概率分布正態(tài)分布教程

1、第五講 概率分布—正態(tài)分布,1.1 正態(tài)分布的概念和函數1.2 正態(tài)分布曲線的特征1.3 正態(tài)曲線的標化1.4 曲線下面積的分布規(guī)律1.5 正態(tài)分布在醫(yī)學中的應用,【典型案例分析】,舉例： 隨機調查某醫(yī)院1402例待分娩孕婦，測得她們的體重，試述其體重頻數分布的特征。,引子：,表5-1 某醫(yī)院1402例分娩孕婦體重頻數分布,① ② ③ ④

2、 ⑤,作圖:以體重測量值為橫軸，以頻率與組距的比值為縱軸作出直方圖。,1. 由于該直方圖的縱軸表示在每個組段內單位長度所占有的頻率，相當于頻率密度，因此將此圖稱為頻率密度圖。,圖5-1 體重頻率密度圖,2. 面積=頻率由于頻率的總和為1，所以該曲線下橫軸上的面積為1 。 .,若將各直條頂端的中點順次連接起來，得一條折線。當樣本量n越來越大時，折線就越來越接近一條光滑的曲線。,圖5-1

3、 體重頻率密度圖,圖5-2 概率密度曲線示意圖,,,推 斷：測得一個孕婦體重在54-68kg的概率有多大？孕婦體重在哪個范圍內算是正常的呢？,故對連續(xù)性隨機變量而言：變量某區(qū)間取值的概率 = 正態(tài)曲線該變量區(qū)間的面積,,一、正態(tài)分布的概念和密度函數,正態(tài)分布( normal distribution)：是描述連續(xù)型隨機變量最重要的分布。其分布曲線叫正態(tài)分布曲線，呈中間高，兩邊低，左右基本對稱的“鐘型”曲線，近似于數學上的正態(tài)分布，

4、又稱高斯分布（Gauss distribution）。,正態(tài)分布(normal distribution),德莫佛最早發(fā)現了二項概率的一個近似公式，這一公式被認為是正態(tài)分布的首次露面。,正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布(Gauss distribution)。,德莫佛,高 斯,10馬克的錢幣,醫(yī)學研究中許多正常人的生理，生化指標、測量誤差等多呈正態(tài)分布或近似正態(tài)分布。許多非正態(tài)分布資料，當樣本含量足夠大時

5、，也可以用正態(tài)分布作為它的極限分布形式。有時也可將非正態(tài)分布資料轉化為正態(tài)分布來處理。,正態(tài)分布在醫(yī)學研究中的重要作用：,醫(yī)學研究中：,,正態(tài)分布的密度函數，即正態(tài)曲線的函數表達式：,式中，μ為總體均數，σ為總體標準差，π為圓周率，e為自然對數的底，僅x為變量。 當x確定后， f(x)為X相應的縱坐標高度，則X服從參數為μ和σ2的正態(tài)分布（ normal distribution)，記作X~N（ μ，σ2 ）。,二、正態(tài)分布

6、曲線的特征,,（一）正態(tài)分布的兩個參數：,μ和σ 是正態(tài)分布的兩個參數， μ和σ決定了x的概率分布；習慣上用 N (μ, σ2)表示均數為μ ，標準差為σ的正態(tài)分布。,當給定不同的 x 值后，就可以根據此方程求得相應的縱坐標高度（頻數），并可繪制出正態(tài)曲線的圖形，記作X~N(μ,σ2) ：,正態(tài)分布曲線：高峰位于中間，兩側逐漸下降并完全對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交的“鐘型”曲線。,當σ固定不變時，μ越大，曲線沿橫軸越向右移動；反之，

7、 μ越小，則曲線沿橫軸越向左移動，所以μ叫正態(tài)曲線N（μ, σ2）的位置參數， 。,1. 位置參數： μ,圖5-4 正態(tài)分布位置隨參數μ變換示意圖,2. 形狀參數：σ,圖5-6 正態(tài)分布形態(tài)隨參數σ變換示意圖,當μ固定不變時，σ越大，曲線越平闊； σ越小，曲線越尖峭，σ 叫正態(tài)曲線N（μ, σ2）的形狀參數。,（二）正態(tài)分布圖形的特征：,1. 對稱性：關于x=μ對稱,2. 集中性： 正態(tài)曲線在橫軸上方， 當x=μ時, f (

8、x)取最大值，即均數位于曲線的最高處。,3. 對頻率密度正態(tài)分布圖，橫軸上曲線下的面積為1。,4. μ是正態(tài)曲線的位置參數，決定曲線在橫軸上的位置；μ 增大曲線沿橫軸向右移， μ 減小曲線沿橫軸向左移。,5.σ是正態(tài)曲線的形狀參數，σ越大數據越分散，曲線越“矮胖”，σ越小數據越集中，曲線越“瘦高” 。,三、正態(tài)曲線的標準化,為了應用方便，常將正態(tài)概率函數中的 x 作如下變量代換，令： Z稱為標準正態(tài)變量。把u代入概

9、率密度函數 ，得標準正態(tài)分布的概率密度函數： 相對于正態(tài)變量 x，Z 沒有度量單位。根據 u 的不同取值，可繪出標準正態(tài)分布的圖形。,任意正態(tài)分布曲線 X~N(μ,σ2),,標準正態(tài)分布曲線X~N(0,1),將一般正態(tài)分布曲線的 μ 的位置平移到原點，再以標準差σ為橫軸單位，這樣就把原來個別的正態(tài)分布轉換為一般的標準正態(tài)分布 N（0，1），亦稱為Z分布（或 ｕ分布）。,四、正態(tài)曲

10、線下面積的分布規(guī)律,,正態(tài)曲線下的面積分布有一定的規(guī)律性：,因正態(tài)曲線下累計頻數的總和等于 100% 或 1，則：橫軸上曲線下的面積（概率）就等于 100% 或 1；均數兩側的面積（概率）各占 50%。,實際工作中常需了解橫軸上某一區(qū)間曲線下面積占總面積的百分比，以便估計該區(qū)間的頻數占總頻數的百分比（即頻數分布情況）。這就需要采用定積分的辦法，對函數式 (1) 或 (2) 定積分，算得從 -∞ 到 x，或從 -∞ 到 Z 的累計

11、面積（概率）。 .,圖 6 正態(tài)分布(左)及標準正態(tài)曲線下(右)的累計面積,,,,由于引入了標準正態(tài)變量 Z 值，只需對標準正態(tài)公式求定積分，求其曲線下從 -∞到任意Z 值的累計面積，并制成專用的 Z 值表（見附表）；這樣對于其它任意的正態(tài)分布N(μ, σ2) ，都可以通過變量代換轉化為標準正態(tài)分布，通過查表就完成其概率計算問題。,,,,,,1. 左半側 Z

12、 值對應面積的查法：,,1. 標準正態(tài)分布區(qū)間（-1， 1 ）的面積占總面積的68.26% 2. 標準正態(tài)分布區(qū)間（-1.96，1.96）的面積占總面積的95% 3. 標準正態(tài)分布區(qū)間（-2.58，2.58）的面積占總面積的99%,標準正態(tài)分布曲線下面積規(guī)律,舉例： 當 Z = -1.96時，左側的累計面積= 0.025（該區(qū)間累計頻數占總例數的 2.5%），記作 P(Z≤－1.96) = 0.025

13、。 當 Z = 1.96時， 左側累計面積為 0.975，可記作 P(Z≤1.96)=0.975， 此時P(Z≥1.96)=0.025 。,2.左半側Z 值對應面積的查法：標準正態(tài)分布是以 0 為中心左右對稱，所以該表只計算曲線下一半的面積即可 。,舉例：求 Z = - 0.5 ～-1.5之間的面積。 查表找出 Z = -0.5 時的對應面積為 0.3085，再查出 Z = -1.5

14、 時的對應面積 0.0668，相減即可。 即：P(Z = - 0.5 ～-1.5)= P(Z = - 0.5) - P(Z = -1.5) = 0.3085- 0.0668 = 0.2417,3. 查任意兩個 Z 值間的面積：,（1）曲線下橫軸上的總面積為100%（2）表中曲線下面積為(-¥，Z)（3）標準正態(tài)曲線下的面積以0為對稱，即,如區(qū)間(-¥，-1

15、.96)與區(qū)間(1.96，+¥) 的面積相等。,小結:,F(Z)=1-F(-Z),對標準正態(tài)分布曲線,4. 求一般正態(tài)分布N(μ,σ2)曲線下的面積：,⑴ 先求 u 值：,⑵ 根據 Z 值在表中查出相應的面積值,當總體均數和總體標準差未知時，就用樣本均數和樣本標準差來代替計算。,所以對正態(tài)分布或近似正態(tài)分布資料，只要求出均數和標準差，便可就其頻數分布作出概略估計了。,舉例：已知 120 名 12 歲男孩身高均數為 143 cm

16、，標準差為 5.8 cm，試估計該地 12 歲男孩身高在 135 cm 以下者有多少人？,答：1. 首先計算 Z 值：,3. 據概率計算人數：身高在 135 cm 以下者有：120×8.38% =10人,2. 查 Z 值表： 當 u = -1.38 時，左側尾部面積 0.0838，即身高在 135cm 以下者占總人數的 8.38%。,常用的正態(tài)分布、標準正態(tài)分布曲線下面積規(guī)律,,,四、正態(tài)分布在醫(yī)學中的應

17、用,,（一） 制定醫(yī)學參考值范圍,參考值范圍（reference range)：指所謂“正常人”的解剖、生理、生化等指標的波動范圍。,制定方法：制定參考值范圍時，首先要確定一批樣本含量足夠大的“正常人”。所謂“正常人”不是指“健康人”，而是指排除了影響所研究指標的疾病和有關因素的同質人群，必須是隨機選擇的大樣本。而后根據指標的實際用途確定單側或雙側界值，根據研究目的和使用要求選定適當的百分界值，常用95%。

18、 .,單側臨界值：標準正態(tài)分布單側尾部面積等于α時所對應的正側變量值，記作Zα。,雙側臨界值：標準正態(tài)分布雙側尾部面積之和等于α時所對應的正側變量值，記作Zα/2。,以不同的方法計算參考值范圍：,（1）正態(tài)分布法：適用于正態(tài)或近似正態(tài)分布資料,表5-2 　常用參考值范圍的制定,舉例1：調查某地120名健康女性血紅蛋白，直方圖顯示其分布近似正態(tài)

19、，試估計該地健康女性血紅蛋白的95%參考值范圍。,解析：,1. 分布近似正態(tài),2. 過高過低均為異常,3. 求上、下界值,上界：,下界：,所以，該地健康女性血紅蛋白的95%參考值范圍是（97.41,137.39）g/l。,,舉例2： 某地調查120名健康成年男性的第一秒肺通氣量得均數 X =4.2(L), 標準差S =0.7(L)，試據此估計其第一秒肺通氣量的95%參考值范圍。,解析：,1. 分布近似正態(tài),2. 僅過低為異常,3. 求

20、下界值,下界：,所以，該地健康成年男子第一秒肺通氣量的95%參考值范圍為不低于3.05（L）。,,（2）百分位法：特別適用于偏態(tài)分布資料以及資料 中一端或兩端無確切數值的資料。,如95%參考值范圍：,計算公式：,舉例：定出生體重低于2500g的嬰兒為低體重兒，若由某項研究得某地嬰兒出生體重均數為3200g ，標準差為350g，估計當年出生低體重兒所占的比例。,（二）估計頻數分布,解析：,2. 轉化為標準正態(tài)分布，求u

21、 值,,查u值表,說明標準正態(tài)曲線下 (-∞，-2）的面積為2.28%，故本題正態(tài)曲線(-∞，2500g）的比例為2.28% ，即X<2500g的為2.28%，故估計當年出生低體重兒的比例為2.28%。,估計頻數分布：,a b,即：估計變量在（a , b）區(qū)間出現的比例或者說頻率,（三）進行質量控制,基本原理：許多臨床檢驗指標，當影響某一指標的隨機因素很多，而每個因素所起的作用均不太大時，這個指標的隨機波動屬于隨機誤

22、差，則往往服從正態(tài)分布。,控制方法：常以 作為上下警戒值，以 作為上下控制值。這里的2s和3s可視為1.96s和2.58s的約數。,作為質量控制的上下警戒值：,（四）正態(tài)分布是許多統(tǒng)計方法的理論基礎,t 分布、F 分布、 分布都是在正態(tài)分布的基礎上推導出來的，u 檢驗也是以正態(tài)分布為基礎的。二項分布、Poisson分布的極限為正態(tài)分布，在一定條件下，可以按正態(tài)分布原理來

23、處理。,[選擇題]1.正態(tài)分布的兩個參數μ與σ， 對應的正態(tài)曲線平行右移。增大μ B. 減小μ C. 增大σ D. 減小σ E. 增大μ同時增大σ,2.正態(tài)分布曲線下右側5％對應的分位點為 A.μ+1.96σ B.μ-1.96σ C.μ+2.58σ D.μ+1.64σ E.μ-2.58σ,[是非題] 對稱分布與正態(tài)分布等價。,[計算題]

24、 1.某地抽查120份黃連中小蘗堿含量（mg/100g)得平均數為4.38，標準差為0.18，假設數據服從正態(tài)分布，問：（1）95%黃連樣品中小蘗堿含量在什么范圍？（2）有一份黃連樣品，小蘗堿含量為4.80，怎樣評價？,答案:,根據公式,另（4.8-4.38）/0.18=2.33>1.96,所以可認為小蘗堿含量不正常。,某地1998年抽樣調查了100名18歲男大學生身高，其均數=172.70cm，標準差=4.01 cm。

25、（1）估計該地18歲男大學生身高在168 cm以下者占該地18歲男大學生總數的百分數； （2）估計該地18歲男大學生身高在177 cm以下者占該地18歲男大學生總數的百分數。,答案:,查附表得， φ (u)=0.1210，即該地18歲男大學生身高在168 cm以下者占該地18歲男大學生總數的12.10%。,查附表得， φ(-1.07)=0.1423, 則 φ(u)=1- φ (-1.07)=1-0.1423=

26、0.8577 即該地18歲男大學生身高在177 cm以下者占該地18歲男大學生總數的85.77%。,[計算題],2. 已知某地正常成年女子的血清總蛋白數服從正態(tài)分布，調查了該地110名正常成年女子，得樣本血清總蛋白均數為72.8g/L，標準差為3.8g/L，試估計該地正常成年女子血清總蛋白介于66.0~75.0 g/L之間的比例，以及110名正常成年女子中血清總蛋白介于66.0~75.0 g/L之間的人數。