基于非線性動力學理論的彈性桿拓撲構型分析

1、 基于非線性動力學理論的彈性桿 基于非線性動力學理論的彈性桿 拓撲構型分析 拓撲構型分析 Analysis on the Topological Configurations of the Elastic Rod Based on Nonlinear Dynamics Theory 學科專業(yè)：工程力學 研 究 生：趙 彬 指導教師：張琪昌 教授 天津大學機械工程學院 二零一二年十二月 摘 要 超長彈性細桿是橫跨生命科學，工程安全等諸多

2、領域的重要的力學模型，它有著極端細長性，以及小擾動即可出現(xiàn)大變形的特性。超長環(huán)狀 DNA 在外力和外力矩作用下， 會呈現(xiàn)出千差萬別的空間構型， 這其中不僅隱含了大量的遺傳信息，也蘊藏了諸多生命發(fā)展演變過程的本質，所以環(huán)狀 DNA 的研究已經(jīng)成為彈性桿理論研究的一個重要分支。 目前， 國內外許多研究者都嘗試將經(jīng)典的非線性動力學理論與環(huán)狀 DNA 構型的研究相結合，并取得了一定的研究成果。生物分子學中，DNA 拓撲結構的變化是各種酶作用的結

3、果，反映到環(huán)狀彈性桿模型上，各個參數(shù)的改變則可以與外力及外力矩等外界因素作用建立起相應的關系。 而目前針對此類問題的研究都是在簡化甚至忽略此關系的條件下進行的， 所以本文運用非線性動力學思想， 考慮多種外界因素影響， 在現(xiàn)有模型和重新建立的力學模型基礎上， 分析了等效初始扭矩等參數(shù)對圓截面和非對稱截面彈性桿拓撲構型的影響，并進行了數(shù)值分析和對比驗證，從數(shù)學角度考量了外界酶作用與 DNA 拓撲構型變化之間的關系。本文主要工作及取得的重要結

4、論主要有以下三個方面：(1). 引入了等效初始扭矩的概念，利用勢能密度函數(shù)與哈密頓函數(shù)形式上的相似性，建立了其與系統(tǒng)哈密頓函數(shù)、初始自連接數(shù)之間的定量關系，揭示了非對稱截面環(huán)狀 Kirchhoff 彈性細桿受到外力(矩)作用時， 其拓撲狀態(tài)參數(shù)的變化情況。以環(huán)狀 DNA 分子為背景，對扭矩模型進行了非線性動力學分析，并利用解析方法中的待定固有頻率法， 分析了主要參數(shù)對于扭矩模型穩(wěn)定構型的影響。 最后利用等效剛度，得到相應狀態(tài)下曲率的表達

5、式，為進一步認識和描述 DNA 環(huán)受到生物酶作用下的穩(wěn)定構型提供了新的理論途徑； (2). 為研究復雜情況下的圓截面 Kirchhoff 細桿的構型特征， 在原有的以復曲率為未知變量的 Schrödinger 方程建立了以扭率分量為變量的二自由度平衡方程。運用動力學中內共振的思想，指出了彈性桿出現(xiàn)諸多復雜構型的原因在于：兩個自由度固有頻率之比的不確定性，該比值的取值區(qū)間為[0,0.531]，當桿發(fā)生面內變形時，對應的是 0:1