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1、常微分方程的形成和發(fā)展與力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)等密切相關(guān),這使數(shù)學(xué)家們深信微分方程在認(rèn)識(shí)自然和改造自然方面的巨大力量?,F(xiàn)在,常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用,特別是現(xiàn)代控制論中大量應(yīng)用到變系數(shù)線(xiàn)性微分方程以及變系數(shù)線(xiàn)性微分方程組。這些問(wèn)題大都可以轉(zhuǎn)化為求常微分方程的解,或者轉(zhuǎn)化為研究常微分方程的解的性質(zhì)問(wèn)題。應(yīng)該說(shuō),常微分方程的理論研究已經(jīng)取得了很大成就,但是,它的現(xiàn)有理論還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿(mǎn)足實(shí)際生產(chǎn)的需要,這門(mén)學(xué)科還有待于進(jìn)一步的發(fā)展
2、,使其理論體系更加完善。
對(duì)于變系數(shù)線(xiàn)性微分方程,一般來(lái)說(shuō)是不容易求解的,但是經(jīng)過(guò)不斷的研究,數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)一些特殊類(lèi)型的變系數(shù)線(xiàn)性微分方程是可以通過(guò)變量代換等方法轉(zhuǎn)化為可解的微分方程,例如,Euler方程就是常見(jiàn)的一種。目前,在討論變系數(shù)線(xiàn)性微分方程的可解性時(shí)采用的變量代換大多是自變量變換或者是未知函數(shù)的線(xiàn)性變換,所得結(jié)論也具有一定的相似性。
本文利用帶導(dǎo)數(shù)的變量代換來(lái)研究變系數(shù)線(xiàn)性微分方程的可解性,并得到若干
3、新的可解類(lèi)型。
首先本文通過(guò)帶未知函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)的變量代換將三階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程降階轉(zhuǎn)化為二階常系數(shù)線(xiàn)形微分方程,從而得到三階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程一個(gè)新的可解類(lèi)型。然后利用相同的思路來(lái)研究四階、五階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程可解性的充分條件,最后總結(jié)其變化規(guī)律得到n階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程的一個(gè)新的可解類(lèi)型。
其次本文綜合利用帶未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的變量代換、未知函數(shù)的線(xiàn)性變換以及自變量變換將高階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程轉(zhuǎn)換為低階線(xiàn)性微
4、分方程或者是常系數(shù)線(xiàn)性微分方程等已知的可解類(lèi)型,從而得到三階、四階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程新的可解類(lèi)型。
最后本文利用帶未知函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的變量代換將三階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程轉(zhuǎn)化為一階線(xiàn)性微分方程,從而得到三階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程新的可解類(lèi)型。并且用同樣的思路來(lái)研究四階、五階變系數(shù)線(xiàn)性方程的可解性,最終總結(jié)規(guī)律,得出可以利用特殊的帶未知函數(shù)n-1階導(dǎo)數(shù)的變量代換來(lái)處理n階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程,從而得到n階變系數(shù)線(xiàn)性微分方程的一個(gè)新的可解
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