高等數(shù)學(xué)緒論

1、◆ 數(shù)學(xué)是什么,◆ 高等數(shù)學(xué)是什么,◆ 數(shù)學(xué)的歷史,◆ 如何學(xué)習(xí)《高等數(shù)學(xué)》,緒 論,★ 恩格斯：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量 關(guān)系與空間形式的一門科學(xué)。”,從數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)看，數(shù)學(xué)是模型；從數(shù)學(xué)的過程看，數(shù)學(xué)是推理與計(jì)算；從數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式看，數(shù)學(xué)是符號(hào)；從數(shù)學(xué)對(duì)人的指導(dǎo)看，數(shù)學(xué)是方法論；從數(shù)學(xué)的價(jià)值看，數(shù)學(xué)是工具。,一、數(shù)學(xué)是什么？,1）哲學(xué)說2）符號(hào)說3）科學(xué)說4）工具說5）邏輯

2、說6）創(chuàng)新說7）直覺說8）集合說,★ 15種“數(shù)學(xué)的定義”,9）結(jié)構(gòu)說（關(guān)系說）10）模型說11）活動(dòng)說12）精神說13）審美說14）藝術(shù)說15）萬物皆數(shù)說,——《數(shù)學(xué)文化導(dǎo)論》,1、數(shù)學(xué)是一種哲學(xué),亞里士多德：“新的思想家把數(shù)學(xué)和哲學(xué)看作是相同的?！?牛頓在《自然哲學(xué)之?dāng)?shù)學(xué)原理》的序言中說，他把這本書“作為哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理的著作”，“在哲學(xué)范圍內(nèi)盡量把數(shù)學(xué)問題呈現(xiàn)出來”。,歐幾里得：“點(diǎn)是沒有部分的那種東西；線

3、是沒有寬度的長(zhǎng)度?！?——《幾何原本》,★,★,★,————————————————————————————,★伽利略（Galeleo）說：“展現(xiàn)在我們眼前的宇宙像一本用數(shù)學(xué)語言寫成的大書，如不掌握數(shù)學(xué)符號(hào)語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認(rèn)識(shí)不清?！?★ 1965年獲得了Nobel獎(jiǎng)的物理學(xué)家費(fèi)格曼（Richard Fegnman）曾說：“若是沒有數(shù)學(xué)語言，宇宙似乎是不可描述的?！薄?Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者溫伯格（

4、Steven Weinberg）說過：“這是不可思議的，當(dāng)一個(gè)物理學(xué)家得到一個(gè)思想時(shí)，然后卻發(fā)現(xiàn)在他之前數(shù)學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了?！?2、數(shù)學(xué)是一種語言， 一切科學(xué)的共同語言,————————————————————————————,F.培根說：“知識(shí)就是力量” “數(shù)學(xué)是打開科學(xué)大門的鑰匙”?！餂]有Maxwell方程就不可能有電磁波理論，就不會(huì)有 現(xiàn)代的通訊技術(shù)；★沒有Riemann幾何，不可能產(chǎn)生廣義相對(duì)

5、論；★沒有Navier-Stokes方程，就不會(huì)有流體力學(xué)的理論 基礎(chǔ)，也不可能產(chǎn)生航空學(xué)；★沒有數(shù)理邏輯和量子力學(xué)，就沒有現(xiàn)代的計(jì)算機(jī)；,3、數(shù)學(xué)是一把鑰匙， 一把打開科學(xué)大門的鑰匙,———————————————————————————————,★ 諾依曼（Von Neumann）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)處于人類智能的中心領(lǐng)域……數(shù)學(xué)方法滲透、支配著一切自然科學(xué)的理論分支，它已愈來愈成為衡量成就的主要標(biāo)志?！?/p>

6、,馬克思說：“一門科學(xué)只有當(dāng)它達(dá)到能夠成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算真正發(fā)展了?！?★ 人體器官的三維圖像(一維數(shù)學(xué)模型) ★ 數(shù)據(jù)壓縮技術(shù)(小波分析)★ 數(shù)學(xué)在工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、管理學(xué)、心理學(xué)、政治科學(xué)諸領(lǐng)域也有重要的作用，產(chǎn)生了很多交叉學(xué)科，如 數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理語言學(xué)、數(shù)學(xué)心理學(xué)、數(shù)學(xué)政治科學(xué)、對(duì)策論等。,4、數(shù)學(xué)是一種工具，一種思維的工具,———————————————————————————————,★簡(jiǎn)潔美★和諧美

7、★對(duì)稱美★奇異美,5、數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，一門創(chuàng)造性藝術(shù),———————————————————————————————,兩個(gè)黑洞的斗爭(zhēng),分形現(xiàn)象,蝴蝶吸引子,數(shù)學(xué)努力的目標(biāo)是：,將雜亂整理為有序，,使經(jīng)驗(yàn)升華為規(guī)律，,使復(fù)雜演變?yōu)楹?jiǎn)單。,數(shù)學(xué)不僅是一種重要的工具和方法，同時(shí)是,,一種思維模式，即“數(shù)學(xué)思維”；不僅是一種知識(shí)，,而且是一種素質(zhì)。,結(jié)語:,二、數(shù)學(xué)的歷史,第一階段：數(shù)學(xué)萌芽時(shí)期（遠(yuǎn)古時(shí)代---公元前5世紀(jì)）,★形成了數(shù)的概念

8、，,產(chǎn)生了數(shù)的運(yùn)算方法。,★幾何學(xué)有了初步發(fā)展。,第二階段：常量數(shù)學(xué)時(shí)期 （公元前6、7世紀(jì)---17世紀(jì)中葉）,★數(shù)學(xué)形成了一門獨(dú)立的、演繹的科學(xué),★這個(gè)時(shí)期的基本成果，已構(gòu)成現(xiàn)在中學(xué)數(shù),學(xué)課本的主要內(nèi)容。,第一個(gè)特征：其所研究的對(duì)象是不變的量（常量）,或孤立不變的規(guī)則幾何圖形；,第二個(gè)特征：表現(xiàn)在其研究方法上。,既不能把幾何問題用代數(shù)術(shù)語陳述出來，也,不能通過計(jì)算用代數(shù)方法來解決幾何問題。,初等代數(shù)與初等幾何是互不相關(guān)的問題，,▲

9、本階段特征：,如：勻速運(yùn)動(dòng)；勻加速運(yùn)動(dòng)；直邊圖形；圓弧邊,圖形等,第三階段：變量數(shù)學(xué)時(shí)期 （17世紀(jì)中葉---19世紀(jì)中葉）,★笛卡爾的《幾何學(xué)》；,恩格斯指出：數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了,變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；,有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了……。,★牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立微積分.,★這個(gè)時(shí)期的基本成果是解析幾何、微積分、,微分方程等，它們是現(xiàn)今高等院校中的基礎(chǔ),課程。,第四階段：現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段

10、 （19世紀(jì)至今）,★ 主要分支：非歐幾何、群論、泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)、,函數(shù)逼近論、常微分方程定性理論、數(shù)理邏輯等.,1、幾何、代數(shù)、數(shù)學(xué)分析變得更為抽象。,2、與其它學(xué)科之間相互交叉和滲透，形成了許多,邊緣學(xué)科和綜合性學(xué)科。,三、高等數(shù)學(xué)是什么？,1、高等數(shù)學(xué)的涵義,,●廣義——第三階段的主要成果。包括《微積分》、 《解析幾何》、《線性代數(shù)》和《概率論》 等，即大學(xué)階段的數(shù)學(xué)。,●狹義——《高等數(shù)學(xué)

11、》課程。,主要內(nèi)容：極限和連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)、級(jí)數(shù)理論、空間解析幾何和簡(jiǎn)單微分方程等。,理論基礎(chǔ)：極限理論。,《高等數(shù)學(xué)》課程的重要性,高等數(shù)學(xué),其它數(shù)學(xué)課程,物理學(xué)、天文學(xué)、工程技術(shù)、管理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、信息科學(xué)……,↓,↓,支持,推動(dòng),“一尺之棰，日截其半，萬世不竭”,例：趣味數(shù)學(xué)題,(1) 割圓術(shù)：,“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”

12、 ——?jiǎng)⒒?(2) 截丈問題：,(3) s等于多少悖論：,設(shè) 則：,(1),(2),(3) s=1-s 解得s=1/2,認(rèn)為答案為1/2.,主要是當(dāng)時(shí)還沒有級(jí)數(shù)收斂的概念.,這個(gè)問題據(jù)說曾令眾多大師為難,萊布尼茨都,“飛矢不動(dòng)”,(4) 芝諾悖論：,“矢”指的是弓箭中的箭。如果我們截取“飛矢”的,靜止的，所以，“飛矢”是“不動(dòng)”的。,每一個(gè)瞬間，它在空中都是“靜止”的。既然

13、每一,個(gè)瞬間都是靜止的，所有的瞬間加起來也應(yīng)該是,“芝諾悖論”的錯(cuò)誤就在于，他將無窮小徹底等同,于零。,離可以無限地縮小，但永遠(yuǎn)追不上烏龜。,芝諾講：阿基里斯在賽跑中不可能追上起步稍微,領(lǐng)先于他的烏龜，因?yàn)楫?dāng)他要到達(dá)烏龜出發(fā)的那,一點(diǎn)，烏龜又向前爬動(dòng)了。阿基里斯和烏龜?shù)木?“阿基里斯追不上烏龜”,阿基里斯（Achilles）是希臘神話中善跑的英雄。,(4) 芝諾悖論：,2、微積分的涵義,●微積分學(xué)是微分學(xué)和積分學(xué)的總稱。,●它是一種數(shù)學(xué)

14、思想：,無限就是極限，極限的思想是微積分的基礎(chǔ)，,如：子彈飛出槍膛的瞬間速度就是微分的概念，,“無限細(xì)分”就是微分，“無限求和”就是積分。,它是用一種運(yùn)動(dòng)的思想看待問題。,子彈每個(gè)瞬間所飛行的路程之和就是積分的概念,求曲線的長(zhǎng)度、區(qū)域的面積、物體的體積等；,微積分是從四個(gè)方面的問題來的：,求曲線的切線；,求運(yùn)動(dòng)物體的速度；,求一些問題的極大、極小值。,例：圖中陰影的面積、 曲線的長(zhǎng)度、 陰影繞坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)的 立體

15、的體積及表面積。,,,,例. 不規(guī)則圖形面積,,,,,,,,解決問題的思想和方法：,求近似,取極限,微分,積分,3、《高等數(shù)學(xué)》課程的作用,Ⅰ. 為其他后續(xù)數(shù)學(xué)課程奠定良好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。,《線性代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》、,《復(fù)變函數(shù)與積分變換》、《數(shù)值分析》等,Ⅱ. 為同學(xué)們學(xué)習(xí)相關(guān)基礎(chǔ)課程及本專業(yè)的專業(yè),課程奠定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。,《大學(xué)物理》、《計(jì)算機(jī)理論基礎(chǔ)》、,《控制理論基礎(chǔ)》等,Ⅲ. 逐步培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)該具有的能力與素質(zhì)：,①抽象概括問

16、題的能力；,例:(七橋問題) 科尼斯堡有條布勒格爾河上有七座橋，“能否在一次散步中每座橋都走一次，而且只走一次最后又回到出發(fā)點(diǎn)？”,②邏輯推理能力；,例：某外企招考員工的一道題：有三個(gè)筐，一個(gè)筐里裝著橘子，一個(gè)筐里裝著蘋果，一個(gè)筐里混裝著橘子和蘋果，裝完后封好。然后做“橘子”、“蘋果”、“混裝”三個(gè)標(biāo)簽，分別貼到上述三個(gè)筐上。由于馬虎，結(jié)果全貼錯(cuò)了。請(qǐng)想一個(gè)辦法，只許從某一個(gè)筐里拿出一個(gè)水果，就能夠糾正所有的標(biāo)簽。 —

17、—《數(shù)學(xué)文化》顧沛著，高等教育出版社。,例：微軟公司招考員工的一道面試題： 一個(gè)屋子里有50個(gè)人，每個(gè)人領(lǐng)著一條狗，而這些狗中有一部分病狗。假定有如下條件：a.狗的病不會(huì)傳染，也不會(huì)不治而愈；b.狗的主人不能直接看出自己的狗是否有病，只能看別人的狗，從而推理發(fā)現(xiàn)自己的狗是否有?。籧.一旦主人發(fā)現(xiàn)自己的狗是一只病狗，就會(huì)在當(dāng)天開槍打死這條狗；d.狗只能由它的主人開槍打死。結(jié)果，第一天沒有槍聲，第二天沒有槍聲，……，第十天發(fā)出了一片槍聲，問

18、有幾條狗被打死？ ——《數(shù)學(xué)文化》，顧沛著，高等教育出版社。,③空間想象能力；,④自學(xué)能力；,⑤比較熟練的運(yùn)算能力；,⑥綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)去分析問題和解決問題 的能力；,例：證明：①在凸凹不平的地面上，將四條腿 桌子旋轉(zhuǎn)調(diào)整幾次，一定可以使其放穩(wěn)。 ②金屬環(huán)加熱過程中，環(huán)上必存在具有相同 溫度的關(guān)于圓心對(duì)稱的兩點(diǎn).,⑦具有處理數(shù)據(jù)和圖形的能力，重點(diǎn)是加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建模的能力；,⑧具有進(jìn)行邏輯推理和

19、選擇計(jì)算方法的能力；,⑨具有判斷計(jì)算和推理結(jié)果正確性的能力；,例：某公司的一個(gè)崗位三年聘期，提供了兩種 薪酬支付方式， A：月薪1000，每月加薪100； B：季薪6000，每季度加薪300， 若你在這個(gè)崗位上，請(qǐng)問你選擇哪種支付方式？,四、如何學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)？,聽懂、練會(huì)、考好、用活,1.培養(yǎng)興趣。,興趣是最好的老師！,沒有興趣的學(xué)習(xí)是痛苦的折磨。,2.多加練習(xí)。,聽數(shù)學(xué)不如讀“數(shù)學(xué)”，讀

20、數(shù)學(xué)不如做“數(shù)學(xué)”,3.掌握規(guī)律,復(fù)習(xí)----學(xué)習(xí)新知識(shí)----練習(xí)----總結(jié),,學(xué)習(xí)中要抓住三個(gè)問題：基本概念，基本原,理，典型范例。,要求：基本概念要準(zhǔn)確； 基本理論要清楚； 基本運(yùn)算技能要熟練。,博雷爾：數(shù)學(xué)是我們確切知道我們?cè)谡f什么，并肯定我們說的是否對(duì)的唯一的一門科學(xué)。,4.要勤于思考，勤于提問,康托:數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，提出問題的藝術(shù)比解決問題的藝術(shù)更為重要。