橢球面上的測量計算

1、第七章 橢球面上的測量計算,,[本章提要],7.1 地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關(guān)系 7.2 橢球面上的常用坐標系及其相互關(guān)系 7.3 橢球面上的幾種曲率半徑 7.4 橢球面上的弧長計算 7.5 大地線 7.6 將地面觀測的方向值歸算到橢球面 7.7 將地面觀測的長度歸算到橢球面7.8 橢球面上三角形的解算7.9 大地主題解算的高斯平均引數(shù)公式,[習(xí)題],本章提要,本章介紹了地球橢球，橢球體的基本幾何參數(shù)，基本坐標系及

2、其相互關(guān)系，橢球面上的曲率半徑及弧長，大地線的定義及微分方程，并且在后面介紹了橢球面同地面之間的關(guān)系以及兩者間坐標的轉(zhuǎn)換問題。,,[要求]在對本章的學(xué)習(xí)中，首先要理解相關(guān)的概念了解相關(guān)的內(nèi)容即可，對推導(dǎo)的過程的掌握不做要求。,7.1地球橢球的基本幾何參數(shù)及相互關(guān)系,7.1.1地球橢球的基本幾何參數(shù)地球橢球 用來代表地球的橢球參考橢球 具有一定的幾何參數(shù)、定位及定向的用以代表某一地區(qū)大地水準面的地球橢球叫做參考橢球。地面上一切觀測

3、元素都應(yīng)歸算到參考橢球面上，并在該面上進行計算，它是大地測量計算的基準面，同時又是研究地球形狀和地圖投影的參考面。有關(guān)元素O為橢球中心；NS為旋轉(zhuǎn)軸；a為長半軸；b為短半軸；子午圈（或徑圈或子午橢圓）；平行圈（或緯圈）；赤道。旋轉(zhuǎn)橢球的形狀和大小是由子午橢圓的五個基本幾何參數(shù)（元素）來決定的，即：橢圓的長半軸： a 橢圓的短半軸： b,橢圓的扁率：

4、 橢圓的第一偏心率： 橢圓的第二偏心率： 其中：a、b稱為長度元素；扁率反映了橢球體的扁平程度，如α=0時，橢球變?yōu)榍蝮w；α=1時，則為平面。e和e/是子午橢圓的焦點離開中心的距離與橢圓半徑之比，它們也反映了橢球體的扁平程度，偏心率越大，橢球愈扁。,,,,五個參數(shù)中，若知道其中的兩個參數(shù)就

5、可決定橢球的形狀和大小，但其中至少應(yīng)已知一個長度元素（如a或b），人們習(xí)慣于用a和 表示橢球的形狀和大小，便于級數(shù)展開。引入下列符號：式中B為大地緯度，c為極曲率半徑（極點處的子午線曲率半徑）， 兩個常用的輔助函數(shù)，W第一基本緯度函數(shù)，V第二基本緯度函數(shù)，,,,,,,傳統(tǒng)大地測量利用天文大地測量和重力測量資料推求地球橢球的幾何參數(shù)，自1738年（法國）布格推算出第一個橢球參數(shù)以來，200多年間各國大地測量工作者根據(jù)某一國或某

6、一地區(qū)的資料，求出了數(shù)目繁多，數(shù)值各異的橢球參數(shù)。由于衛(wèi)星大地測量的發(fā)展，使推求總地球橢球體參數(shù)成為可能，自1970年以后的橢球參數(shù)都采用了衛(wèi)星大地測量資料。長半經(jīng)變化于6378135m～6378145m之間，扁率分母變化于298.25～298.26之間，可見精度已很高。比較著名的有30個橢球參數(shù)，其中涉及我國的有：,我國1954年北京坐標系應(yīng)用的是克拉索夫斯基橢球參數(shù)，1980年西安坐標系應(yīng)用的是1975年國際橢球參數(shù)，而GPS應(yīng)用的

7、是WGS-84系橢球參數(shù)。,7.1.2地球橢球參數(shù)間的相互關(guān)系,,,,,,并且得到：,,,,,,,,7.2橢球面上的常用坐標系及其相互關(guān)系,7.2.1各種坐標系的建立 大地坐標系：P點的子午面NPS與起始子午面NGS所構(gòu)成的二面角叫做P點大地經(jīng)度，P點的法線Pn與赤道面的夾角B叫P點的大地緯度，P點的位置用L、B表示。若點不在橢球面上，還要附加另一參數(shù)大地高H，它與正常高及正高的關(guān)系為：,,若點在橢球面上，H=0,大地坐標系是大地測

8、量的基本坐標系，其優(yōu)點為：⑴它是整個橢球體上統(tǒng)一的坐標系，是全世界公用的最方便的坐標系統(tǒng)。⑵它與同一點的天文坐標（天文經(jīng)緯度）比較，可以確定該點的垂線偏差的大小.,空間直角坐標系:以橢球中心O為原點，起始子午面與赤道面交線為X軸，在赤道面上與X軸正交的方向為Y軸，橢球體的旋轉(zhuǎn)軸為Z軸，構(gòu)成右手坐標系O-XYZ，在該坐標系中，P點的位置用X、Y、Z表示。 子午面直角坐標系:設(shè)P點的大地經(jīng)度為L，在過P點的子午面上，以子午圈橢圓中心為

9、原點，建立x，y平面直角坐標系。在該坐標系中，P點的位置用L，x，y表示。 大地極坐標系: M為橢圓體面上任意一點，MN為過M點的子午線，S為連結(jié)MP的大地線長，A為大地線在M點的大地方位角。以M為極點、MN為極軸、S為極徑、A為極角，就構(gòu)成了大地極坐標系。P點位置用S、A表示。 橢球面上的極坐標（S、A）與大地坐標（L、B）可以互相換算，這種換算叫大地主題解算。,7.2.2各種坐標系間的關(guān)系,子午面直角坐標系同大地坐標系的

10、關(guān)系,過P點作法線Pn，與x軸之夾角為B，過P點作子午圈的切線TP，與x軸的夾角為（90+B）。該夾角的正切值為曲線在P點處之斜率，它等于曲線在該點的一階導(dǎo)數(shù)。,,,兩式即為子午面直角坐標x、y同大地緯度B的關(guān)系式。,7.2.2各種坐標系間的關(guān)系,空間直角坐標系與子午面直角坐標系的關(guān)系,注意到圖7-3與圖7-4，空間直角坐標系中的相當(dāng)于子午平面直角坐標系中的y，相當(dāng)于x，且兩者之經(jīng)度相同，于是可得：,,,,7.3橢球面上的幾種曲率半徑,

11、法截面：過橢球面上任意一點做一條垂直與橢球面的法線，包含這條法線的平面叫法截面。法截面同橢球面的交線叫法截線 子午圈曲率半徑： 或者,,,,結(jié)論：M隨著B的增大而增大。,卯酉圈曲率半徑：,,,卯酉圈曲率半徑恰好等于法線介于橢球面和短軸之間的距離，即卯酉圈的曲率中心在橢球的旋轉(zhuǎn)軸上。,任意法截弧的曲率半徑：,,平均曲率半徑：一定范圍內(nèi)，把橢球面當(dāng)作是平面處理。,,7.4橢球面上的弧長計算,在研究與橢球有關(guān)的一些測量計算時，例如研究高

12、斯投影計算，往往要用到子午線弧長及平行圈弧長。,7.4.1子午線弧長計算公式,我們知道，子午橢圓的一半，其端點與極點相重合。而赤道又把子午線分成對稱的兩部分，因此，我們只推導(dǎo)從赤道開始到已知緯度B子午線弧長的計算公式 。取子午線上某微分弧 令P點緯度為B,P/點緯度為 點的子午圈曲率半徑為M,于是有,,,,要計算從赤道開始到任意緯度B的子午線弧長,必須求出下列積分值: 將積分因子按二項式定理展開為級數(shù)形式 為積分方便,將正

13、弦的指數(shù)函數(shù)化為余弦的倍數(shù)函數(shù).則由于:,,,,于是有:,,令常系數(shù):,將其代入積分式中：,,B=,,C=,,,積分后得由赤道至子午線上某點的子午弧長公式:,,7.4.2平行圈弧長公式旋轉(zhuǎn)橢球體的平行圈是一個圓，其半徑就是圓上任意一點的子午面直角坐標x,如果平行圈上有兩點，其經(jīng)差 可寫出平行圈弧長公式：,,,7.4.3子午線弧長和平行圈弧長變化的比較從表中可以看出，單位緯差的子午線弧長隨B的增大而

14、緩慢地增大；而單位經(jīng)差的平行圈弧長則隨B的增大而急劇縮短。同時還知，子午弧長10約為110KM，1/約為1.8KM，1//約為30M；而平行圈弧長僅在赤道附近才與子午線弧長大體相當(dāng)，隨著B的增大它們的差值愈來愈大。,,,7.5大地線,7.5.1相對法截線設(shè)在橢球面上任取兩點A、B，其緯度分別為 。過A、B兩點分別作法線與短軸交于 點，與赤道面分別交于 ?，F(xiàn)證明 將不重合

15、。,,,,,,,顧及,,,,上式寫成：,相對法截線 ：法線 互不相交，故 和 這兩條法截線不重合。我們把 和 叫做A、B兩點的相對法截線。,,,,,,當(dāng)A、B兩點位于同一子午圈或同一平行圈上時，正反法截線則合二為一，這是一種特殊情況。而通常情況下，正反法截線是不重合的。因此在橢球面上A、B、C三點處所測得的角度（各點上正法截線之夾角）將不能構(gòu)成閉合三角形。為克服這個矛盾，在兩點間另選一

16、條單一的大地線代替相對法截線，從而得到由大地線構(gòu)成的單一的三角形。,7.5.2大地線的定義和性質(zhì)橢球面上兩點間的最短曲線叫做大地線。在微分幾何中，大地線（又稱測地線）另有這樣的定義“大地線上每點的密切面（無限接近三個點構(gòu)成的平面）都包含該點的曲線法線”亦即“大地線上各點的主法線與該點的曲面法線重合”。因曲面法線互不相交，故大地線是一條空間的曲面曲線。,假如在橢球模型表面A、B兩點之間，畫出相對法截線，然后在A、B兩點上各插一個大頭針，

17、并緊貼著橢球面在大頭針中間拉緊一條細橡皮筋，并設(shè)橡皮筋和橢球面之間沒有磨擦力。則橡皮筋形成一條曲線，恰好位于相對法截線之間，這就是一條大地線，由于橡皮筋處于拉力之下，故它實際上是兩點的最短線。不在同一子午圈或不在同一平行圈上的兩點的正反法截線是不重合的，它們之間的夾角 ，在一等三角測量中可達千分之四秒，可見此時是不容忽視的。大地線是兩點間唯一最短線，而且位于相對法截線之間，并靠近正法截線，它與正法截線間的夾角為,,,在一等三角測量

18、中，數(shù)值可達千分之一二秒，可見在一等或相當(dāng)于一等三角測量精度的工程三角測量中是不可忽視的。大地線與法截線長度之差只有百萬分之一毫米，所以在實際計算中，這種長度差異可以忽略不計。但是，根據(jù)大地線的性質(zhì)可知，在橢球面上進行測量計算時，應(yīng)以兩點間的大地線為依據(jù)。在地面上測得的方向、距離等應(yīng)歸算到相應(yīng)大地線的方向、距離。,7.5.3大地線的微分方程和克萊洛(克萊勞)方程設(shè)P為大地線上任一點，其經(jīng)度為L，緯度為B，大地方位角為A,當(dāng)大地線增長

19、dS到P1點時，則上述各量相應(yīng)變化L+dl,B+dB,A+dA。對應(yīng)于PP1的過P點的平行圈變化為PP2,PP1P2為一橢球面直角三角形，由于該三角形無限小，可視為平面三角形，,,,再過P和P1分別作子午線的切線，由于P和P1無限接近，故可視為兩者的切線同交于短軸的延長線上的T點。由PT和P1T所決定的平面可視為通過P和P1點切平面，同時由于P2也無限接近于P1，所以可視為在切平面上，因此由小扇形TPP2可得,,又：,,,,克萊洛方程,

20、式中C也叫大地線常數(shù)，該式即為著名的克萊洛方程，也叫克萊洛定理。它表明：在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點的平行圈半徑與大地線在該點的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)?？巳R洛方程在橢球大地測量學(xué)中有重要意義，它是經(jīng)典的大地主題解算的基礎(chǔ)。由克萊洛方程可以寫出：,,利用這個關(guān)系式可以檢查緯度與方位角計算的正確性,7.6將地面觀測的方向值歸算到橢球面,我們知道，參考橢球面是測量計算的基準面，而野外的各種測量工作都是在地面上進行的，測站點和照準點一般都

21、超過參考橢球面一定高度，觀測的基準線不是各點相應(yīng)的橢球面的法線，而是各點的垂線，各點的垂線與法線間存在著垂線偏差，因此，也就不能直接在地面上處理觀測成果，而應(yīng)將地面觀測的元素（方向和距離等）歸算至橢球面上。在歸算中有兩條基本要求：（1）以橢球面的法線為基準；（2）將地面觀測元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。本節(jié)主要研究方向值的歸算,7.6.1將地面觀測的水平方向歸算至橢球面----三差改正,垂線偏差改正地面上所有水平方向的觀測都是以垂

22、線為根據(jù)的，而在橢球面上則要求以該點的法線為依據(jù)。因此在每三角點上，把以垂線為依據(jù)的地面觀測的水平方向值歸算到以法線為依據(jù)的方向值而應(yīng)加的改正定義為垂線偏差改正。垂線偏差改正同經(jīng)緯儀垂直軸改正相似，以測站A為中心作出單位半徑的輔助球，u是垂線偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分別為 ，M是地面觀測目標m在球面上的投影。,將水平方向歸算至橢球面，包括垂線偏差改正、標高差改正及截面差改正，習(xí)慣上稱此三項為三差改正。,,垂線偏差的計算公

23、式為：,式中 是測站點上的垂線偏差在子午圈和卯酉圈上的分量，它們可在測區(qū)的垂線偏差分量圖中內(nèi)差取得，從式中可以看出，垂線偏差改正的數(shù)值主要與測站點的垂線偏差和觀測方向的天頂距（或垂直角）有關(guān)。標高差改正標高差改正又稱由照準點高度引起的改正。我們知道，不在同一子午面或不在同一平行圈上的兩點的法線是不共面的。因此，當(dāng)進行水平方向觀測時，如果照準點高出橢球面某一高度，則照準面就不能通過照準點的法線同橢球面的交點，由此引起的方向偏

24、差的改正稱標高差改正以 表示。,,,,,A為測站點，若測站點觀測值已加垂線偏差改正，則可認為垂線與法線一致。這時測站點在橢球面上或者高出橢球面某一高度，對水平方向是沒有影響的。這是因為測站點法線不變，則通過某一照準點只能有一個法截面，為此我們設(shè)A在橢球面上。設(shè)照準點高出橢球面的高程為 分別為A點及B點的法線，B點法線與橢球面的交點為b。因為通常 不在同一平面內(nèi)，故在A點照

25、準B點得出的法截線是Ab/而不是Ab，因而產(chǎn)生了Ab同Ab/方向的差異。按歸算的要求，地面各點都應(yīng)沿自己法線方向投影到橢球面上，即需要的是Ab方向值而不是Ab/方向值，因此需加入標高差改正數(shù) 以便將Ab/方向改到Ab方向。 標高差改正的計算公式為 :,,,,,經(jīng)過化簡,由上可知，標高差改正主要與照準點的高程有關(guān)。經(jīng)此項改正后，便將地面觀測的水平方向值歸化為橢球面上相應(yīng)的法截弧方向。,,截面差改正在橢球面上

26、，緯度不同的兩點由于其法線不共面，所以在對向觀測時相對法截弧不重合，應(yīng)當(dāng)用兩點間的大地線代替相對法截弧。這樣將法截弧方向化為大地線方向應(yīng)加的改正叫截面差改正。截面差改正計算公式為 ：,,化簡,,截面差改正主要與測站點至照準點間的距離S有關(guān)。,7.6.2將天文方位角歸化為大地方位角---起始方位角,在布設(shè)國家天文大地網(wǎng)時，為了控制三角網(wǎng)中方位角傳算誤差的積累，要求在一等三角鎖的兩端和中央，以及二等網(wǎng)的中間等處，都要在起始邊的兩個端點上，

27、用天文觀測的方法測定它們的天文經(jīng)度 、天文緯度 和該邊的天文方位角 。在特種工程測量控制網(wǎng)中，有時也有這樣的要求。天文方位角 是以測站的垂線為依據(jù)的，因此必須將它歸算至橢球面以測站點相應(yīng)的法線為依據(jù)的大地方位角A，這種歸算又稱起始方位角的歸算。將天文方位角歸化為大地方位角的計算公式是：,,,,,,式中A為測站點到照準點的大地方位角，α為測站點處相應(yīng)方向的天文方位角；L為測站點的大地經(jīng)度； 為垂線偏差改正數(shù)。當(dāng)照準點

28、目標高度不大時，天頂距Z接近于900時，可勿略不計，因此上式可寫為：,,,該式又稱為拉普拉斯方程式，大地方位角又叫拉普拉斯方位角，在三角點上觀測天文經(jīng)度、天文緯度時，該點叫拉普拉斯點。,7.6.3觀測天頂距受垂線偏差影響的改正用三角高程方法測定相鄰三角點的大地高差時，在三角點P1和P2上必須進行天頂距的觀測，設(shè)觀測值分別為 。但在地面上觀測天頂距是以垂線為依據(jù)的，而計算兩點間的大地高差是以法線為依據(jù)，即這時要用歸化后的

29、天頂距 計算大地高差，因此對觀測天頂距應(yīng)加垂線偏差改正數(shù)。垂線偏差在測線的分量為,,,,大地天頂距 的計算公式為,式中A為測站點至照準點的大地方位角。利用上式公式計算出的大地天頂距Z可用于計算高差，此高差稱為大地高差。但三角高程測量的精度是有限的，若提高其計算精度，必須設(shè)法克服大氣折光的影響，同時要在天頂觀測值中引入垂線偏差改正數(shù)。,,,,7.7將地面觀測的長度歸算到橢球面

30、,7.7.1基線尺量距的歸算將基線尺測量求得的長度加入尺段傾斜改正后，可認為它是基線平均水準面上的長度值，用 表示。而我們所求的是橢球面上的大地線的長度s，因此產(chǎn)生了長度歸算問題。垂線偏差對長度歸算的影響由于垂線偏差的存在，使得垂線和法線不一致，水準面不平行于橢球面。為此在長度歸算中應(yīng)首先消除這種影響。假設(shè)垂線偏差沿基線是線性變化的，則垂線偏差u對長度歸算的影響式是：,根據(jù)測邊使用儀器的不同，地面長度的歸算可分為兩種：一是基線

31、尺量距的歸算；二是電磁波測距的歸算，現(xiàn)分別進行研究。,,,從式中可以看出，垂線偏差對基線長度歸算的影響，主要與垂線偏差分量u及基線端點的大地高差 有關(guān)，其數(shù)值一般比較小，此項改正是否需要應(yīng)結(jié)合測區(qū)及計算精度要求的實際情況進行具體分析。,,高程對長度歸算的影響假設(shè)基線兩端點已經(jīng)過垂線偏差改正，則基線平均水準面平行于橢球體面。此時由于水準面離開橢球體面一定距離，也引起長度歸算的改正。AB為平均高程水準面上的基線長度，以

32、 表示，現(xiàn)要計算其在橢球面上的長度S，由圖可知,由此得橢球面上的長度為,,,,式中， 即基線端點平均大地高程；R為基線方向法截線曲率半徑，如果將上式展開級數(shù),取至二次項，則有,,,由此式可得由高程引起的基線歸化改正數(shù)公式,可見此項改正數(shù)主要與基線的平均高程 及長度有關(guān)。顧及以上兩式，則有地面基線長度歸算到橢球面上長度的公式為：,,,,7.7.2電磁波測距的歸算,我們知道：1) 在橢球面上兩點

33、間大地線長度與相應(yīng)法截線長度之差是極微小的，故可忽略不計，這樣可將兩點間的法截線長度認為是該兩點間的大地線長度；2) 兩點間的法截線長度與半徑等于其起始點曲率半徑的圓弧長相差也很微小(如當(dāng)S=640KM時，之差等于0.3米；S=200KM時，之差等于0.005m)。由于工程測量中邊長一般為幾公里，最長也不過十幾公里，因而，這種差異又可忽略不計。因此所求的大地線長度可以認為是半徑,上式即為電磁波測距的歸算公式。式中大地高H由兩項組成：一是

34、正常高，一是高程異常。為保證S的計算精度不低于 級，當(dāng)D10KM時， 必達1m。大地高H本身的精度應(yīng)達5m級，而平均曲率半徑 達1公里即可?，F(xiàn)對(7-103)式進一步簡化如下,,相應(yīng)的圓弧長,,,,,式中 。顯然，上式右端第二項是由于控制點之高差引起的傾斜改正的主項。經(jīng)過此項改正，測線已變成平距；第三項是由于平均測線高出參考橢球面而引起的投影改正，經(jīng)過此項改正后，測線已變?yōu)橄揖€；第四

35、項則是由弦長改化為弧長的改正項。歸算公式也可用下式表達：式中第一項顯然是經(jīng)高差改化后的平距。我們便得兩點間的弦長為,,,,,7.8橢球面上三角形的解算,7.8.1用勒讓德爾定理解算球面三角形橢球面上的三角形是由大地線組成的，而大地線是一條空間曲線，該曲線上每一點處的曲率半徑各不相同，因此三角形解算就變得十分復(fù)雜了。經(jīng)研究表明：半徑為140KM范圍內(nèi)的橢球面可當(dāng)作球面上的一部分看待，球的半徑可選擇為三個曲面接觸點的平均曲率半徑。

36、若在半徑為140KM的圓內(nèi)繪一內(nèi)接等邊三角形，則每邊的長度為240KM。這就是說，當(dāng)三角形邊長小于240KM時，就可把它當(dāng)作球面三角形解算，兩者對應(yīng)的邊長相等，對應(yīng)角之差小于0.001//。國家一等三角形的平均邊長在25KM左右，所以將其當(dāng)作球面三角形來解算精度完全可以保證。勒讓德爾定理:如果平面三角形和球面三角形對應(yīng)邊相等，則平面角等于對應(yīng)球面角減去三分之一球面角超。,但它們的角度與球面三角形的對應(yīng)角度有如下關(guān)系：,,,,即如果球

37、面三角形的各角減去三分之一球面角超，就可得到一個對應(yīng)邊相等的平面三角形，從而達到解算球面三角形的目的。,7.8.2球面角超計算,,F為平面三角形的面積。,7.9大地主題解算的高斯平均引數(shù)公式,7.9.1大地主題解算的一般概念 橢球面上點的大地經(jīng)度L、大地緯度B、兩點間的大地線長度S及其正、反大地方位角 ，通稱為大地元素。如果知道某些大地元素推求另一些大地元素，這樣的問題就叫大地主題解算（有正算和反算）。,,如圖所示

38、，已知P1點的大地坐標（ ），P1至P2點的大地線長S及其大地方位角 ，計算P2點的大地坐標（ ）和大地線S在P2點的反方位角 ，這類問題叫做大地主題正解。如果已知P1和P2點的大地坐標（ ）和（ ），計算P1至P2點的大地線長S及其正、反大地方位角 和 ，這類問題叫做大地主題反解。,,,,,,,,,大地主題正解和反解（大地測量主題），從解析意義來講，就是研究大地極坐標與

39、大地坐標間的相互變換。,大地測量主題的用途：天文大地測量中計算一等點的經(jīng)緯度；空間技術(shù)和航空、航海、國防等科學(xué)技術(shù)。大地測量主題分類：①以解算距離分為-----短距離（400KM以內(nèi)）、中距離（400--1000KM）、長距離（1000KM以上）；②以解算方法分為-----直接解法和間接解法兩種。,直接解法的基本思想：直接解算極三角形P1NP2，如正算問題時，已知數(shù)據(jù)是邊長S、 及角 ，由三角形解算可得到另外的元素

40、 ，進而直接求出未知端點的經(jīng)緯度與方位角,,,,,常用的方法是白塞爾(Bessel)法。,間接解法的基本思想：利用橢球面上的大地線微分方程，解出經(jīng)緯度差 以及方位角之差 （不是直接求出未知端點的經(jīng)緯度與方位角）,,,,,,再求出未知量,常用的方法為高斯平均引數(shù)公式。一百多所來，許多測量學(xué)者提出了種類繁多的解算公式和方法（70余種），本節(jié)只介紹大地主題解算的典型公式——高斯平均引數(shù)公式。,,,,7.

41、9.2勒讓德爾級數(shù)式,1806年法國數(shù)學(xué)家勒讓德爾（Legendre）提出。在過已知點 且在該點處大地方位角為 的大地線S上，任意一點 的大地坐標 及其方位角 必是大地線長度S的函數(shù)，,,,,,,,,,則得出勒讓德爾級數(shù)式如下：,,,,,勒讓德爾級數(shù)是大地主題正算的一組基本公式，僅適用于邊長短于30公里的情況。因為邊長較長的話級數(shù)收斂很慢，且計

42、算工作復(fù)雜。后來博爾茨(H.Boltz)對級數(shù)中u、v及它們各次冪之積的系數(shù)作了改化，并編制了計算作表，使勒讓德爾級數(shù)成為手算實用公式。為解算大地主題，高斯于1846年對勒讓德爾級數(shù)也進行了改化，提出了以大地線兩端點平均緯度及平均方位角為依據(jù)的高斯平均引數(shù)公式，它具有級數(shù)收斂快、公式項數(shù)少、精度高、計算較為簡便、使用范圍廣等優(yōu)點。,,,7.9.3高斯平均引數(shù)正算公式,推導(dǎo)的基本思想：首先把勒讓德爾級數(shù)在P1點展開改在大地線長度中點M展開

43、，以使級數(shù)公式項數(shù)減少、收斂快、精度高；其次考慮到求定中點M的復(fù)雜性，將M點用大地線兩端點平均緯度及平均方位角相對應(yīng)的m點來代替，并借助迭代計算，便可順利地實現(xiàn)大地主題正解。,經(jīng)整理得高斯平均引數(shù)正算公式,,,,,以上三式保證了四次項的精度，可解算120公里主題問題。當(dāng)距離小于70公里時，上述各式中的 項可略去，若設(shè)主項,,,,,,,簡化公式,,高斯平均引數(shù)公式，結(jié)構(gòu)比較簡單、精度較高。從公式可知,欲求

44、 ，必先有 。但由于 未知，故精確值尚不知，為此須用逐次趨近的迭代方法進行公式的計算。一般主項趨近3次，改正項趨近1～2次就可滿足要求。,,,,,,7.9.4高斯平均引數(shù)反算公式,大地主題反算是已知兩端點的經(jīng)、緯度 ，反求兩點間的大地線長度S及正、反大地方位角 。這時由于經(jīng)差 、緯差 及平均緯度 均為已知，故可依正算公式很容易導(dǎo)出反算公式。,,,,,