球面三角

1、第八章球面三角球面上圓心在球心的三個(gè)大圓弧所圍成的閉合圖形，叫做球面三角形球面三角形。球面三角球面三角就是研究球面三角形的解法，即依據(jù)球面三角形的已知元素（邊、角）來(lái)解算其他未知元素。在天文—大地測(cè)量中球面三角形有著廣泛的應(yīng)用。因?yàn)殡m然地球是個(gè)扁球體，但扁率很小，所以在一定的條件下，可以把地球面近似地看作球面，用球面三角來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題。歷史上，球面三角是由古代天文學(xué)的發(fā)展而發(fā)展起來(lái)的，此后平面三角始作為球面三角的特殊情形而出現(xiàn)。當(dāng)球

2、面三角形的球半徑變?yōu)闊o(wú)窮大時(shí)，這球面三角形就變成了平面三角形了。我們知道，平面三角形的邊是以長(zhǎng)度為單位的，對(duì)于球面三角形，當(dāng)球半徑一定時(shí)，它的邊長(zhǎng)就由其所對(duì)的球心平面角所確定。因此，為了研究方便起見(jiàn)，我們把球面三角形的邊也以角度為單位。這就是球面三角與平面三角不同的地方。第一節(jié)球面幾何下面我們將著重介紹有關(guān)球面三角形的一些概念。一、球面上的大圓、小圓和極一、球面上的大圓、小圓和極我們知道，任何一個(gè)平面與球面相截，所得的截線是一個(gè)圓。如果

3、平面是通過(guò)球心的，那么所得的圓叫做大圓大圓。不通過(guò)球心的平面所截得的圓，叫做小圓小圓。通過(guò)平面上不在同一條球直徑兩端的兩點(diǎn)和，能作且只能作一個(gè)大圓（圖1—1）。AB這時(shí)，、兩點(diǎn)將整個(gè)大圓分成兩端圓弧，我們把小于半圓周（180）的那段圓弧AB（劣?。┑幕￠L(zhǎng)叫做球面上、兩點(diǎn)間的距離，記作。ABAB圖1—1圖1—2垂直于球面上一已知（大圓或小圓）所在平面的球直徑的端點(diǎn)，叫做這個(gè)圓的極。如圖1—2，和既是大圓的極，也是小圓的極。可見(jiàn)，一個(gè)圓有兩

4、個(gè)極，而這PPABCD兩個(gè)極的連線就是球的直徑。極到圓周上各點(diǎn)的距離都相等，這距離叫做極距離極距離。大圓的極距離為一象限（=90）。反之，如果球面上一點(diǎn)至其他兩點(diǎn)（不是直徑的端點(diǎn)）的距離都是一象限，那么前一點(diǎn)必為通過(guò)后兩點(diǎn)的大圓的極。二、球面角二、球面角球面上兩個(gè)大圓弧相交所成的角叫做球面角球面角，其交點(diǎn)叫做球面角的頂點(diǎn)頂點(diǎn)，兩個(gè)大圓弧叫做球面角的邊。如圖1—3，球面角的頂點(diǎn)為，邊為和而球面角APBPPAPB同理=180=180.bB?

5、cC?因此我們說(shuō)，極三角形的邊與原三角形的對(duì)應(yīng)角互補(bǔ)。同時(shí)也有，極三角形的角與原三角形的對(duì)應(yīng)邊互補(bǔ)。圖1—5圖1—6五、球面坐標(biāo)五、球面坐標(biāo)在球面上，任意選擇兩個(gè)互相垂直的大圓作為基圓，如圖1—6所示，把大圓作為第一基圓，大圓作為第二基圓，和是大圓的極。QmQPQPQPPQmQ設(shè)是球面上任意一點(diǎn)，過(guò)作平行于第一基圓的小圓又過(guò)點(diǎn)及極點(diǎn)、MMDMFMP作半大圓，它與第一基圓相交于點(diǎn)。PPMPQmQm連接、、。設(shè)∠=φ，∠=λ，則球面上任一點(diǎn)

6、的位置可OQOmOMMOmQOmM由φ、λ兩數(shù)來(lái)確定。一般記為（φ，λ）。M把地球當(dāng)做一個(gè)球，它以北極、南極為極，以地球赤道作為第一基圓，通過(guò)英國(guó)NS格林威治的地球子午線向東計(jì)算的叫做東經(jīng)，向西計(jì)算的叫做西經(jīng)西經(jīng)。經(jīng)度λ在0到180內(nèi)變化。平行于赤道平面的小圓上所有點(diǎn)，它們的緯度相同。在地圖上把這種小圓叫做緯線。通過(guò)南北兩極的半大圓上的所有點(diǎn)，它們的經(jīng)度相同，在地圖上把這種半大圓叫做經(jīng)線經(jīng)線。第二節(jié)球面三角下面我們將研究一般球面三角形的