多項式擴張及廣義冪級數(shù)環(huán)模.pdf

1、本文研究環(huán)的多項式擴張理論以及廣義冪級數(shù)環(huán)模的性質(zhì)．文中的環(huán)都是有單位元1的結(jié)合環(huán)，文中的α是環(huán)的自同態(tài)，而δ為α—導子．我們分七章討論． 第一章簡要介紹研究背景和本文的主要結(jié)果． 第二章作為對對稱環(huán)的推廣，我們引進了弱對稱環(huán)與弱（α，δ）—對稱環(huán)的概念并研究環(huán)的弱對稱與弱（α，δ）—對稱性質(zhì)在其多項式擴張環(huán)中的保持問題．在本章中我們首先探討弱對稱環(huán)的性質(zhì)，證明了所有對稱環(huán)都是弱對稱環(huán)．同時也證明了環(huán)R是弱對稱環(huán)當且僅當

2、環(huán)R上的上三角矩陣環(huán)是弱對稱環(huán)．接著我們探討了環(huán)R的弱對稱性質(zhì)與它的Ore擴張環(huán)R[x；α，δ]之間的關(guān)系，證明了如果環(huán)R是（α，δ）—相容的可逆環(huán)，那么環(huán)R是弱對稱環(huán)當且僅當R[x；α，δ]是弱對稱環(huán)．第三，我們研究了環(huán)R的弱（α，δ）—對稱性質(zhì)與它的多項式環(huán)R[x]之間的關(guān)系，證明了如果環(huán)R是半交換環(huán)，那么環(huán)R是弱（α，δ）—對稱環(huán)當且僅當R[x]是弱（α，δ）—對稱環(huán)，其中α與δ分別是α與δ的擴張映射． 第三章作為對α—剛

3、環(huán)的推廣，我們引進了弱（α，δ）—相容環(huán)與弱（α，δ）—Armendariz環(huán)的概念并探討弱（α，δ）—相容環(huán)與弱（α，δ）—Armendariz環(huán)的性質(zhì)．我們在本章中證明了如果環(huán)R是弱（α，δ）—相容的半交換環(huán)，那么R是弱（α，δ）—Armendariz—環(huán)；如果R是弱（α，δ）—相容環(huán)且R[x]是半交換環(huán)，那么多項式環(huán)R[x]是弱（α，δ）—Armendariz環(huán)，其中α與δ分別是α與δ的擴張映射． 第四章作為對α—剛環(huán)與α

4、—skew Armendariz環(huán)的推廣，我們引進了弱α—剛環(huán)與弱α—skew Armendariz環(huán)的概念并研究這類環(huán)的性質(zhì)．在本章中，我們首先研究弱α—剛環(huán)的性質(zhì)并舉例說明弱α—剛環(huán)是α—剛環(huán)的真推廣．接著我們探討弱α—剛環(huán)與弱α—skew Armendariz環(huán)的關(guān)系，證明了如果nil（R）是環(huán)R的理想，那么弱α—剛環(huán)必是弱α—skew Armendariz環(huán)；如果環(huán)R是弱α—剛的半交換環(huán)，那么多項式環(huán)R[x]是弱α—skew A

5、rmendariz環(huán)． 第五章作為對McCoy環(huán)的推廣，我們引進了α—McCoy環(huán)和弱McCoy環(huán)，并研究環(huán)的弱McCoy性質(zhì)在其多項式擴張環(huán)中的保持問題．在這一章中，我們首先對McCoy環(huán)與α—McCoy環(huán)進行了比較，說明α—McCoy環(huán)是McCoy環(huán)的真推廣，并證明了如果環(huán)R是α—相容的可逆環(huán)，則環(huán)R必是α—McCoy環(huán)，從而推廣了McCoy環(huán)的相關(guān)結(jié)論[76，Theorem2]．接著我們研究環(huán)的弱McCoy性質(zhì)在其多項式擴

6、張環(huán)中的保持問題，證明了如果環(huán)R是（α，δ）—相容的可逆環(huán)，那么環(huán)R是弱McCoy環(huán)當且僅當環(huán)R的Ore擴張環(huán)R[x；α，δ]是弱McCoy環(huán)，從而把許多熟知的有關(guān)McCoy環(huán)的結(jié)論推廣到了更廣泛的環(huán)類上． 第六章引進弱Zip環(huán)的概念，并研究環(huán)的弱Zip性質(zhì)在其多項式擴張環(huán)中的保持問題．首先，作為零化子的推廣，我們引進弱零化子的定義，并研究環(huán)的弱零化子的相關(guān)性質(zhì)．接著以弱零化子為基礎(chǔ)，作為對Zip環(huán)的推廣，我們引進弱Zip環(huán)，并

7、證明了當環(huán)R是可逆的（α，δ）—相容環(huán)時，環(huán)R的弱Zip性質(zhì)在環(huán)的Ore擴張R[x；α，δ]中是保持的． 第七章主要研究廣義冪級數(shù)環(huán)，模的性質(zhì)，在7.2節(jié)，我們研究形式三角矩陣環(huán)的GM—性質(zhì)，證明了環(huán)上形式三角矩陣環(huán)的GM—性質(zhì)在廣義冪級數(shù)環(huán)上的形式三角矩陣環(huán)中是保持的．在7.3節(jié)，我們證明了廣義冪級數(shù)環(huán)的Grothendieck群與環(huán)R的Grothendieck群同構(gòu)，從而刻畫了廣義冪級數(shù)環(huán)和廣義冪級數(shù)環(huán)上Morita Con

8、text的Grothendieck群．同時我們研究廣義冪級數(shù)環(huán)上Morita Context的穩(wěn)定性質(zhì)．證明了如果環(huán)A與環(huán)B分別是（s，2）—環(huán)，unitl—stablerange環(huán)，那么廣義冪級數(shù)環(huán)上的Morita Context（[[As，≤]]，[[Bs，≤]]，[[MS，≤]]，[[NS，≤]]，（）S，φS）也分別是（s，2）—環(huán)， unitl—stable range環(huán)．從而得到了新的滿足穩(wěn)定度條件的環(huán)類．在7.4節(jié)，作為對

9、Ar—mendariz環(huán)的推廣，我們引進了廣義冪級數(shù)環(huán)上S—Armendariz模的概念．證明了廣義冪級數(shù)環(huán)上的S—Armendariz模有許多類似于Ar—mendariz環(huán)的性質(zhì)．作為S—Armendariz模性質(zhì)的運用，我們證明了如果R是環(huán)，M為S—Armendariz模，且對任意φ2=φ∈[[RS，≤]]，存在e2=e∈R使得φ=Ce，那么M分別是Baer，quasi—Baer，p．p．模當且僅當[[MS，≤]]是分別是Baer，