運動守恒量保持算法和牛頓核殼模型動力學研究.pdf

1、混沌是非線性系統(tǒng)普遍存在的一種現(xiàn)象。它具有對初始條件指數(shù)敏感依賴性并具有確定的隨機性等特征?；煦缪芯繚B透到各門學科，特別在天體力學中得到蓬勃發(fā)展。影響混沌研究的因素有數(shù)值方法和混沌識別指標。 傳統(tǒng)的高階數(shù)值方法盡管為求解天體運動軌道的數(shù)值解提供了較高的精度，但具有人工耗散因素，不能保持運動物理守恒量等動力系統(tǒng)固有性質。辛算法彌補了傳統(tǒng)方法的不足，能保持系統(tǒng)的能量和辛結構，是適合定性研究哈密頓系統(tǒng)的最佳方法。然而辛算法局限于哈密頓

2、系統(tǒng)，同時精度不夠高，并且除能量積分外，一般不能保持其他的運動積分。鑒于此，20世紀70年代由Baumgarte提出的微分方程穩(wěn)定化和Naeozy引入的流形改正方法直至目前仍得到廣泛關注和發(fā)展。Baumgarte方法就是在運動微分方程中加入有關物理守恒量控制項后再用傳統(tǒng)數(shù)值方法進行數(shù)值積分，可以逐步保持該守恒量。而Nacozy方法是先用傳統(tǒng)數(shù)值方法給出數(shù)值解，再在數(shù)值解中加入有關物理守恒量獲得校正解使校正后的該物理守恒量精度約為校正前的

3、平方。該方法又稱為后穩(wěn)定化方法。本文對這兩種穩(wěn)定化方法進行了詳盡討論與數(shù)值比較。經典數(shù)值方法結合這兩種穩(wěn)定化方式都能提高數(shù)值精度和改善數(shù)值穩(wěn)定性。在最佳穩(wěn)定參數(shù)下，Baumgarte穩(wěn)定化精度一般不等價于后穩(wěn)定化方法。兩者精度優(yōu)劣并無常定?？紤]到Baumgarte的穩(wěn)定化使得數(shù)值積分的右函數(shù)更復雜和增加計算耗費，尤其是存在穩(wěn)定參數(shù)最佳選取的麻煩，故推薦后穩(wěn)定化投入實算。但值得注意的問題是后穩(wěn)定化與沒有經過穩(wěn)定化處理的經典積分器來比，不宜

4、擴大積分步長。 除了恰當?shù)臄?shù)值方法外，研究混沌還需要可靠的混沌識別指標。現(xiàn)有的混沌識別方法主要有Poincare截面法，Lyapunov指數(shù)，快速Lyapunov指標等。這些方法各有優(yōu)缺點。Poineare截面能夠直觀地揭示動力學相空間結構但一般限于相空間維數(shù)與運動積分個數(shù)之差不超過3的系統(tǒng)。Lyapunov指數(shù)可用于多維動力系統(tǒng)，但為了取得穩(wěn)定的極限值常需要較長的計算時間。Froeschle的快速Lyapunov指標優(yōu)越于Ly

5、apunov指數(shù)，能快速靈敏地識別有序和混沌軌道。2006年Wu Xin等發(fā)展了快速Lyapunov指標，提出用兩鄰近軌道方法代替變分方程方法定義這一指標，其優(yōu)越性在于方便研究復雜的引力系統(tǒng)。本文的一個重要目的是討論該指標的另一方面的優(yōu)點。認為該指標結合假辛算法是研究可分解為主次部分的哈密頓系統(tǒng)的較完美組合。為此，重點考察了牛頓核殼模型，它是相對論下的核殼模型在弱場和低速運動的極限情形。這種模型可以解釋銀河系的一類恒星遺跡周圍的塵埃構形