的無(wú)界域上取值于Clifford代數(shù)C(Vn,0)的