Clifford分析中的k-正則函數(shù).pdf

1、k-正則函數(shù)是Clifford分析中一類性質(zhì)良好的函數(shù)類，是正則函數(shù)的一種自然形式的推廣.正則函數(shù)一定為k-正則函數(shù)，但k-正則函數(shù)不一定為正則函數(shù)，例如：當(dāng)f(x)為正則函數(shù)時，xf(x)不是正則函數(shù)，但它是2-正則函數(shù).并且有一個規(guī)律就是k-1-正則函數(shù)一定為k-正則的，但反之是不成立的.因此研究k-正則函數(shù)有一定的理論和應(yīng)用價值. 在第一章中給出了預(yù)備知識和一些重要引理.這些引理在本文中起到了非常重要的作用. 在第

2、二章中討論了k-正則函數(shù)的若干性質(zhì)，如唯一性定理、當(dāng)k為偶數(shù)時k-正則函數(shù)的判定定理等，使我們對k-正則函數(shù)有了更清楚的認(rèn)識.我們是用k-正則函數(shù)的級數(shù)和k-正則函數(shù)所定義區(qū)域的連通性來證明唯一性定理的.這點告訴我們k-正則函數(shù)的唯一性定理是以連通開子集為基礎(chǔ)的.并且這種方法對單復(fù)變中解析函數(shù)以及實Clifiord分析中正則函數(shù)，雙正則函數(shù)，超正則函數(shù)都適用.k為偶數(shù)時k-正則函數(shù)的判定定理使我們簡化了對k-正則函數(shù)的判定. 在

3、第三章中討論了定義于Rn中的有界域上取值于clifford代數(shù)C(Vn,0)的r次連續(xù)可微函數(shù)的Cauchy-Pompeiu公式及k-正則函數(shù)的高階Cauchy積分公式，平均值定理，Cauchy不等式等.這些都是k-正則函數(shù)的基本定理，其中高階Cauchy積分公式是基礎(chǔ)，它是k-正則函數(shù)的積分表示，是我們研究k-正則函數(shù)的重要工具.平均值定理，Cauchy不等式都是應(yīng)用高階Cauchy積分公式得出的.另外在研究有關(guān)k-正則函數(shù)邊值問題時

4、，高階Cauchy型積分是主要的研究工具之一.我們注意到高階Cauchy型積分與Cauchy型積分的區(qū)別是多了一些弱奇性的項.本文主要采用的手法是把高階Cauchy型積分分成兩部分，一部分是我們所熟悉的Cauchy型積分，另一部分是那些具有弱奇性項的和.接下來我們應(yīng)用球坐標(biāo)變換的方法，討論了定義于Rn中的有界域上取值于Clifiord代數(shù)C(Vn,0)的r次連續(xù)可微函數(shù)的高階Cauchy型積分的Cauchy主值，Plemelj公式及邊值

5、的H lder連續(xù)性，然后給出了高階Cauchy型積分的Privalov定理.在證明Plemelj公式時，我們主要證的是高階Cauchy型積分具有弱奇性的那些項的和的連續(xù)性.采用的手法是把區(qū)域內(nèi)的點趨近于邊界上的點的方式分成兩種情況來討論，一種情況是不沿邊界上的點的切平面方向趨近，另一種情況是沿邊界上的點的切平面方向趨近.并且應(yīng)用高階Cauchy積分公式和高階Cauchy型積分的Plemelj公式，可以得到k-正則函數(shù)的開拓定理.證明邊

6、值的H lder連續(xù)性和高階Cauchy型積分的Privalorr定理時都采用了把積分曲面分成有奇性和沒有奇性兩部分來加以證明的.從三種情況來證明PriValov定理：首先是兩點都在邊界上，應(yīng)用邊值的HtSlder連續(xù)性即可得證；然后是一點在區(qū)域內(nèi)，一點在邊界上，應(yīng)用了最近距離點的性質(zhì)及一些技巧得出結(jié)論；最后是兩點都在區(qū)域內(nèi)，類似第二種情況進行討論. 在第四章中討論了定義在Rn的無界域上取值于Clifford代數(shù)C(Vn,0)的