雙線性化Boussinesq方程研究.pdf

1、雙線性變換方法是由日本數(shù)學(xué)家AHirota引入的一種求解非線性偏微分方程的直接方法，其基本思想是通過變換將一個非線性偏微分方程改寫成雙線性導(dǎo)數(shù)方程，并由雙線性導(dǎo)數(shù)方程的解而得到原方程的解.雙線性變換方法的優(yōu)點是并不需要所研究的非線性偏微分方程具有Lax對，即可用于許多不可積方程的研究.但是，究竟什么樣的非線性偏微分方程可以寫成雙線性導(dǎo)數(shù)方程?一個非線性偏微分方程與相應(yīng)的雙線性導(dǎo)數(shù)方程之間是否(局部)等價?這些問題長期以來并沒有得到解決.

2、
　　 Baecklund變換是由瑞典幾何學(xué)家AVBaecklund給出的負(fù)常高斯曲率曲面之間的一個變換，現(xiàn)已成為求解非線性偏微分方程的一種重要方法，其基本思想是將一個非線性偏微分方程的求解轉(zhuǎn)化為兩個相容的一階常微分方程的求解.許多重要的方程，如sine-Gordon方程和KdV方程，都有B(a)cklund變換，由此可生成這些方程的多孤子解.
　　 本文以Boussinesq方程為例，研究上述兩個方面的問題.首先說明從

3、該方程的任意一個解，可以得到相應(yīng)的雙線性化Boussinesq方程的解，并由此證明Boussinesq方程與雙線性化Boussinesq方程之間局部等價，同時我們給出兩個例子，說明如何由Boussinesq方程的平凡解而得到雙線性化Boussinesq方程的(非平凡)解.從Boussinesq方程到雙線性化Boussinesq方程解之間的變換可看成是由一個常微分方程(關(guān)于其中一個自變量求導(dǎo)，而把另外一個自變量看成參數(shù))定義的變換，其初始