演化方程的有限元分析

1、第二章第二章發(fā)展方程的有限元分析發(fā)展方程的有限元分析W.B.J.ZIMMERMAN，B.N.HEWAKAMBYDepartmentofChemicalProcessEngineeringUniversityofSheffieldNewcastleStreetSheffieldS13JDUnitedKingdomEmail:科學研究和工程應用中的偏微分方程（PDE）多源自復雜的平衡方程。常見的偏微分方程主要來自質量守恒、動量守恒、組分守恒

2、和能量守恒定律。由于這些守恒定律是整個域上的積分方程，所以在連續(xù)性假設下，偏微分方程很容易用有限元方法近似描述。本章介紹了COMSOLMultiphysics中典型的三種不同類型“時間－空間”系統(tǒng)偏微分方程——橢圓方程，拋物線方程和雙曲線方程。本章還對有限元方法進行了總體介紹，結合應用實例講解有限元方法精確計算的特性，更深層次的內容將在后續(xù)章節(jié)中引出。1.簡介簡介在科學研究和工程應用中常會遇到滿足守恒定律約束的偏微分方程，通常以積分形式

3、出現。所有由質量守恒、動量守恒、組分守恒和能量守恒控制的傳遞現象都會產生連續(xù)逼近的偏微分方程。相信化工人員對傳熱、傳質和動量傳遞現象不會感到陌生。與前一章COMSOLMultiphysics化工實例中介紹的零維、一維空間系統(tǒng)相比，化工課程中通常不會出現超過二維或三維的偏微分方程計算。從文獻[1]中找到一個非常珍貴的例子。實際上，很多常見的化工模型和公式都是由實際過程中更高維數的動力學過程簡化而來的。流體動力學中的阻力系數，傳熱傳質系數，

4、多相催化的Thiele模型，精餾塔設計中的McCabeThiele圖等許多描述高維數系統(tǒng)傳遞現象或非穩(wěn)態(tài)動力學過程的技術，都是半經驗性的方法，也許可以用偏微分方程來描述這些過程，但是由于基本物理、化學現象的復雜性，這些方程通常很難求解。所以對于初步的設計計算，這些快速計算的簡化方法很受歡迎，但是對于細節(jié)設計、設計翻新、過程分析和優(yōu)化過程，只有簡化方法是不夠的。在基礎科學研究過程中，這些方法仍然不斷地從化學工程師傳給生物學家、材料學家等，

5、逐漸應用到各個領域的工作中。但是計算流體動力學（CFD）的出現徹底改變了這些方法在傳導模型中的地位。雖然CFD在傳導現象可視化和量化方面具有獨特優(yōu)勢，但是唯象方法對于描述分布系統(tǒng)模型仍然有非常重要的作用。COMSOLMultiphysics不是一個“商業(yè)CFD軟件”，但是也可以做一些CFD計算。它包含一些通用的CFD軟件包，在某些模型支持上具有其獨特的優(yōu)點。對于CFD方法，大多數過程工程師希望有對湍流和燃燒模型的支持。但是COMSOLM

6、ultiphysics不同，擅長多物理場計算。除了CFD的傳統(tǒng)傳遞現象，COMSOLMultiphysics還包含了電動力學、磁動力學、結構力學等實例模式，可以對這些現象進行模擬計算。實際上COMSOLMultiphysics的最大優(yōu)點在于——首先，用戶自定義編程容易，可以輕易建立用戶自定義的模型，通過改變變量系數、邊界條件、初始條件，還可以同時耦合多個物理場（甚至不在同一個域上的物理場）；其次，基于MATLAB（或COMSOL），可以

7、實現對復雜模型模擬的所有編程功能，可以把COMSOLMultiphysics看作是一個方便的高階有限元編程和分析軟件。上一章中，我們介紹了一些用戶自定義編程分析也就是說，不再傳遞、超出給定范圍、來自噪聲或者在給定窗口內因丟失初始條件而消失。2.1泊松方程：橢圓偏微分方程泊松方程：橢圓偏微分方程拉普拉斯方程經過適當變化就成為泊松方程：(2)2()ufx??我們在第一章描述非均勻介質中具有分布熱源的熱傳導問題時見過該方程的1一維形式，但是這

8、里的熱傳導率是均勻的。下面給出(2)式的另一個側面，應該注意到，該方程滿足給定渦量曲線的流函數方程：(3)2()x?????有兩種較為容易的常見渦量類型——蘭金渦（某一區(qū)域內的渦量是常數）和點源渦（渦量快速降低，可以理想為一個點渦）。你可能會對這兩種類型渦產生的流線感興趣。下面我們來研究一下這些流線。打開COMSOLMultiphysics模型導航欄。按照表1的步驟求解具有單位分布源項（常渦量）的泊松方程。該模型具有一個獨立變量u，二維

9、空間坐標x和y。我們繪制一個實心圓作為研究域，COMSOLMultiphysics將邊界分為四部分，默認網格劃分762個。等流函數線如圖1所示。表1單位分布源項的泊松方程ModelNavigat選擇2D空間維數，COMSOLMultiphysics|PDEModes|ClassicalPDEs|Poisson’sEquation設定Element：LagrangeQuadratic，完成Draw菜單Specifyobjects：Circ

10、le默認設置（單位半徑；圓形在原點），完成Physics菜單：BoundarysettingsDirichlet默認模式，h=1，r=0(u=0)完成Physics菜單：Subdomainsettings選擇域1接受默認選項，c＝1；f＝1。完成Meshing點擊三角形符號繪制網格Solver點擊求解按鈕（＝）求解Postprocessing：Plotparameters在General選項卡中取消選中Surface選項Contour選