013動量矩定理

1、,第十三章 動量矩定理,理論力學,,,,若當質心為固定軸上一點時，vC=0，則其動量恒等于零，質心無運動，可是質點系確受外力的作用。動量矩定理建立了質點和質點系相對于某固定點（固定軸）的動量矩的改變與外力對同一點（軸）之矩兩者之間的關系。,§13-1　動量矩,一．質點的動量矩,質心運動定理：質心的運動—?外力（外力系主矢）,動 力 學,,,,正負號規(guī)定與力對軸矩的規(guī)定相同對著軸看：逆時針為正

2、 順時針為負,⒊ 質點對點O的動量矩與對軸z 的動量矩之間的關系,⒋ 動量矩度量物體在任一瞬時繞固定點(軸)轉動的強弱。,kg·ｍ2/s。,⒌ 單位,動 力 學,,,,⒉ 質點系對軸z 動量矩,二．質點系的動量矩,⒈ 質系對點O動量矩,剛體動量矩計算,動 力 學,,,,平面運動剛體對垂直于質量對稱平面的固定軸的動量矩，等于剛體隨同質心作平動時質心的動量對該軸的動量矩與繞質心軸作轉動時的動量矩之和。,⑶

3、平面運動剛體,[例1] 滑輪A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑輪B：m2，R2，I2 ；物體C：m3 求系統(tǒng)對O軸的動量矩。,動 力 學,解：,,,,§13-2　動量矩定理,一．質點的動量矩定理,兩邊叉乘矢徑 , 有,左邊可寫成,故：,⒈ 質點對固定點的動量矩定理,動 力 學,,,,將上式在通過固定點O的三個直角坐標軸上投影，得,上式稱質點對固定軸的動量矩定理

4、，也稱為質點動量矩定理的投影形式。即質點對任一固定軸的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用在質點上的力對同一軸之矩。,⒊ 質點的動量矩守恒情況,質點對任一固定點的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用在質點上的力對同一點之矩。這就是質點對固定點的動量矩定理,⒉ 質點對固定軸的動量矩定理,動 力 學,運動分析：,,,,由動量矩定理,微幅擺動時，　　　　　并令　　　　，則,，擺動周期,解：研究小球，將小球視為質點。受力如圖示。,[例2] 單擺　已知m，

5、l，t =0時?= ?0，從靜止 開始釋放。 求單擺的運動規(guī)律。,代入初始條件,則運動方程,微分方程的解為：,動 力 學,,,,注：計算動量矩與力矩時，符號規(guī)定應一致（本題規(guī)定逆時針轉向為正） ⒉ 質點動量矩定理的應用 (可求解質點動力學兩類基本問題）?、?已知作用于質點的力或力矩求質點的運動；?、?已知質點的運動求作用于質點的力或力矩； ⑶ 已知質點在某一狀態(tài)下的運動要素，求在另一狀態(tài)下的運動要素（速度、位

6、置坐標）。,動 力 學,,,,質點系對任一固定點的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用在質點系上所有外力對同一點之矩的矢量和（外力系的主矩）,二．質點系的動量矩定理,左邊交換求和與導數(shù)運算的順序，而,一質點系對固定點的動量矩定理,對質點系，有,對質點MJ ：,⒈ 質點系對固定點的動量矩定理,⒉ 質點系對固定軸的動量矩定理,將上式在通過固定點O的三個直角坐標軸上投影，得,動 力 學,,,,上式稱為質點系對固定軸的動量矩定理。即質點系對任一固定

7、軸的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用在質點系上所有外力對同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對同一軸的主矩）。,⒊ 質點系的動量矩守恒定理　?、女敗　　　r，　　常矢量?！　、飘敗　　　r，　　常量。,定理說明內力不會改變質點系的動量矩，只有外力才能改變質點系的動量矩。,動 力 學,,,,解: 取整個系統(tǒng)為研究對象， 受力分析如圖示?！?運動分析： v =ｒ?,由動量矩定理：,[例3] 已知:,動 力 學,,,,解：　

8、　　　　 系統(tǒng)的動量矩守恒。,猴A與猴B向上的絕對速度是一樣的,均為 。,[例4] 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對繩速度上爬，猴A不動，問當猴B向上爬時，猴A將如何動？動的速度多大？（輪重不計）,動 力 學,⒉ 可解決動力學兩類問題,,,,,§13-3　剛體定軸轉動微分方程,對于一個定軸轉動剛體代入質點系動量矩定理，有,——剛體定軸轉動微分方程,一、剛體定軸轉動微分方程,⒈ 方程的導

9、出,動 力 學,,,,動 力 學,運動分析：復擺繞軸O作定軸轉動；,由剛體定軸轉動微分方程:,得：,微幅擺動時，　　　　　即有：,即有：,微分方程的解為：,l —復擺的簡化長度，K —復擺的擺心，O —復擺的懸點。懸點和擺心可以互換，而不改變復擺的周期。,,,,動 力 學,上式即為復擺作微幅擺動時的運動規(guī)律。A為角振幅，a為初位相，可由運動初始條件確定。復擺的運動規(guī)律是簡諧運動。,這就表明，如已知某物體的重量和重心的位置，再測出其

10、作微幅擺動時的擺動周期，則可計算出該物體對轉軸的轉動慣量。,,,,§13-4 剛體對軸的轉動慣量,一．定義,剛體的轉動慣量是剛體對某軸轉動慣性大小的度量，它的大小表現(xiàn)了剛體轉動狀態(tài)改變的難易程度?！?轉動慣量恒為正值，國際單位制中單位　kg·m2 。,若剛體的質量是連續(xù)分布，則,動 力 學,二．轉動慣量的計算,１．積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）,,,,[例1] 勻質細直桿長為l ,質量為m

11、。 求：?對z軸的轉動慣量　 ；　 　?對z' 軸的轉動慣量 。,解：,動 力 學,2. 回轉半徑由　　　　所定義的長度　 稱為剛體對 z 軸的回轉半徑。,在機械工程設計手冊中，可以查閱到簡單幾何形狀或已標準化的零件的轉動慣量和回轉半徑。書中列出幾種常見均質剛體的　　　，以供參考。,剛體對某軸的轉動慣量等于剛體對通過質心且與該軸平行的軸的轉動慣量，加上剛體的質量與兩軸間距離的平方之乘積。,同一個剛體

12、對不同軸的轉動慣量一般是不相同的。,⑴ 定理,,,,動 力 學,3. 平行移軸定理,對于均質剛體，　僅與幾何形狀有關，與密度無關。對于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質剛體，其回轉半徑是相同的。,,,,動 力 學,⑵ 證明 設質量為m的剛體，質心為C，,剛體對通過質心軸的轉動慣量具有最小值。,,,,動 力 學,當物體由幾個規(guī)則幾何形狀的物體組成時，可先計算每一部分(物體)的轉動慣量, 然后再加起來就是整個物

13、體的轉動慣量。 若物體有空心部分, 要把此部分的轉動慣量視為負值來處理。,4．計算轉動慣量的組合法,例如，對于例1中均質細桿對 z' 軸的轉動慣量為,,,,解：,[例2] 鐘擺： 均質直桿m1, l ； 均質圓盤：m2 , R 。 求 JO 。,動 力 學,[例3] 提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1 、 P2 ,半徑分別為 r1 、 r2 , 可視為均質圓盤; 物體C 的重量為P3 ; 輪

14、A上作用常力矩M1 。求 物體C上升的加速度。,[例3] 提升裝置中，輪A、B的重量分別為P1 、 P2 ,半徑分別為 r1 、 r2 , 可視為均質圓盤; 物體C 的重量為P3 ; 輪A上作用常力矩M1 。求 物體C上升的加速度。,,,,②取輪B連同物體C為研究對象；受力如圖；輪B速度為w2 ，角加速度為e2 ；物體C速度為v ，加速度為a ；由質點系的動量矩定理則有：,解: ①取輪A為研究對象；受力如圖；輪A角

15、加速度為 e1 ，由剛體定軸轉動微分方程則有：,動 力 學,,,,動 力 學,③運動學補充方程：,化簡(1) 得：,化簡(2) 得：,,,,§13-5　質點系相對于質心的動量矩定理　　　　 剛體平面運動微分方程,一．質點系動量矩,二．質點系相對質心的動量矩定理,動 力 學,⒈ 定理,—質點系相對質心的動量矩定理,質點系對任一點O 的動量矩等于系統(tǒng)的動量 對于O 點的動量矩與該系統(tǒng)對質心動量

16、矩 的矢量和。,質點系相對質心的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質點,系的所有外力對質心之矩的矢量和。,,,,動 力 學,⑵ 質點系相對于質心和相對于固定點的動量矩定理，具有完全相似的數(shù)學形式，而對于質心以外的其它動點，一般并不存在這種簡單的關系。,⑴ 質點系相對于質心的動量矩的改變，只與作用在質點系上的外力有關，而與內力無關。,⒉ 討論,三．剛體平面運動微分方程　 ⒈方程的導出 設有一平面運動剛體具

17、有質量對稱平面，力系 是簡化到該平面內的一個力系。取質量對稱平面為平面圖形S，質心一定位于S內。,,,,取質心C為動系原點，則此平面運動可分解為,? 隨質心C的平動 (xC , yC) ? 繞質心C的轉動　 （?） 可通過質心運動定理和相對質心的動量矩定理可確定出：,動 力 學,,,,應用時采用投影形式,或,上式稱為 剛體平面運動微分方程。,動

18、力 學,⒉ 剛體平面運動微分方程,,,,[例4] 質量為m半徑為R的均質圓輪置放于傾角為? 的斜面上，在重力作用下由靜止開始運動。設輪與斜面間的靜、動滑動摩擦系數(shù)為f、f´，不計滾動摩阻，試分析輪的運動。,解：①取輪為研究對象。 ②受力分析如圖示。 ③運動分析：取直角坐標系 Oxy aC y =0，aC x =aC， 一般

19、情況下輪作平面運動。 ④ 根據(jù)平面運動微分方程求解：,由⑵ 式得,⑴⑵⑶,⑴ — ⑶三式中含有四個未知數(shù)aC 、F、? ，N ，需根據(jù)不同的運動情況列寫一個補充方程。,動 力 學,,,,3．設輪與斜面間有滑動，輪又滾又滑。F=f´N ⑷ 可解得,表明：當　　　　　時，解答3適用； 當　　　　　時，解答2適用；f =0 時解答1適用。,動 力 學,所以可解得,,,,一．基本

20、概念1．動量矩：物體某瞬時機械運動強弱的一種度量。2．質點的動量矩：3．質點系的動量矩：4．轉動慣量：物體轉動時慣性的度量。,對于均勻直桿，細圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對過質心垂直于質量對稱平面的轉軸的轉動慣量要熟記。,動量、動量矩定理習題課,動 力 學,5．剛體動量矩計算平動：定軸轉動：平面運動：,,,,二．質點的動量矩定理及守恒　1．質點的動量矩定理,2．質點的動量矩守恒,? 若　　　　　，則　　　　 常矢量。? 若

21、　　　　　，則　　　　 常量。,動 力 學,三．質點系的動量矩定理及守恒 1．質點系的動量矩定理,2．質點系的動量矩守恒,? 若　　　　　，則　　常矢量? 若　　　　　，則　　常量,,,,四．質點系相對質心的動量矩定理,動 力 學,五．剛體定軸轉動微分方程和剛體平面運動微分方程　1．剛體定軸轉動微分方程,2．剛體平面運動微分方程,或,,,,,,動 力 學,六．動量矩定理的應用　應用動量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對

22、單軸傳動系統(tǒng)尤為方便）,1．已知質點系的轉動運動，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。 2．已知質點系所受的外力矩是常力矩或時間的函數(shù)，求剛體的角加速度或角速度的改變。 3．已知質點系所受到的外力或外力矩對某軸之矩的代數(shù)和等于零，應用動量矩守恒定理求角速度或角位移。,,,,七．應用舉例[例1] 均質圓柱，半徑為r，重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速度?0，墻面、地面與圓柱接觸處的動滑動摩擦系數(shù)均為 f '，滾阻

23、不計，求使圓柱停止轉動所需要的時間。,根據(jù)剛體平面運動微分方程求解：,解：① 選取圓柱為研究對象 (注意只是一個剛體)； ② 受力分析如圖示； ③ 運動分析：質心C不動， 剛體繞質心轉動；,動 力 學,,,,將⑸、⑷兩式代入⑴、⑵兩式，有,將上述結果代入⑶式，有,解得：,動 力 學,⑴,⑵,⑶,,,,[例2] 兩質量各為8 kg的均質桿固連成T 字型，可繞通過O點的水

24、平軸轉動，當OA 處于水平位置時, T 形桿具有角速度? =4rad/s 。求該瞬時軸承O 的反力。,,動 力 學,解：① 選T 字型桿為研究對象；受力分析如圖示；③ 運動分析：剛體繞O 軸轉動；④ 根據(jù)定軸轉動微分方程求解：,⑴,,,,再根據(jù)質心運動定理有：,動 力 學,⑵,⑶,⑷,⑸,運動學補充方程：,,,,[例3] 均質圓柱體A和B的重量均為P，半徑均為r，一繩纏在繞固定軸O轉動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩

25、重不計且不可伸長，不計軸O處摩擦。求：① 圓柱B下落時質心的加速度?！　、谌粼趫A柱體A上作用一逆時針轉向的轉矩M，試問在什么條件下圓柱B的質心將上升。,動 力 學,,,,選圓柱B為研究對象,⑵⑶,運動學補充方程 ：,⑷,⑴,解：選圓柱A為研究對象,由⑴、⑵式得：,代入⑶、⑷式得：,動 力 學,,,,由動量矩定理：,⑴,運動學補充方程：,代入⑴式，得,當M >2Pr 時， ，圓柱B的質心將上升。,再取