Kummer擴(kuò)張和廣義Kummer擴(kuò)張.pdf

1、本文主要討論了域擴(kuò)張的Kummer理論，研究了函數(shù)域上的廣義Kummer擴(kuò)張，得出其一些算術(shù)性質(zhì).
　　 第一章給出了一般域上的Kummer理論.我們證明，如域K上GK-模A和算子(δ)：A→A滿足一些條件，則域K的指數(shù)為n的Abel擴(kuò)張L/K與AK=AGK的滿足A(δ)K(∩)△(∩)AK的子集△之間存在一一對應(yīng)關(guān)系：(公式略)
　　 第二章引入了函數(shù)域上Fq(T)上廣義Kummer擴(kuò)張的概念，它是由一類特殊多項(xiàng)式F(

2、y)=yqn+an-1yqn-1+…+a2yq2+a1yq+ay決定的擴(kuò)張.我們首先得到了一些初步結(jié)果：(1)F(y)的根集合R為Fq上的n維線性空間；(2)Gal(L/K)是GLn(Fq)的子群.由于一般情形下，廣義Kummer擴(kuò)張的Galois群及其他一些算術(shù)性質(zhì)的研究比較困難，目前還沒有合適的方法，所以本文接下來研究了n=2時(shí)其中的一大類特殊多項(xiàng)式F(y)=yq2+ayq+Thy，a∈(Th)決定的廣義Kummer擴(kuò)張.對于這類擴(kuò)

3、張，我們給出了其Galois群的確切結(jié)構(gòu)，得出此時(shí)有Gal(L/K)≌GL2(Fq).這也是本文的主要結(jié)果.
　　 第三章在前面的基礎(chǔ)上，選取第二章中所研究的多項(xiàng)式的簡單情形F(y)=yq2+ayq+Ty，a∈(T)作為研究對象，研究素位的分歧情況，計(jì)算了一些子域的虧格.主要有如下結(jié)論：(1)擴(kuò)張L/K中的分歧位只有T和∞，并且給出了分歧指數(shù)和剩余類域次數(shù)；(2)記dega=n，則L的虧格為(q+1)2(q-1)2/2(n-1)