十一-彎曲變形

1、第十一章 彎曲變形,§11.1 概 述,§11.3 疊加法求彎曲變形,§11.4 簡單超靜定梁,§11.5 提高梁彎曲剛度的措施,§11.2 撓曲線近似微分方程、積分法求彎曲變形,在工程實踐中，對某些受彎構件，除要求具有足夠的強度外，還要求變形不能過大，即要求構件有足夠的剛度，以保證結構或機器正常工作。,§11.1 概 述,一、工程中的彎曲實例,,橋式起

2、重機的橫梁變形過大,則會使小車行走困難，出現爬坡現象。,但在另外一些情況下，有時卻要求構件具有較大的彈性變形，以滿足特定的工作需要。,例如，車輛上的疊板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。,二、計算彎曲變形的目的,1、對梁進行剛度計算；,2、求解彎曲超靜定梁；,3、為研究壓桿穩(wěn)定問題打好基礎。,三、彎曲變形的基本概念,,1、撓曲線,直梁在發(fā)生對稱彎曲后，其軸線在載荷作用平面(即縱向對稱面)內由直線變成平面曲線，稱

3、之為 撓曲線。,數學方程：,連續(xù)且光滑。,特點：,y = f (x)，它是坐標 x 的連續(xù)函數。,2.撓度w和轉角θ,規(guī)定：向上的撓度為正； 逆時針的轉角為正。,撓曲線方程：,轉角方程：,---度量彎曲變形的兩個基本量。,四、畫撓曲線的大致形狀,1、考慮支座的約束特點,固定端：w = 0,θ = 0,鉸支座：w A= 0,wB = 0,2、考慮彎矩對撓曲線凹凸性的影響,彎矩為正的梁段：凹曲線,彎矩為負的梁段：凸曲線,彎矩為

4、O的梁段：直線,彎矩為 O的點： 拐點,,G,G點是拐點,,,例：,設梁的長度為 L,設梁的長度為 2a,§11.2 撓曲線近似微分方程、 積分法求彎曲變形,一、撓曲線近似微分方程,力學公式,數學公式,平面曲線(撓曲線) 上任意點的曲率公式。,純彎曲梁的中性層曲率公式 (見上一章公式推導),,對于小撓度情形有,即：撓曲線曲率,,——撓曲線的近似微分方程,其近似性表

5、現為：,①只考慮彎矩而忽略剪力對彎曲變形的影響；,②認為 (即小變形條件)。,二、積分法求彎曲變形,說明：,（1）若M (x)方程 或 EI 有變化，則應分段積分;,（2）C、D為積分常數，由邊界條件或連續(xù)性條件確定。,------ 轉角方程,再積分一次得：,------ 撓曲線方程,固定端：w = 0,θ = 0,確定積分常數：,（1）邊界條件,（2）連續(xù)性條件,鉸支座：w A= 0,wB = 0,梁

6、的撓曲線是連續(xù)、光滑的，所以在任意截面處 及 都必須是連續(xù)的。例如，當彎矩方程需要分段建立時，撓曲線微分方程也需要分段建立，兩段梁在分段處的撓度、轉角也相等。,再通過剛度條件：,這里 、 是規(guī)定的許可撓度和轉角。,進行剛度計算。,得到梁的撓曲線方程、轉角方程后，便可求得最大撓度 、最大轉角 。,例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁在均布載荷q作用下的轉

7、角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。,由邊界條件：,得：,梁的轉角方程和撓曲線方程為：,最大轉角和最大撓度分別為：,解：,,例: 已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示懸臂梁在集中力P作用下的轉角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。,解：,由邊界條件:,梁的轉角方程和撓曲線方程為：,最大轉角和最大撓度分別為：,,例: 試求圖示簡支梁的彎曲變形（抗彎剛度:EIz）,解：,,1.求支反力、寫出彎矩方程；,,AC段：,CB段：,2

8、.列出撓曲線微分方程，并積分；,,AC段：,,CB段：,3.列出邊界條件；,,4.連續(xù)性條件；,,由連續(xù)性條件，可求得,由邊界條件，可求得,,5.求最大轉角和最大撓度,對簡支梁受集中力，最大轉角一般在兩端截面上:,,比較兩者，當 a > b 時:,撓度最大值發(fā)生在,截面上，,當 a >b 時，發(fā)生在AC 段：,,,將積分常數代入，得到轉角方程和撓曲線方程(略)。,,討論：,（1）,（2）,當須分段表示彎矩方程時，需用連續(xù)性條

9、件、邊界條件一起確定積分常數。,（3）,當 b = l /2 時,,（4）,積分法適用于求任意截面的撓度和轉角.,,例：已知梁的抗彎剛度為EI。試求圖示簡支梁的轉角方程、撓曲線方程，并確定θmax和wmax。,解：由對稱性，只考慮半跨梁ACD,,由連續(xù)性條件：,由邊界條件：,由對稱條件：,,梁的轉角方程和撓曲線方程分別為：,最大轉角和最大撓度分別為：,例：用積分法求圖示各梁的撓曲線方程，應分為幾段？將出現幾個積分常數？并寫出各梁的邊

10、界條件和連續(xù)條件。,邊界條件,連續(xù)條件,邊界條件,連續(xù)條件,邊界條件,連續(xù)條件,邊界條件,1.撓度和轉角,規(guī)定：向上的撓度為正 逆時針的轉角為正,撓曲線方程：,轉角方程：,撓度、轉角是度量彎曲變形的兩個基本量。,內容回顧：,——撓曲線的近似微分方程,2.撓曲線近似微分方程,3.積分法求彎曲變形,對于等截面直梁，有：,——截面的轉角方程,——梁的撓曲線方程,說明：,（1）若M (x)方程 或 EI 有變化，則應分段積分；,（2

11、）C、D為積分常數，由邊界條件或連續(xù)性條件確定。,——撓曲線的近似微分方程,一、疊加法適用范圍,★ 材料服從胡克定律★ 小變形,二、第一類疊加法——載荷疊加法,當梁作用有若干載荷時，可分別求出每一種載荷單獨作用下的變形，然后將各個載荷單獨引起的變形疊加，得這些載荷共同作用時的變形。,§11.3 疊加法求彎曲變形,用疊加法求,例：,解：,若圖示梁B端的轉角θB=0，則力偶矩ｍ 等于多少？,例：,解:,例：求圖示梁 B、D

12、兩點的撓度 wB、 wD。,解：,例：用疊加法確定圖示梁 C 截面的撓度 wC和轉角θC。,解：,所以：,三、第二類疊加法——局部剛化法,當梁上載荷復雜時，為了求解某些特殊截面的撓度、轉角，可以分段考慮梁的彎曲變形。在研究某一段梁的變形時，將其余部分暫時看成剛體(稱為“剛化”)。計算出每段梁的變形在這些特殊截面引起的撓度和轉角，然后將它們疊加，這種計算變形的方法稱為局部剛化法。,例：,求外伸梁ABC的外伸端A的撓度。,解：用局部剛化法計

13、算。,（2）將BC段剛化,（1）將AB段剛化,（3）最后結果,例：,求外伸梁ABC的外伸端A的撓度、轉角。,解：,（1）將BC段剛化。,（2）將AB段剛化。,（3）最后結果,例：,求懸臂梁ACB的自由端B的撓度和轉角。,解：,（1）將AC段剛化。,（2）將BC段剛化。,注：局部剛化法主要用于求解外伸梁、受力比較特殊的懸臂 梁的彎曲變形。,兩根材料相同、抗彎剛度相同的懸臂梁Ⅰ、Ⅱ如圖示，Ⅱ梁的最大撓度是Ⅰ梁的多少倍？,例：

14、,16倍,例：簡支梁在整個梁上受均布載荷 q 作用，若其跨度增加一倍，則其最大撓度增加多少倍？,16倍,例：圖示工字鋼梁， l =8m， Iz=2370cm4，[w ]= l／500，E=200GPa. 試根據梁的剛度條件，確定梁的許可載荷 [P] 。,解：由剛度條件,例：矩形截面 的純彎曲梁如圖所示,已知梁中性層上無應力,若將梁沿中性層 鋸開,將鋸開后的兩梁疊合在一起并承受相同的彎矩 ,問鋸開前后,

15、即一根 的梁和兩根 疊合在一起的梁,兩者的最大彎曲應力和抗彎剛度的比值分別為多少?,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解:,鋸開前:,最大應力,抗彎剛度,鋸開后,兩根 的梁獨立作用,每梁承受 ,故疊合梁的,最大應力,抗彎剛度,兩種情況下,最大應力和抗彎剛度的比值為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,解除多余

16、約束，代之以相應的約束反力，則靜不定梁轉化為形式上的靜定梁：,一、超靜定梁的概念,即不能由靜力平衡方程求出全部未知量的梁.,—— 靜不定梁 或 超靜定梁,二、相當系統的建立,—該靜定梁稱為原靜不定梁的相當系統,求出解除約束處的變形，并與實際 變形比較，得到補充方程后求解。,三、根據變形協調條件補充方程,§11.4 簡單超靜定梁,求圖示靜不定梁的支反力。,例：,解：,將支座B看成多余約束。,變形協調條件為：,將支座 A

17、 對截面轉動的約束看成多余約束。,變形協調條件為：,另解：,§11.5 提高梁彎曲剛度的措施,影響梁彎曲變形的因素不僅與梁的支承和載荷情況有關，而且還與梁的材料、截面尺寸、形狀和梁的跨度有關。所以，要想提高彎曲剛度，就應從上述各種因素入手。,一、增大梁的抗彎剛度EI,影響梁強度的截面幾何性質——,影響梁剛度的截面幾何性質——,1.合理選擇截面形狀,2.合理選擇材料,影響梁強度的材料性能 ——,影響梁剛度的材料性能 ——,二、