非線性動(dòng)力學(xué)理論在防屈曲支撐研究中的應(yīng)用

1、<p>　　非線性動(dòng)力學(xué)理論在防屈曲支撐研究中的應(yīng)用</p><p>　　摘要：非線性動(dòng)力學(xué)的工程應(yīng)用是非線性科學(xué)研究的前沿和熱點(diǎn),應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué)的理論揭示事物動(dòng)態(tài)過(guò)程現(xiàn)象的本質(zhì)和機(jī)理具有十分重大的理論和應(yīng)用價(jià)值。防屈曲支撐作為一種應(yīng)用廣泛的金屬阻尼器，其力學(xué)性能研究對(duì)于指導(dǎo)其設(shè)計(jì)和性能評(píng)估具有很大的作用。然而防屈曲支撐作為一種強(qiáng)非線性系統(tǒng)，其力學(xué)性能分析一直是難點(diǎn)所在。本文對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)理論在防屈曲

2、支撐研究中的應(yīng)用作出一些初步的探索，著重研究防屈曲支撐內(nèi)芯的非線性動(dòng)力學(xué)理論建模方法。 </p><p>　　關(guān)鍵詞：非線性動(dòng)力學(xué)；防屈曲支撐；理論建模 </p><p>　　Abstract: The engineering applications of nonlinear dynamics is the research frontier and hot point of nonli

3、near science. It is of great theoretical and practical value to employ the theory of nonlinear dynamics to reveal the nature and mechanism &#8203;&#8203;of the objects dynamic phenomenon. The anti-buckling suppor

4、t is a widely used metal damper,whose mechanical properties study has a significant role in the guidance of its design and performance evaluation. However, anti-buckling support al</p><p>　　Key words: nonlin

5、ear dynamics; anti-buckling support; theoretical modeling </p><p>　　中圖分類號(hào)：TH122 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A文章編號(hào)：2095-2104（2012） </p><p><b>　　引言 </b></p><p>　　經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)是一些“實(shí)驗(yàn)事實(shí)”。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，實(shí)驗(yàn)設(shè)

6、備變得更為先進(jìn)，實(shí)驗(yàn)方法在不斷改進(jìn)，所得的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也更為貼近實(shí)際力學(xué)過(guò)程。然而，更新更精確的實(shí)驗(yàn)結(jié)果也說(shuō)明了：一、處理力學(xué)模型的線性化方法在許多模型應(yīng)用中具有很大的局限性，線性化可能導(dǎo)致很大的誤差，甚至導(dǎo)致結(jié)論與實(shí)際情況十分的不相符；二、原來(lái)被忽略的一些因素事實(shí)上對(duì)力學(xué)模型影響很大，而這些被忽略的因素表現(xiàn)往往很難用線性化方法處理，并且還表現(xiàn)為強(qiáng)非線性。 </p><p>　　真實(shí)的動(dòng)力系統(tǒng)幾乎都含有各種各樣的非線

7、性因素，諸如機(jī)械系統(tǒng)中的間隙、干摩擦，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的材料彈塑性、構(gòu)件大變形，控制系統(tǒng)中的元器件飽和特性、變結(jié)構(gòu)控制策略等。實(shí)踐中，人們經(jīng)常試圖用線性模型來(lái)替代實(shí)際的非線性系統(tǒng)，以求方便地獲得其動(dòng)力學(xué)行為的某種逼近.然而，被忽略的非線性因素常常會(huì)在分析和計(jì)算中引起無(wú)法接受的誤差，使得線性逼近徒勞無(wú)功.特別對(duì)于系統(tǒng)的長(zhǎng)時(shí)間歷程動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，有時(shí)即使略去很微弱的非線性因素，也會(huì)在分析和計(jì)算中出現(xiàn)本質(zhì)性的錯(cuò)誤. </p><p&

8、gt;　　人們很早就開(kāi)始關(guān)注非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題.早期研究可追溯到1673年Huygens對(duì)單擺大幅擺動(dòng)非等時(shí)性的觀察，從19世紀(jì)末起，Poincar6，Lyapunov，Birkhoff，Andronov，Arnold和Smale等數(shù)學(xué)家和力學(xué)家相繼對(duì)非線性動(dòng)力系統(tǒng)的理論進(jìn)行了奠基性研究，Duffing，van der Pol，Lorenz，Ueda等物理學(xué)家和工程師則在實(shí)驗(yàn)和數(shù)值模擬中獲得了許多啟示性發(fā)現(xiàn).他們的杰出貢獻(xiàn)相輔相成，

9、形成了分岔、混沌、分形的理論框架，使非線性動(dòng)力學(xué)在20世紀(jì)70年代成為一門重要的前沿學(xué)科，并促進(jìn)了非線性科學(xué)的形成和發(fā)展. </p><p>　　近20年來(lái)，非線性動(dòng)力學(xué)在理論和應(yīng)用兩個(gè)方面均取得了很大進(jìn)展.這促使越來(lái)越多的學(xué)者基于非線性動(dòng)力學(xué)觀點(diǎn)來(lái)思考問(wèn)題，采用非線性動(dòng)力學(xué)理論和方法，對(duì)工程科學(xué)、生命科學(xué)、社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中的非線性系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型，預(yù)測(cè)其長(zhǎng)期的動(dòng)力學(xué)行為，揭示內(nèi)在的規(guī)律性，提出改善系統(tǒng)品質(zhì)的控制

10、策略，一系列成功的實(shí)踐使人們認(rèn)識(shí)到：許多過(guò)去無(wú)法解決的難題源于系統(tǒng)的非線性，而解決難題的關(guān)鍵在于對(duì)問(wèn)題所呈現(xiàn)的分岔、混沌、分形、孤立子等復(fù)雜非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象具有正確的認(rèn)識(shí)和理解. </p><p>　　近年來(lái)，非線性動(dòng)力學(xué)理論和方法正從低維向高維乃至無(wú)窮維發(fā)展.伴隨著計(jì)算機(jī)代數(shù)、數(shù)值模擬和圖形技術(shù)的進(jìn)步，非線性動(dòng)力學(xué)所處理的問(wèn)題規(guī)模和難度不斷提高，已逐步接近一些實(shí)際系統(tǒng).在工程科學(xué)界，以往研究人員對(duì)于非線性問(wèn)題繞

11、道而行的現(xiàn)象正在發(fā)生變化.人們不僅力求深入分析非線性對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)的影響，使系統(tǒng)和產(chǎn)品的動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)、加工、運(yùn)行與控制滿足日益提高的運(yùn)行速度和精度需求，而且開(kāi)始探索利用分岔、混沌等非線性現(xiàn)象造福人類。 </p><p>　　防屈曲支撐是土木工程抗震中目前應(yīng)用較為廣泛的一類耗能構(gòu)件，它利用金屬的屈服來(lái)消耗地震中產(chǎn)生的能量，從而保護(hù)主體結(jié)構(gòu)的安全。常用的防屈曲支撐有全鋼型的防屈曲支撐和鋼管混凝土約束型的防屈曲支撐， 都由內(nèi)

12、芯和外包約束構(gòu)件構(gòu)成。從原理上來(lái)看，內(nèi)芯一般用中等屈服強(qiáng)度鋼，承受軸力；外包約束構(gòu)件約束內(nèi)芯的局部屈曲與整體屈曲，不承受軸力；內(nèi)核鋼支撐與外包約束構(gòu)件之間有適當(dāng)?shù)拈g隙，以保證內(nèi)芯在屈服以后能有橫向的變形空間，從而減小內(nèi)芯在受壓時(shí)的與約束構(gòu)件之間的摩擦力，盡量避免外包約束構(gòu)件承受軸力。工作時(shí)，僅內(nèi)核鋼支撐與鋼框架連接即僅鋼支撐受力，而外包鋼管混凝土約束內(nèi)核鋼支撐的橫向變形，防止內(nèi)核鋼支撐在壓力作用下發(fā)生整體屈曲和局部屈曲。如圖1中所示為典

13、型的防屈曲支撐與其在軸向拉壓力作用下得到的滯回曲線。 </p><p>　　圖1 典型的防屈曲支撐形式與其滯回曲線 </p><p>　　雖然防屈曲支撐已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用，但是對(duì)于防屈曲支撐性能的研究并未取得較大進(jìn)展，特別是防屈曲支撐的受力分析。防屈曲支撐內(nèi)芯與約束構(gòu)件間存在間隙，在支撐受力過(guò)程中內(nèi)芯與約束構(gòu)件之間存在摩擦力，而且在實(shí)際應(yīng)用中支撐內(nèi)芯經(jīng)常達(dá)到較大的變形。這些都屬于強(qiáng)非線性問(wèn)

14、題。因此合理地利用非線性動(dòng)力學(xué)理論就可以解決防屈曲支撐的分析問(wèn)題。 </p><p>　　防屈曲支撐的理論建模 </p><p>　　對(duì)所關(guān)心的非線性動(dòng)力系統(tǒng)建立數(shù)學(xué)模型是后繼分析的基礎(chǔ)。通常，建模前要對(duì)系統(tǒng)的構(gòu)成進(jìn)行分析，盡可能把握系統(tǒng)的主要非線性因素。然后，需要根據(jù)已掌握的信息決定建模的方法。完全借助力學(xué)理論進(jìn)行建模的過(guò)程一般稱作理論建模，而以實(shí)驗(yàn)作為主要手段的建模過(guò)程可稱作實(shí)驗(yàn)建模。

15、實(shí)踐中，通常交替采用這兩種建模技術(shù)進(jìn)行相互檢驗(yàn)，或混合采用兩種技術(shù)進(jìn)行復(fù)雜系統(tǒng)的聯(lián)合建模。 </p><p>　　具有無(wú)限自由度的連續(xù)介質(zhì)系統(tǒng)的建模非常復(fù)雜。系統(tǒng)的非線性來(lái)自兩方面，一是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)（如大變形），二是構(gòu)成系統(tǒng)的材料。對(duì)于計(jì)入上述非線性的桿、軸、梁、板和簡(jiǎn)單的殼體，高等材料力學(xué)和彈性力學(xué)提供了一些建模的手段。至于更復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，則需要采用非線性有限元、多柔體動(dòng)力學(xué)等方法，在計(jì)算機(jī)上完成建模。 </

16、p><p>　　在支撐達(dá)到屈服力之前，內(nèi)芯是處于彈性狀態(tài)。依次列出系統(tǒng)的動(dòng)力平衡方程、變形幾何方程和本構(gòu)方程，然后盡可能消去聯(lián)立方程中的未知函數(shù)。 </p><p>　　圖2 內(nèi)芯的變形示意圖 </p><p>　　可以將內(nèi)芯的一端簡(jiǎn)化為兩端鉸支、均勻材料等截面梁，其左端縱向固定，右端縱向可移動(dòng)且作用有縱向載荷P(t)。下面運(yùn)用彈性力學(xué)位移法建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)偏微分方程。

17、</p><p>　　圖3 軸向力作用下的內(nèi)芯中等撓度振動(dòng)及其微段受力分析 </p><p>　　首先，取梁上距左端處（對(duì)應(yīng)于弧長(zhǎng)坐標(biāo)xs）的微段。根據(jù)圖中的受力分析，得到該微段質(zhì)心的縱向運(yùn)動(dòng)u(x,t)和橫向運(yùn)動(dòng)w(x,t)所滿足的動(dòng)力平衡方程 </p><p>　　&#63732;&#63732;（1） </p><p>

18、　　其中N (x,t)是梁在截面上沿梁變形后中性層切線方向的軸力，Q(x,t)是剪力。若略去梁微段的旋轉(zhuǎn)慣量，則剪力Q(x,t)與彎矩M(x,t)間具有準(zhǔn)靜力關(guān)系. </p><p><b>　?。?） </b></p><p>　　將公式（2）代入公式（1）中，得到 </p><p><b>　?。?） </b><

19、/p><p>　　對(duì)于梁的中等撓度變形，通常將方程(3)中的三角函數(shù)近似為: </p><p><b>　　(4) </b></p><p>　　并在后繼分析中保持這樣的二階Taylor截?cái)唷?</p><p>　　在建立變形幾何方程階段，通常根據(jù)實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果引入一些變形假設(shè)，以便使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。此處引入的基本假設(shè)是：變形前

20、垂直于梁軸線的橫截面在變形后垂直于變形的軸線。根據(jù)這一基本假設(shè)，距中性層z處點(diǎn)的縱向位移ux由三部分組成：一是軸力引起的橫截面縱向平動(dòng)，即微段質(zhì)心的縱向位移；二是由橫截面轉(zhuǎn)動(dòng)引起的;三是橫向彎曲引起的。因此，該點(diǎn)的縱向位移是 </p><p><b>　　(5) </b></p><p>　　由此得到該點(diǎn)的正應(yīng)變 </p><p><b&

21、gt;　　(6) </b></p><p>　　在線彈性范圍內(nèi)，梁在橫截面上的正應(yīng)力為 </p><p><b>　　(7) </b></p><p>　　其中E是材料的彈性模量。 </p><p>　　現(xiàn)以梁的縱向位移u(x,t)和橫向位移w(x,t)為未知量來(lái)建立其運(yùn)動(dòng)偏微分方程。將式(6)代入式(7)，

22、在梁的橫截面上積分得到軸力和彎矩: </p><p><b>　　(8) </b></p><p><b>　　(9) </b></p><p>　　其中是梁的截面慣性矩。根據(jù)幾何關(guān)系，可導(dǎo)出 </p><p><b>　　(10) </b></p><p&

23、gt;<b>　　因此 </b></p><p><b>　　（11） </b></p><p>　　將式(8)和(11)聯(lián)同式(4)代回方程(3)，得到僅含未知位移的動(dòng)力學(xué)方程 </p><p><b>　?。?2） </b></p><p><b>　?。?3）

24、</b></p><p>　　這就是計(jì)入幾何非線性效應(yīng)的梁縱橫向運(yùn)動(dòng)耦合動(dòng)力學(xué)方程，其最低階截?cái)嗾`差為。 </p><p>　　研究梁的橫向非線性振動(dòng)時(shí)通常對(duì)縱向運(yùn)動(dòng)微分方程引入簡(jiǎn)化假設(shè)。如果略去梁橫向運(yùn)動(dòng)對(duì)縱向運(yùn)動(dòng)的影響，方程(12)將簡(jiǎn)化為線性波動(dòng)方程 </p><p><b>　?。?4） </b></p>&l

25、t;p><b>　　相應(yīng)的邊界條件是 </b></p><p><b>　?。?5） </b></p><p>　　在給定的初始條件下解出縱向位移u(x,t)后代入方程(13)，可得到以橫向位移w(x,t)為未知函數(shù)、縱向位移u(x,t)為時(shí)變系數(shù)的非線性偏微分方程。 </p><p>　　對(duì)于定?？v向 載荷P(t)

26、=P0，一般略去梁的縱向慣性效應(yīng)，視軸力為 </p><p><b>　　（16） </b></p><p><b>　　所以 </b></p><p><b>　?。?7） </b></p><p>　　這時(shí)，方程(13)簡(jiǎn)化為 </p><p>&l

27、t;b>　?。?8） </b></p><p><b>　　或簡(jiǎn)記為 </b></p><p><b>　?。?9） </b></p><p>　　其中D(w)是關(guān)于x的非線性偏微分算子。 </p><p>　　方程(19)是一非線性偏微分方程，其解空間具有無(wú)限維。通常，人們采用G

28、alerkin方法將其簡(jiǎn)化為有限個(gè)常微分方程來(lái)進(jìn)行研究。Galerkin方法的基本思路是取一組滿足梁邊界條件的形狀函數(shù)，構(gòu)造 </p><p><b>　　(20) </b></p><p>　　將其代入方程(19)，方程殘差反映了殘余力。為了盡量減小殘余力，可以選擇未知函數(shù)，使殘余力關(guān)于各形狀函數(shù)對(duì)應(yīng)的位移平均作功為零，即, </p><p>

29、;<b>　　(21) </b></p><p>　　這顯然是n個(gè)關(guān)于未知函數(shù)的二階常微分方程。 </p><p>　　對(duì)于梁振動(dòng)問(wèn)題，最常用的形狀函數(shù)就是梁的微振動(dòng)固有振型。以簡(jiǎn)支梁的低頻振動(dòng)為例，通常僅取梁的第一階固有振型。將其代入方程(19)后再代入方程(21)，經(jīng)計(jì)算得到一個(gè)單自由度非線性振動(dòng)系統(tǒng) </p><p><b>　

30、?。?2） </b></p><p>　　一般在最初階段就取，但取彎矩表達(dá)式(11)中的。這樣的不一致截?cái)嗍棺罱K結(jié)果成為 </p><p><b>　?。?3） </b></p><p>　　以上過(guò)程就是防屈曲支撐內(nèi)芯的非線性動(dòng)力學(xué)理論建模方法。 </p><p>　　應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué)理論對(duì)防屈曲支撐進(jìn)行研究

31、還沒(méi)有先例，本文僅僅對(duì)于防屈曲支撐內(nèi)芯的建模做了初步的探索。非線性動(dòng)力學(xué)理論作為一種處理非線性問(wèn)題的方法必將在防屈曲支撐的研究中發(fā)揮巨大的作用。 </p><p><b>　　參考文獻(xiàn) </b></p><p>　　1. 非線性動(dòng)力學(xué)理論與應(yīng)用的新進(jìn)展. 張偉，胡海巖. 科學(xué)出版社，2009.11 </p><p>　　2. 應(yīng)用非線性動(dòng)力學(xué).