4.3.1 空間直角坐標系

1、431空間直角坐標系空間直角坐標系學習目標主要概念：空間直角坐標系從空間某一個定點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸Ox、Oy、Oz，這樣的坐標系叫做空間直角坐標系Oxyz，點O叫做坐標原點，x軸、y軸、z軸叫做坐標軸。坐標平面通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為xOy平面、yOz平面、zOx平面。空間直角坐標系中的坐標對于空間任一點M，作出M點在三條坐標軸Ox軸、Oy軸、Oz軸上的射影，若射影在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標依次為x、y

2、、z，則把有序?qū)崝?shù)對(xyz)叫做M點在此空間直角坐標系中的坐標，記作M(xyz)，其中x叫做點M的橫坐標，y叫做點M的縱坐標，z叫做點M的豎坐標。教材分析一、重點難點本節(jié)教學重點是建立空間直角坐標系，難點是用空間直角坐標系刻畫點的位置和根據(jù)點的位置表示出點的坐標。二、教材解讀本節(jié)教材的理論知識有問題提出、知識探求、思考交流三個板塊組成。第一板塊問題提出解讀借助平面直角坐標系，我們就可以用坐標表示平面上任意一點的位置，那么空間的點如何表

3、示呢？類比于平面直角坐標系的建立。通過具體情境，如要確定教室內(nèi)所掛電燈的位置，一方面發(fā)現(xiàn)用平面直角坐標系不能再確定點的位置，需要第三個坐標，拓寬了思維空間；另一方面感受建立空間直角坐標系的必要性。第二板塊知識探求解讀如何建立空間直角坐標系？1、在平面直角坐標系的基礎(chǔ)上，通過原點再增加一根豎軸，就成了空間直角坐標系。2、如無特別說明，本書建立的坐標系都是右手直角坐標系。3、空間直角坐標系象平面直角坐標系一樣，有“三要素”：原點、坐標軸方向

4、、單位長度。4、在平面上畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使，，且使y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的單位長度的一半，即用斜二測的方法畫。?135????xOzxOy?90??yOz第三板塊思考交流解讀1、為什么空間的點M能用有序?qū)崝?shù)對(xyz)表示？設(shè)點M為空間直角坐標系中的一點，過點M分別作垂直于x軸、y軸、z軸的平面，依次交x軸、y軸、z軸于P、Q、R點，設(shè)點P、Q、R在x軸、y軸、z軸上的坐標分別是x、y

5、和z，那么點M就有唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(xyz)；反過來，給定有序?qū)崝?shù)組(xyz)，可以在x軸、y軸、z軸上依次取坐標為x、y和z的點P、Q和R，分別過P、Q和R點各作一個平面，分別垂直于x軸、y軸、z軸，這三個平面的唯一的交點就是有序?qū)崝?shù)組(xyz)確定的點M。拓展閱讀如果把坐標法理解為通過某一特定系統(tǒng)中的若干數(shù)量來決定空間位置的方法，那么戰(zhàn)國時代魏人石申用距度（或入宿度）和去極度兩個數(shù)據(jù)來表示恒星在天球上位置的星表，可以說是一種球面

6、坐標系統(tǒng)的坐標法。古希臘的地理學家和天文學家也廣泛地使用球面坐標法。西晉人裴秀（223－271）提出“制圖六體”，在地圖繪制中使用了相當完備的平面網(wǎng)絡(luò)坐標法。用坐標法來刻劃動態(tài)的、連結(jié)的點，是它溝通代數(shù)與幾何而成為解析幾何的主要工具的關(guān)鍵。阿波羅尼在中，已借助坐標來描述曲線。十四世紀法國學者奧雷斯姆用“經(jīng)度”和“緯度”(相當于縱坐標和橫坐標)的方程來刻劃動點的軌跡。十七世紀，費馬和笛卡兒分別創(chuàng)立解析幾何，他們使用的都是斜角坐標系：即選定

7、一條直線作為X軸，在其上選定一點為原點，y的值則由那些與X軸成一固定角度的線段的長表示。1637年笛卡兒出版了他的著作，這書有三個附錄，其中之一名為，解析幾何的思想就包含在這個附錄里。笛卡兒在中論述了正確的思想方法的重要性，表點撥先由條件求出正四棱錐的高，再根據(jù)正四棱錐的對稱性，建立適當?shù)目臻g直角坐標系。解答∵正四棱錐PABCD的底面邊長為4，側(cè)棱長為10，∴正四棱錐的高為。232以正四棱錐的底面中心為原點，平行于AB、BC所在的直線分

8、別為x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則正四棱錐各頂點的坐標分別為A(2，20)、B(22，0)、C(22，0)、D(2，20)、P(00，)。232總結(jié)在求解此類問題時，關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，從而便于計算所需確定的點的坐標。變式題演練在長方體中，AB=12，AD=8，1111DCBAABCD?1AA=5，試建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出各頂點的坐標。答案：以A為原點，射線AB、AD、1AA分別為x軸、

9、y軸、z軸的正半軸，建立空間直角坐標系，則A(00，0)、B(120，0)、C(128，0)、D(08，0)、(00，5)、(120，5)、(128，5)、(08，5)。1A1B1C1D例3：在空間直角坐標系中，求出經(jīng)過A(23，1)且平行于坐標平面yOz的平面的方程。?點撥求與坐標平面yOz平行的平面的方程，即尋找此平面內(nèi)任一點所要滿足的條件，可利用與坐標平面yOz平行的平面內(nèi)的點的特點來求解。解答∵坐標平面yOz⊥x軸，而平面與坐標

10、平面yOz平行，?∴平面也與x軸垂直，?∴平面內(nèi)的所有點在x軸上的射影都是同一點，即平面與x軸的交點，??∴平面內(nèi)的所有點的橫坐標都相等。?∵平面過點A(23，1)，∴平面內(nèi)的所有點的橫坐標都是2，??∴平面的方程為x=2。?總結(jié)對于空間直角坐標系中的問題，可先回憶與平面直角坐標系中類似問題的求解方法，再用類比方法求解空間直角坐標系中的問題。本題類似于平面直角坐標系中，求過某一定點且與x軸(或y軸)平行的直線的方程。變式題演練在空間直角

11、坐標系中，求出經(jīng)過B(23，0)且垂直于坐標平面xOy的直線方程。答案：所求直線的方程為x=2y=3.知識結(jié)構(gòu)知識點圖表空間直角坐標系右手直角坐標系點的坐標的確定學法指導1、在建立空間直角坐標系Oxyz時，要注意使，?135????xOzxOy?90??yOz，且使y軸和z軸的單位長度相同，x軸上的單位長度為y軸(或z軸)的單位長度的一半。2、在確定給出空間圖形各頂點的坐標時，關(guān)鍵是能根據(jù)已知圖形，建立適當?shù)目臻g直角坐標系，以便于計算所