組合學中的單峰型問題.pdf

1、單峰型問題是組合學中基本的研究課題之一，其內容包括單峰性、對數凹性、對數凸性和PF性質的研究等.因PF性質蘊涵單峰性和對數凹性，且有限PF序列可由其發(fā)生函數只具有實零點來刻畫，故多項式實零點性的研究是單峰型問題中的一個重要的組成部分(這項研究本身也是數學學科中的經典問題之一).因此關于PF性質和對數凸性的研究是單峰型問題中的主要內容.本文分別統(tǒng)一地給出多項式序列具有實零點性以及組合序列具有對數凸性的判別方法，具體內容如下。 第一

2、部分研究多項式序列只具有實零點的問題.雖然在以往的研究過程中已經有許多關于多項式實零點性的經典結果，但是本文旨在對遞歸多項式的實零點性作出統(tǒng)一的處理.基于零點交替的方法給出遞歸的多項式序列只具有實零點的充分條件，根據這些條件能由已知的只具有實零點的多項式得到新的只具有實零點的多項式，所建立的方法能統(tǒng)一許多經典問題的證明，包括正交多項式、圖的匹配多項式、Narayana多項式、Bell多項式和Eulerian多項式等的實零點性；還給出多項

3、式矩陣保持交替性的充分條件，作為應用能證明Stahl關于某些圖的虧格多項式的實零點性的猜想并能解決其提出的公開問題。 第二部分對組合序列的對數凸性做出了較為系統(tǒng)的研究.雖然序列的對數凸性等同于其倒數序列的對數凹性，但是對數凸性與對數凹性的研究之間有著本質的區(qū)別.首先給出保持對數凸性的算子，包括對應項加和、二項式卷積以及由二項式系數、兩類Stirling數決定的線性變換等；其次給出滿足三項遞歸關系的序列具有對數凸性的充分條件，由此