Nakayama代數(shù)的分解箭圖與奇點(diǎn)范疇.pdf

1、本博士論文研究Nakayama代數(shù)的同調(diào)性質(zhì)。具體來說，我們研究了Nakayama代數(shù)的分解箭圖、Nakayama代數(shù)的奇點(diǎn)范疇、Nakayama代數(shù)的Gorenstein同調(diào)性質(zhì)以及Nakayama代數(shù)上的Gorenstein投射模等相關(guān)內(nèi)容。
　　論文的具體安排如下:
　　在第一章中，我們回顧了三角范疇、奇點(diǎn)范疇以及Gorenstein同調(diào)代數(shù)的歷史起源和發(fā)展現(xiàn)況。然后，我們介紹了論文的主要結(jié)果與結(jié)構(gòu)。
　　在第二

2、章中，我們介紹了三角范疇、環(huán)的奇點(diǎn)范疇以及Gorenstein投射模的基本定義和已知結(jié)果。特別地，我們利用Keller-Vossieck引理重新給出了Buchweitz定理的證明。然后，我們介紹了后面章節(jié)將要用到的一些工具。
　　在第三章中，我們討論了Nakayama代數(shù)的分解箭圖。首先，我們回顧了Nakayama代數(shù)分解箭圖的定義和基本性質(zhì)。然后，我們證明了分解箭圖的一個基本性質(zhì)，即:連通Nakayama代數(shù)的分解箭圖中每個圈的

3、大小都相等。利用該性質(zhì)，我們得到了整體維數(shù)無限的連通Nakayama代數(shù)上內(nèi)射維數(shù)無限的單模個數(shù)與投射維數(shù)無限的單模個數(shù)相等。我們對分解箭圖中的圈引入了權(quán)重的概念，并且證明了連通Nakayama代數(shù)的分解箭圖中每個圈的權(quán)重也都相等。最后，我們利用分解箭圖研究了Nakayama代數(shù)的Gorenstein同調(diào)性質(zhì)，給出了若干使Nakayama代數(shù)成為Gorenstein代數(shù)的充分必要條件。
　　在第四章中，我們研究了Nakayama代

4、數(shù)的奇點(diǎn)范疇。首先，對于任意給定的Nakayama代數(shù)，我們利用分解箭圖構(gòu)造了其模范疇的某個Frobenius子范疇。我們證明了這個Frobenius子范疇為Abel范疇，并且與某個自內(nèi)射Nakayama代數(shù)的有限生成模范疇等價。然后，我們得到了本章的主要結(jié)果，即:上述Frobenius子范疇的穩(wěn)定范疇與給定Nakayama代數(shù)的奇點(diǎn)范疇三角等價。這給出了Nakayama代數(shù)奇點(diǎn)范疇的新描述。利用這個Frobenius子范疇，我們證明了

5、任意Nakayama代數(shù)的奇點(diǎn)范疇與其反代數(shù)的奇點(diǎn)范疇之間存在三角對偶。我們舉例說明了，一般來說，代數(shù)的奇點(diǎn)范疇與其反代數(shù)的奇點(diǎn)范疇之間不一定存在三角對偶。最后，利用這個三角對偶和Auslander-Reiten箭圖的相關(guān)內(nèi)容，我們得到了任意Nakayama代數(shù)的分解箭圖與其反代數(shù)的分解箭圖中每個圈的大小和權(quán)重均分別相等，并且它們中圈的個數(shù)也相等。
　　在第五章中，我們考察了域上Nakayama代數(shù)的Gorenstein投射模。首