數(shù)學(xué)符號化的擴充數(shù)理邏輯的興起(2)

1、數(shù)學(xué)符號化的擴充：數(shù)理邏輯的興起數(shù)學(xué)符號化的擴充：數(shù)理邏輯的興起(2)2、悖論動搖了整個數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)1900年左右，數(shù)學(xué)已經(jīng)發(fā)展成為一個龐大的領(lǐng)域了。當(dāng)時純數(shù)學(xué)大致分為算術(shù)—代數(shù)、幾何和數(shù)學(xué)分析。隨著第二次數(shù)學(xué)危機的解決，數(shù)學(xué)分析建立在極限理論基礎(chǔ)上。而極限理論中，有些基本性質(zhì)要由“單調(diào)有界的數(shù)列必有極限”這個定理來證明。這個定理從直觀上看盡管很明顯，但是追求嚴(yán)密性的數(shù)學(xué)家很早就要求不靠直觀而靠邏輯來證明，要求一切定理都從比較簡單的公理推

2、導(dǎo)出來。要推導(dǎo)極限的性質(zhì)，必須對數(shù)列有明確的概念。這里的數(shù)不只是有理數(shù)，還包括無理數(shù)，這兩種數(shù)構(gòu)成實數(shù)的集合。所以，當(dāng)務(wù)之急就是建立起嚴(yán)格的“實數(shù)”理論。戴德金在1872年發(fā)表了《這續(xù)性與無理數(shù)》這本專著，同年康托爾也發(fā)表實數(shù)理論的文章?？低袪柾ㄟ^一定的有理數(shù)序列（基本序列）來定義實數(shù)。而戴德金則利用有理數(shù)集合的分割來定義實數(shù)。他們的理論雖然邏輯上可靠，但是都不太自然，依賴于有理數(shù)的集合概念。這樣一來，實數(shù)理論的無矛盾性就歸結(jié)為有理數(shù)論

3、，進而歸結(jié)成自然數(shù)論的無矛盾性了。兩者之間找到一種最好的解決辦法。從二十世紀(jì)初，人們就一直在找，雖然并沒有得到最終滿意的解決，不過給數(shù)學(xué)提供一個可靠的基礎(chǔ)還是可以辦得到的。3、羅素的類型論1901年6月羅素發(fā)現(xiàn)了“悖論”。他在1902年6月16日把這個悖論告訴了弗雷格。他在1903年出版的《數(shù)學(xué)的原理》中，有一段可能是在1901年寫的，他寫道：“作為多的類與類的項具有不同的類型”：“整個秘密的關(guān)鍵是邏輯類型的不同”。對這個問題的解決，他

4、只寫了不到三十行。他還考查了其他的解決辦法，覺得它們都不令人滿意，于是得出結(jié)論：“沒有適當(dāng)?shù)恼軐W(xué)涉及到上述的矛盾，這些矛盾直接從常識中得出，也只能通過拋棄掉某些常識的假定而解決”。但是在這本書出版之前，羅素感覺到這個題目還應(yīng)該更加注意，于是他寫了大約六頁的一個附錄，“嘗試性地提出了類型論”，他要求在回答所有問題之前變成為更加精致的形式。自然，當(dāng)時羅素已經(jīng)知道其他的悖論了，例如布拉里福蒂悖論和最大基數(shù)悖論。大約1905年12月，羅素拋棄了