經驗模態(tài)分解在點云數據處理中的應用

1、<p>　　中圖分類號：TP391</p><p>　　論文編號：10006SY1406205</p><p>　　碩 士 學 位 論 文</p><p>　　經驗模態(tài)分解在點云數據處理中的應用</p><p><b>　　作者姓名 郭立新</b></p><p>　　學科專業(yè) 計算

2、機科學與技術</p><p>　　指導教師 郝愛民 教授</p><p>　　培養(yǎng)學院 計算機學院</p><p>　　Empirical Mode Decomposition on Point Clouds</p><p>　　and Its Applications</p><p>　　A Dissertati

3、on Submitted for the Degree of Master</p><p>　　Candidate：Guo Lixin</p><p>　　Supervisor：Prof. Hao Aimin</p><p>　　School of Computer Science & Engineering</p><p>　　Be

4、ihang University, Beijing, China</p><p>　　中圖分類號：TP391</p><p>　　論文編號：10006SY1406205</p><p>　　碩 士 學 位 論 文</p><p>　　經驗模態(tài)分解在點云數據處理中的應用</p><p>　　作者姓名

5、 郭立新 申請學位級別 學術碩士</p><p>　　指導教師姓名 郝愛民 職 稱 教授</p><p>　　學科專業(yè) 計算機應用技術 研究方向 計算幾何與三維建模</p><p>　　學習時間自 年 月 日 起

6、至 年 月 日 止</p><p>　　論文提交日期 年 月 日 論文答辯日期 年 月 日</p><p>　　學位授予單位 北京航空航天大學 學位授予日期 年 月 日</p><p>　　關于學位論文的獨創(chuàng)性聲明</p&

7、gt;<p>　　本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在指導教師指導下獨立進行研究工作所取得的成果，論文中有關資料和數據是實事求是的。盡我所知，除文中已經加以標注和致謝外，本論文不包含其他人已經發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含本人或他人為獲得北京航空航天大學或其它教育機構的學位或學歷證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對研究所做的任何貢獻均已在論文中作出了明確的說明。</p><p>　　若有不實之處，

8、本人愿意承擔相關法律責任。</p><p>　　學位論文作者簽名：        日期： 年 月 日</p><p><b>　　學位論文使用授權書</b></p><p>　　本人完全同意北京航空航天大學有權使用本學位論文（包

9、括但不限于其印刷版和電子版），使用方式包括但不限于：保留學位論文，按規(guī)定向國家有關部門（機構）送交學位論文，以學術交流為目的贈送和交換學位論文，允許學位論文被查閱、借閱和復印，將學位論文的全部或部分內容編入有關數據庫進行檢索，采用影印、縮印或其他復制手段保存學位論文。</p><p>　　保密學位論文在解密后的使用授權同上。</p><p>　　學位論文作者簽名：

10、 日期： 年 月 日</p><p>　　指導教師簽名： 日期： 年 月 日</p><p><b>　　摘 要</b></p><p>　　隨著三維掃描設備的普及和掃描技術的快速發(fā)展，點云數據處理得到了國內外學者的廣泛關

11、注。經驗模態(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)作為一種處理非線性、非穩(wěn)定信號的方法在一維信號、二維圖像、三維幾何模型中得到了應用。但由于點云數據缺乏固有的拓撲連接關系，將EMD應用到點云數據處理中還存在諸多困難和挑戰(zhàn)。針對這一現狀，本文提出了處理點云數據的EMD算法。由于經典EMD算法不具有特征保持的性質，本文提出了顯式和隱式的兩種特征保持的點云EMD算法。本文主要工作成果和進展包括以下三個方面：&

12、lt;/p><p>　　1、點云EMD算法：本文將經典EMD算法推廣到點云數據中，實現了點云數據的EMD算法。該算法以點云模型的拉普拉斯坐標與法向的內積作為輸入信號，提取信號中的極值點，并將極值點作為插值點求解上下包絡。由上下包絡的得到的均值包絡如果滿足篩分的收斂條件即得到內蘊模態(tài)函數；否則，繼續(xù)上述迭代過程。當分解出來的內蘊模態(tài)函數的個數達到指定的個數，停止點云EMD算法。此點云EMD算法可以將輸入信號分解成若干個

13、內蘊模態(tài)函數和余量；</p><p>　　2、顯式的特征保持點云EMD算法：經典的EMD算法不具有特征保持的性質，本文提出了一種顯式的特征保持點云EMD算法。該算法以拉普拉斯坐標與法向的內積作為輸入信號，提取信號中的極值點和點云數據的特征點，將特征點作為約束，由極值點進行插值計算輸入信號的上下包絡。用輸入信號減去上下包絡的均值得到內蘊模態(tài)函數和余量，同時迭代地將余量作為輸入信號，得到若干個內蘊模態(tài)函數和余量；&l

14、t;/p><p>　　3、隱式的特征保持點云EMD算法：顯式的特征保持需要提取點云數據的特征點，在提取特征點的過程中對噪聲等信息比較敏感。為進一步實現特征保持的點云EMD，提出了以各向異性特征度量為指導的隱式特征保持EMD分解算法。該算法由張量投票矩陣定義了各向異性特征度量，以拉普拉斯坐標與法向的內積作為輸入信號，提取信號中的極值點。在計算上下包絡和均值包絡的過程中以特征度量為指導，由輸入信號減去上下包絡的均值得到內

15、蘊模態(tài)函數和余量，同時迭代的將余量作為輸入信號，得到若干個內蘊模態(tài)函數和余量。</p><p>　　通過以上三方面的研究，本文將經典EMD算法推廣到點云數據中，并實現了顯式和隱式的特征保持點云EMD算法，并將顯式的特征保持點云EMD算法應用到點云數據的平滑與增強，將隱式的特征保持點云EMD算法應用到點云數據的平滑與增強、特征保持的點云去噪、一致性特征點檢測。</p><p>　　關鍵詞：

16、經驗模態(tài)分解，點云數據，數據平滑與增強，特征保持</p><p><b>　　Abstract</b></p><p>　　With the popularization of 3D scanning equipment and the rapid development of scanning technology, point cloud data process

17、ing has received extensive attention. Empirical Mode Decomposition (EMD) has been applied in one-dimensional signals, two-dimensional images and three-dimensional geometric models However, there are a lot of difficulties

18、 and challenges for applying EMD on point cloud data for lacking of inherent topology information. In this paper, we present EMD on point cloud data. As the </p><p>　　1. Point cloud EMD algorithm: This paper

19、 promotes classic EMD algorithm on point cloud data and achieves EMD algorithm on point cloud. The algorithm uses the inner product of Laplacian coordinates of the point cloud model and the points’ normal as the input si

20、gnal, extracts the extreme points from the signal, and uses the extreme points as the interpolation points to solve the upper and lower envelopes. The mean envelope function of the upper and lower envelopes obtains an in

21、trinsic modal functi</p><p>　　2. EMD algorithm on point cloud with explicit feature preservation: For classical EMD algorithm can’t preserve feature, this paper implements the point cloud EMD algorithm with

22、explicit feature preserving. The algorithm uses the inner product of Laplacian coordinates and the points’ normal as the input signal, extracts the extreme points of the signal and the feature points of the point cloud d

23、ata, uses the feature points as constraints, and interpolates the upper and lower points of the input s</p><p>　　3. EMD algorithm for point cloud with implicit feature preservation: EMD algorithm for point c

24、loud with explicit feature preservation method needs to extract feature point from point cloud data, while the feature detection methods usually sensitive to noises. To further preserve the feature of the point cloud, EM

25、D algorithm for point cloud with implicit feature preservation guided by structure measurement is proposed. The algorithm defines the anisotropic structure measurement based on the tenso</p><p>　　Through the

26、 above studies, EMD algorithm is extended to point cloud, and the point cloud EMD algorithm with explicit and implicit feature preserving is realized. The intrinsic modal functions and residue of point cloud EMD algorit

27、hm based on explicit feature preserving are applied to smooth and enhance point cloud data. The point cloud EMD algorithm based on implicit feature preserving is applied to the smoothing and enhancement of point cloud da

28、ta, feature point cloud denoising and consistent </p><p>　　Key words: Empirical Mode Decomposition, Point Clouds, Smoothing and Enhancement, Feature Preserving</p><p><b>　　目 錄</b>

29、</p><p><b>　　第一章緒論1</b></p><p>　　1.1選題背景與來源1</p><p>　　1.2研究意義1</p><p>　　1.3研究目標與內容2</p><p>　　1.4論文組織結構4</p><p>　　第二章關鍵技

30、術及研究現狀6</p><p>　　2.1歐幾里得空間中的EMD6</p><p>　　2.1.1經典一維信號EMD6</p><p>　　2.1.2EMD研究現狀8</p><p>　　2.2三維幾何數據中的EMD9</p><p>　　2.2.1三維模型信號轉化為二維信號9</p>

31、<p>　　2.2.2直接計算三維EMD10</p><p>　　2.2.3三維模型信號轉化為一維信號12</p><p>　　2.2.4三維幾何數據的EMD總結12</p><p>　　2.3特征保持的EMD13</p><p>　　2.3.1三維模型特征保持13</p><p>　

32、　2.3.2基于EMD的三維模型特征保持14</p><p>　　2.4本章小結16</p><p>　　第三章點云EMD17</p><p>　　3.1輸入信號的定義17</p><p>　　3.2點云EMD分解流程18</p><p>　　3.2.1極值點提取20</p>&l

33、t;p>　　3.2.2上下包絡的求解20</p><p>　　3.2.3篩選過程和EMD終止條件23</p><p>　　3.3點云模型的重建24</p><p>　　3.4本章小結24</p><p>　　第四章顯式特征保持的點云EMD25</p><p>　　4.1顯式特征保持的點云EM

34、D分解流程25</p><p>　　4.1.1點云特征點提取26</p><p>　　4.1.2極值點提取27</p><p>　　4.1.3上下包絡的求解28</p><p>　　4.1.4EMD算法終止條件29</p><p>　　4.2算法應用31</p><p>　

35、　4.2.1濾波器設計31</p><p>　　4.2.2點云數據的平滑32</p><p>　　4.2.3點云數據的增強34</p><p>　　4.3實驗結果分析35</p><p>　　4.3.1與其他方法對比35</p><p>　　4.3.2參數設置與時間統(tǒng)計37</p>

36、<p>　　4.4本章小結38</p><p>　　第五章隱式特征保持的點云EMD39</p><p>　　5.1點云特征度量的計算40</p><p>　　5.1.1點云數據的張量投票40</p><p>　　5.1.2投票分析41</p><p>　　5.2隱式特征保持的點云EMD

37、分解流程43</p><p>　　5.2.1基于特征度量的上下包絡求解44</p><p>　　5.2.2基于特征度量的均值包絡求解45</p><p>　　5.3算法應用47</p><p>　　5.3.1點云數據的平滑與增強48</p><p>　　5.3.2特征保持的點云去噪50</p

38、><p>　　5.3.3一致性特征點檢測52</p><p>　　5.4實驗結果分析53</p><p>　　5.4.1與其他方法對比53</p><p>　　5.4.2參數設置與時間統(tǒng)計54</p><p>　　5.5本章小結56</p><p><b>　　總結與展

39、望57</b></p><p>　　1論文工作總結57</p><p>　　2未來工作展望58</p><p><b>　　參考文獻60</b></p><p>　　攻讀碩士期間取得的學術成果65</p><p><b>　　致 謝66</b>

40、;</p><p><b>　　圖 目</b></p><p>　　圖 1 整體流程圖3</p><p>　　圖 2 EMD算法的篩分過程7</p><p>　　圖 3 不同層次的IMF序列7</p><p>　　圖 4 頭部MRI（引自文獻[14]）8</p>

41、<p>　　圖 5 三維網格模型的EMD光滑處理流程（引自文獻[21]）10</p><p>　　圖 6 基于EMD的網格曲面光滑算法（引自文獻[21]）10</p><p>　　圖 7 Lion模型的EMD算法分解得到的IMF和余量信號（引自文獻[22]）11</p><p>　　圖 8 Hu等人EMD算法的不同的三維曲面濾波比較（引自文

42、獻[25]）12</p><p>　　圖 9 三維模型的哈密頓回路（引自文獻[26]）12</p><p>　　圖 10 邊緣保持的多尺度分解光滑過程（引自文獻[44]）15</p><p>　　圖 11 特征點提?。ㄒ晕墨I[45]）16</p><p>　　圖 12 EMD輸入信號19</p><p&

43、gt;　　圖 13 信號的極大值與極小值21</p><p>　　圖 14 信號的上下包絡22</p><p>　　圖 15 信號的中間包絡22</p><p>　　圖 16 Armabillo模型的多尺度分解23</p><p>　　圖 17 點云特征點提取結果27</p><p>　　圖 18

44、 Dragon模型的多尺度分解結果30</p><p>　　圖 19 八面體模型的顯式特征保持的點云EMD31</p><p>　　圖 20 濾波器設計32</p><p>　　圖 21 dodecahandle和venubody點云模型的平滑結果33</p><p>　　圖 22 hand和tweety點云模型的平滑結果3

45、4</p><p>　　圖 23 Max Planck和dog模型的平滑和增強結果35</p><p>　　圖 24 立方體模型的對比結果36</p><p>　　圖 25 Fandisk模型的對比結果37</p><p>　　圖 26 顯式和隱式特征保持的點云EMD算法說明39</p><p>　　圖

46、 27 三維張量的分解表示41</p><p>　　圖 28 張量矩陣分解的三種不同的結構42</p><p>　　圖 29 張量投票的分析42</p><p>　　圖 30 不同模型的特征度量43</p><p>　　圖 31 隱式特征保持的點云EMD算法說明圖47</p><p>　　圖 32

47、 Gargo模型的平滑和增強結果49</p><p>　　圖 33 Man模型的平滑和增強結果49</p><p>　　圖 34 Armadillo模型的平滑和增強結果50</p><p>　　圖 35 兩個簡單模型的去噪50</p><p>　　圖 36 細節(jié)保持的去噪51</p><p>　　圖

48、37 不同模型的一致性特征點檢測結果52</p><p>　　圖 38 本文立方體模型去噪結果與其他點云去噪方法對比54</p><p>　　圖 39 本文Fandisk模型去噪結果與其他點云去噪方法對比55</p><p><b>　　表 目</b></p><p>　　表 1 點云EMD19&l

49、t;/p><p>　　表 2 顯式特征保持點云EMD26</p><p>　　表 3 各模型參數設置及時間統(tǒng)計(s)37</p><p>　　表 4 隱式特征保持點云EMD44</p><p>　　表 5 各模型參數設置及時間統(tǒng)計(s)55</p><p><b>　　緒論</b>&l

50、t;/p><p><b>　　選題背景與來源</b></p><p>　　本課題來源于國家自然科學基金重大項目“可交互人體器官數字模型及虛擬手術研究”。該項目主要圍繞人體器官多尺度幾何建模理論、人體器官物理與生理建模理論、手術虛擬仿真與手術評價理論三個基礎科學問題展開。隨著三維掃描設備的普及和掃描獲取技術的快速發(fā)展，大規(guī)模散亂點云數據處理得到了國內外學者的廣泛關注，并在工

51、業(yè)設計、機械制造、文物復原與保護等領域發(fā)揮著日益重要的作用。爆發(fā)式增長的點云數據給我們帶來了新的機遇和挑戰(zhàn)，同時也迫切尋求新的點云數據分析和處理技術。在信號處理中，經驗模態(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，簡稱EMD)作為一種有效信號分析方法被廣泛應用于非線性、非靜態(tài)信號處理中。EMD能夠將原始數據逐級分解為不同時間尺度的內蘊模態(tài)函數(Intrinsic Mode Functions，簡稱IMFs)和一個單

52、調光滑的余量。它擺脫了Fourier 分析、短時Fourier分析以及小波分析本質上對平穩(wěn)信號處理方法的依賴，被認為是信號分析與處理領域的一個重大革新，在一維信號和二維圖像分析與處理中得到了廣泛的應用。因此，該項目需要設計點云數據的經驗模態(tài)分解，為點云數據的多</p><p><b>　　研究意義</b></p><p>　　EMD作為處理非線性、非平穩(wěn)信號的一種有效

53、工具，近年來在三角形網格處理中得到了關注，并成功應用于三角形網格的平滑與增強、特征提取與細節(jié)傳遞等網格處理中。但是將EMD直接應用到散亂點云數據中還存在諸多困難和挑戰(zhàn)。首先，由掃描獲取的點云數據不可避免的存在噪聲、離群點、采樣不均、數據缺失等問題。其次，相比于三角形網格，點云數據缺乏固有的拓撲連接關系，處于離散無序狀態(tài)。再次，面對復雜、不規(guī)則的幾何模型，特別是帶有顯著特征的點云數據，在EMD處理過程中如何保持模型固有的幾何特征是EMD

54、在點云數據處理中面臨的重要困難。</p><p>　　經典EMD算法沒有保持特征的性質，使得現有EMD算法在圖形圖像處理中無法很好的保持數據自身的特征，為了實現特征保持的EMD算法，學者們提出了特征保持的EMD算法，這些特征保持的方法分為后處理的方式和基于顯式特征點約束的方式，但是這些算法仍然沒有從根本上實現三角形網格上特征保持的EMD。</p><p>　　為了解決上述EMD不能直接應用

55、到散亂點云數據和EMD算法不能保持特征的問題，本文首先將EMD算法推廣到點云數據中，然后用兩種方法實現了特征保持的點云數據的EMD算法：顯式特征保持的點云EMD算法和隱式特征保持的點云EMD算法。顯式特征保持的點云EMD算法通過顯式提取特征點的方式，并將特征點作為約束應用在求解上下包絡的過程中，實現了顯式特征保持的點云EMD算法，并將顯式特征保持的點云EMD算法應用到點云數據的平滑與增強中。隱式特征保持的點云EMD算法首先定義了點云數據

56、的特征度量，然后將特征度量應用到求解上下包絡和均值包絡的過程中，實現了隱式特征保持的點云EMD算法，并將隱式特征保持的點云EMD算法應用到點云數據的平滑與增強、特征保持的點云去噪、一致性特征點提取中。通過將EMD推廣到點云數據中，擴大了EMD在數字幾何處理中的應用范圍，豐富了點云數據的處理方法。</p><p><b>　　研究目標與內容</b></p><p>　　

57、本文的研究目標是將EMD算法推廣到點云數據中，實現顯式和隱式的特征保持的點云EMD算法，基于顯式特征保持的點云EMD算法實現點云數據的平滑和增強應用，并將隱式特征保持的點云EMD應用到點云數據的平滑與增強、特征保持的點云去噪、一致性特征點提取等應用中，為點云數據處理提供了新的數據處理方法。</p><p>　　針對以上研究目標，本文的工作為經驗模態(tài)分解在點云數據處理中的應用。研究內容主要包括如下三點：點云的EMD

58、算法、顯式特征保持的點云EMD算法、隱式特征保持的點云EMD算法。本文的整體流程圖如圖 1所示。</p><p>　　1) 點云EMD：由于三維點云數據不可避免的存在噪聲、離群點、采樣不均、數據缺失等問題，將EMD直接應用到散亂點云數據中還存在諸多困難和挑戰(zhàn)。本文將EMD推廣到點云數據中。首先，將經典EMD算法推廣到點云數據中，需要定義信號作為EMD算法的輸入。本文采用點云數據的拉普拉斯坐標與法向的內積作為點云E

59、MD算法的輸入信號，此信號具有旋轉不變性和平移不變性，能夠用于點云模型的重建中。然后，基于輸入信號，提取信號中的極值點，并將極值點作為插值點求解上下包絡，由上下包絡的平均值得到的均值包絡如果滿足篩選的收斂條件就獲得內蘊模態(tài)函數，否則，繼續(xù)迭代上述過程。當分解出來的內蘊模態(tài)函數的個數達到指定的個數，停止點云EMD算法。最后，為了更加方便觀察不同應用的結果，給出了點云模型的重建方法。</p><p>　　圖 1 整

60、體流程圖</p><p>　　2) 顯式特征保持的點云EMD：以點云數據的拉普拉斯矩陣與法向的內積作為輸入信號，實現顯式特征保護的點云EMD算法。顯式特征保持的經驗模態(tài)分解是通過迭代的過程依次得到內蘊模態(tài)函數和余量。在每一次的迭代過程中，首先，計算輸入信號的極值點和點云數據的特征點。然后，以特征點作為約束，由極值點進行插值計算輸入信號的上下包絡。最后，由輸入信號減去上下包絡的均值得到內蘊模態(tài)函數和余量，同時迭代的

61、將余量作為輸入信號。由顯式特征保持的點云EMD算法分解出來的內蘊模態(tài)函數的余量的組合給出了算法的應用，本文基于濾波器的設計，給出了點云數據的平滑與增強的應用。</p><p>　　3) 隱式特征保持的點云EMD：顯式特征保持需要提取點云數據的特征點，在提取特征點的過程中對噪聲等信息比較敏感，為進一步實現特征保持的點云EMD，提出了以各向異性特征度量為指導的隱式特征保持EMD分解算法，通過建立各向異性特征度量而不需

62、要顯式提取特征點，從根本上解決了EMD算法不能保持特征的局限。隱式特征保持的EMD與顯式特征保持EMD都是通過迭代的過程依次得到內蘊模態(tài)函數和余量。在每一次的迭代過程中，不需要提取特征點，通過構建點云張量投票，利用投票張量矩陣得到特征度量，并應用于EMD上下包絡的求解過程中，得到特征保持的EMD分解?；陔[式特征保持的點云EMD算法分解出來的內蘊模態(tài)函數和余量的組合給出了點云數據的平滑與增強、特征保持的點云去噪、一致性特征點檢測的算法應

63、用。</p><p><b>　　論文組織結構</b></p><p>　　本文分為五章，除本章緒論外，其他四章分別給出了相關關鍵技術以及研究現狀的介紹，點云EMD算法，顯式特征保持的點云EMD算法，隱式特征保持的點云EMD算法。上述內容簡要介紹如下：</p><p>　　第一章 緒論。本章主要介紹本文的課題背景及來源以及本文的研究意義；闡述論

64、文工作的研究目標和主要研究內容；介紹論文全文的組織安排。</p><p>　　第二章 關鍵技術及研究現狀。本章首先介紹了歐幾里得空間中的EMD算法，給出了經典一維EMD算法分解流程以及其在歐幾里得空間中的研究現狀；其次介紹了三維幾何數據的EMD算法，目前三維幾何數據的EMD算法是通過數據降維的方式實現的，包括將三維模型信號轉化為二維信號和一維信號的方法，還可以直接將EMD算法應用到三維模型信號中；最后闡述了特征保

65、持的EMD算法，包括基于EMD算法三維模型的特征保持的算法和其他三維模型特征保持的方法。</p><p>　　第三章 點云EMD。本章將經典EMD推廣到點云數據中，首先以拉普拉斯坐標與法向的內積作為輸入信號，此信號具有旋轉不變性和平移不變性，可以用于點云信號的重建；然后，介紹了點云EMD算法的分解流程，基于輸入信號，提取信號中的極值點，并將極值點作為插值點求解上下包絡，由上下包絡的平均值得到的均值包絡如果滿足篩選

66、的收斂條件就獲得內蘊模態(tài)函數，否則，繼續(xù)迭代上述過程。當分解出來的內蘊模態(tài)函數的個數達到指定的個數，停止點云EMD算法；最后，為了更加方便觀察不同應用的結果，給出了點云模型的重建方法。</p><p>　　第四章 顯式特征保持的點云EMD。本章在第三章的點云EMD算法的基礎上，實現了顯式特征保持的點云EMD算法。本章算法通過顯式提取特征點并將特征點作為約束應用到上下包絡的求解中實現的。本章首先給出了顯式特征保持的

67、點云EMD算法的分解流程，基于輸入信號，提取信號中的極值點和點云數據的特征點，將特征點作為約束，由極值點進行插值計算輸入信號的上下包絡。由輸入信號減去上下包絡的均值得到內蘊模態(tài)函數和余量，同時迭代的將余量作為輸入信號，由此可以得到有限個內蘊模態(tài)函數和余量；然后，由顯式特征保持的點云EMD算法分解出來的內蘊模態(tài)函數的余量的組合給出了算法的應用，本章基于濾波器的設計，給出了點云數據的平滑與增強的應用；最后，為了驗證本章算法的有效性，給出了本

68、章算法與現有特征保持的算法的對比結果與參數設置和時間統(tǒng)計情況。</p><p>　　第五章 隱式特征保持的點云EMD。顯式特征保持需要提取點云數據的特征點，在提取特征點的過程中對噪聲等信息比較敏感，為進一步實現特征保持的點云EMD，提出了以各向異性特征度量為指導的隱式特征保持EMD分解算法，通過建立各向異性特征度量而不需要顯式提取特征點，從根本上解決了EMD算法不能保持特征的局限。隱式特征保持的EMD與顯式特征保

69、持EMD都是通過迭代的過程依次得到內蘊模態(tài)函數和余量。本章首先介紹了由張量投票矩陣構造各向異性度量的方法；然后，以特征度量作為指導，詳細介紹了隱式特征保持的點云EMD算法的分解流程，實現了基于特征度量的上下包絡和均值包絡的求解，實現了特征保持；接著，基于隱式特征保持的點云EMD算法分解出來的內蘊模態(tài)函數和余量的組合給出了點云數據的平滑與增強、特征保持的點云去噪、一致性特征點檢測的算法應用；最后，為了驗證本章算法的有效性，給出了本章算法與

70、現有特征保持的算法的對比結果與參數設置和時間統(tǒng)計情況。</p><p><b>　　關鍵技術及研究現狀</b></p><p>　　歐幾里得空間中的EMD</p><p>　　EMD算法最早由美國工程院院士Huang 等人[]提出，被用于一維非線性、非平穩(wěn)信號的分析與處理。與傅里葉分析、短時傅里葉分析以及小波分析等傳統(tǒng)時頻分析方法不同，EMD是

71、一種完全數據驅動的自適應分析方法，它通過迭代篩分過程將給定的信號分解為頻率由高到低的內蘊模態(tài)函數和余量的形式，能夠擺脫傳統(tǒng)時頻分析方法本質上對平穩(wěn)數據處理方法的依賴，不再依賴具體的基函數?；谏鲜鰞?yōu)勢，EMD 已經在一維和二維歐式空間信號的分析和處理中得到了廣泛的應用[]，如生物醫(yī)學工程[]、語言處理[]、圖像融合[]、圖像壓縮[]及圖像分析[]等。</p><p>　　下面簡要介紹和分析經典一維信號EMD[1]

72、及其在歐幾里得空間中的應用與發(fā)展。</p><p><b>　　經典一維信號EMD</b></p><p>　　經典一維信號EMD算法通過迭代篩分過程從輸入信號中提取出內蘊模態(tài)函數(IMFs)，剩余的余量趨近于常量或者呈現單調趨勢。每個IMF代表一個諧波函數的震蕩模式，第一個IMF從輸入信號中按照以下算法進行提?。?lt;/p><p>　　計算輸入

73、信號的所有局部極大值點和局部極小值點；</p><p>　　用三次樣條插值方法對所有的局部極大值點插值得到上包絡，同樣地，對所有的布局極小值點插值得到下包絡；</p><p>　　計算上下包絡的均值包絡；</p><p>　　由輸入信號和均值包絡計算剩余信號。如果滿足計算IMF結束的標準，就被定義為第一個IMF，否則另然后重復整個計算IMF的過程。</p>

74、;<p>　　第一個IMF表示為，作為第一個信號余量。下一個IMF和信號余量以第一個信號余量為輸入信號通過上述的算法進行提取，直至信號余量為一個常數或者趨于單調，如圖 2所示，展示了EMD算法篩分的過程，其中(a)表示原始輸入信號；(b)表示由局部極值點求解的上下包絡及求得的均值包絡；(c)表示原始信號與均值包絡之差，如果此信號滿足IMF結束的標準，就是第一個IMF信號曲線。</p><p>　　圖

75、 2 EMD算法的篩分過程</p><p>　　當信號余量為一個常數或者趨于單調時，停止上述的迭代篩分過程。此時原始信號可以分解為如下的形式：</p><p>　　其中J表示IMF的數量，表示第k個IMF，表示提取J個IMF后，對應的信號余量。首先被提取出來的IMF包含了精細尺度的細節(jié)信息，后續(xù)的IMF則反映了平滑后的特征，如圖 3所示，展示了不同層次IMFs序列，從圖中序列容易看出，由

76、上到下，不同尺度IMF，所反映的幾何細節(jié)信息由精細到平滑。</p><p>　　圖 3 不同層次的IMF序列</p><p>　　由上面的介紹中，可以看出EMD算法的關鍵步驟局部極值點的定義，計算包絡的插值方法以及IMF提取的收斂準則。</p><p><b>　　EMD研究現狀</b></p><p>　　經典的一維

77、EMD通過迭代的篩分操作得到所有的IMF分量和余量。篩分中通過對極值點進行三次樣條插值求取上下包絡，進而得到均值信號。為了提高算法的性能并減少噪聲的影響，學者們試圖通過諸如B樣條[]、高次樣條[]等工具直接計算均值信號加以改進。在篩分過程中，邊界處通常會出現虛假的振蕩，產生較大的誤差，而且這種誤差會隨著篩分過程的不斷進行向內部數據傳播，從而影響整個數據的分解。為此，國內外很多學者提出多種方法對邊界進行處理[]。EMD 分解出來的IMFs

78、分量經常會出現模態(tài)混合現象，即某些IMFs 分量中會出現幾種尺度的混合，影響EMD 的結果。為了消除這種現象，Wu等人[]提出了一種借助噪聲的EEMD算法。此外，徐冠雷等人[]嘗試建立分解準確性的評價標準以及EMD完善的數學理論。</p><p>　　二維EMD中最簡單的思路是直接將一維算法拓展到二維圖像的行或者列中，它是一種偽二維的EMD[]。Nime等人[]首次提出了二維經驗模態(tài)分解(Bi-dimension

79、al Empirical Mode Decomposition，簡稱BEMD)的思想方法，給出了BEMD算法模型，并研究了 BEMD方法在圖像紋理特征提取中的應用。BEMD算法利用數學形態(tài)學中的形態(tài)重建因子檢測圖像的極值點，并且利用徑向基函數進行極值點插值，提出了一個二維篩分過程來進行紋理抽取，提取出圖像的二維IMF。通過將原始圖像自適應地分解為有限數量的子圖像，可以將圖像從高頻到低頻的各個細節(jié)清晰地分解出來，余量部分表示圖像趨勢。提取

80、出來的IMF都具有當前圖像中局部最高的空間振蕩頻率，也就是當前圖像的紋理特征。現在大部分BEMD的應用都基于這篇文章的算法。圖 4展示了頭部MRI分解為三個子圖像和一個余量的結果，結構由精細到粗糙。 </p><p>　　圖 4 頭部MRI（引自文獻[14]）</p><p>　　為了在二維空間上獲得更為準確的IMFs，研究者們提出了通過徑向基函數插值、多元樣條插值、基于Delau

81、nay 三角化的三次多項式插值等曲面插值方法提取二維信號的包絡曲面，將一維EMD 的思想推廣到二維空間上[]。為了提高算法的性能，Xu等人[]通過有限元和雙三次樣條插值直接計算均值曲面，避免了上下包絡曲面的求解。國內方面，劉忠軒等人[]提出先確定分解方向，再進行行列分解的方向EMD 方法。徐冠雷等人[]提出了限鄰域EMD方法，能夠克服分解過程中由于圖像區(qū)域點灰度值的劇烈變換等因素引起的灰度斑現象。</p><p>

82、;　　目前，EMD也被擴展應用到高維信號的處理中，如規(guī)則的體數據中。EMD在高維信號中的應用，難點在于選取極值點后上下包絡的計算。受數據降維的啟發(fā)，在流體模擬中Gao等人[]和Ren等人[]均利用空間填充曲線將定義在三維體數據上的信號轉化為一維信號，并采用經典EMD算法中的三次樣條插值計算上下包絡。數據降維一方面加速了高維信號的EMD 計算，但是由數據降維帶來的信息缺失卻降低了信息分解的精確程度。</p><p>

83、;　　三維幾何數據中的EMD</p><p>　　經驗模態(tài)分解作為處理非線性、非平穩(wěn)信號的一種有效工具，近年來在三角形網格處理領域也開始受到關注。不同于規(guī)則的歐幾里得空間，三角形網格沒有規(guī)則的定義域且形狀復雜，這給EMD在三角形網格上應用帶來困難。下面介紹三維幾何數據中的EMD的處理方法。</p><p>　　三維模型信號轉化為二維信號</p><p>　　三維曲面

84、上經驗模態(tài)分解方法大多通過將曲面參數化到平面或者球面上，進而將其轉化為平面信號，由二維經驗模態(tài)分解算法得到三維幾何信號的經驗模態(tài)分解，并且進行光滑去噪、特征增強等數字幾何處理應用。將三維信號參數化到平面上，在平面參數化的過程中，容易導致彎曲，所以Qin 等人[]將三維模型的幾何信號參數化到單位圓上，利用EMD的性質實現對三維模型的去噪。對于單位圓可以在網格的每一個點定義關于球面坐標的二維信號坐標值，其中，屬于，屬于。所以這個擴展的球面信

85、號就可以轉化為的二維平面信號，接下來就可以利用二維信號經驗模態(tài)分解方法進行分解。由于球面參數化之后不是規(guī)則的，所以需要重新采樣不規(guī)則球面得到規(guī)則網格，在二維EMD算法處理球面網格的過程中利用插值方法計算對應于初始模型的新的網格的幾何坐標。如圖 5展示了三維網格模型的EMD光滑處理流程，其中(a)是初始網格模型，(b)是在球面參數化的網格，(c)是在球面重新采樣得到的規(guī)則球面網格，(d)是最終的光滑處理后的模型。如圖 6展示了對于輸入模型

86、(a)應用EMD算法之后的光滑處理結果，由(b)可以看出三維網格模型不僅保持了原始模型的拓撲結構，而且在去噪的同</p><p>　　圖 5 三維網格模型的EMD光滑處理流程（引自文獻[21]）</p><p>　　圖 6 基于EMD的網格曲面光滑算法（引自文獻[21]）</p><p><b>　　直接計算三維EMD</b></p&

87、gt;<p>　　將三維曲面參數化到二維平面上方法開創(chuàng)性地將經驗模態(tài)分解方法推廣到曲面上，三維幾何信號的經驗模態(tài)分解為數字幾何處理的研究提供了一種新的有效工具，但是這種基于曲面參數化的方法容易受到幾何形體拓撲結構的限制。為了克服這個局限性，Wang等人[]提出不用任何參數化的技術，直接在曲面上進行三維經驗模態(tài)分解的方法，和歐幾里得空間中求上下包絡的方法一樣，通過最小化線性薄板樣條能量</p><p>

88、;　　通過將這個能量函數轉化為歐拉公式</p><p>　　其中是三維曲面的Laplace–Beltrami算子[]，接下來用直接消元法[]通過求解狄利克雷邊界條件的雙調和場得到三角形網格上信號的上下包絡，此方法避免了曲面參數化問題，擴大了經驗模態(tài)分解在三角形網格處理的使用范圍。如圖 7是應用此方法將帶有高斯噪聲的Lion模型分解為5個IMF和余量的信號表示，可以看出第一個IMF包含高頻信息，剩余的IMF包含著低

89、頻信息，余量趨近于原來的函數信號。</p><p>　　圖 7 Lion模型的EMD算法分解得到的IMF和余量信號（引自文獻[22]）</p><p>　　近幾年，Hu等人[]以平均曲率作為EMD 的輸入信號，此輸入信號是由拉普拉斯矩陣和點的法向的內積計算得到，具有旋轉不變性，能夠更加準確的提取三角形網格上的不同尺度特征，并且避免了開平面的邊界收縮問題。如圖 8所示，第一行是Hu等人[2

90、5]以平均曲率作為EMD輸入信號的曲面濾波，第二行是Wang等人[22]的曲面EMD方法的曲面濾波，(a)原始模型(b-f)是用對應于IMF的線性濾波函數(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(1,2.5,1)，(1,1,2.5)得到的濾波結果。由圖 8(c)和(d)可以看出Wang等人的方法由于所有的細節(jié)特征都在第一個IMF里，所以不能有效地將不同尺度特征分離開來。</p><p>　　圖 8 Hu

91、等人EMD算法的不同的三維曲面濾波比較（引自文獻[25]）</p><p>　　三維模型信號轉化為一維信號</p><p>　　為實現三角形網格上EMD的快速計算，Wang 等人[]利用空間填充曲線方法將三角形網格上的信號轉換為一維信號，如圖 9是三角形網格上的一維信號展示，其中(a)是以藍色點為起點，紅色點為終點的空間填充的一維哈密頓回路，(b)是三維模型用藍色和紅色表示的網格哈密頓回路

92、的順序。然后利用經典的一維EMD 算法對輸入信息進行分解。此方法用空間填充曲線將三維網格EMD轉化為一維信號的EMD，不僅加快了三維網格的EMD的計算過程，而且能通過希爾伯特譜變換對三維網格曲面進行分析和處理。</p><p>　　圖 9 三維模型的哈密頓回路（引自文獻[26]）</p><p>　　三維幾何數據的EMD總結</p><p>　　目前三維幾何數據的

93、EMD方法已經逐漸得到關注，三維EMD的方法包括將三維模型信號通過參數化的方式轉化為二維信號，直接在三維模型信號上進行分解以及將三維模型信號轉化為一維信號這三種方法。目前，在計算機動畫、逆向工程、醫(yī)學診斷等應用需求的推動下，三維點云數據處理技術受到越來越多的關注。但是，相對于三角形網格數據，點云數據缺乏固有的拓撲連接關系，幾何信息較少，并且易受噪聲、離群點等因素的影響，目前還沒有EMD在點云數據上應用的相關研究。EMD作為一種處理非線性

94、非穩(wěn)定性信號的方法，將為點云數據的幾何處理提供新的幾何處理思路，可見將經驗模態(tài)分解推廣到三維點云數據中是必然的發(fā)展趨勢。</p><p><b>　　特征保持的EMD</b></p><p>　　經典的一維信號EMD算法存在過平滑的局限性，使得現有EMD算法在圖形圖像處理中無法很好地保持數據自身的特征。本節(jié)介紹現有的三維模型特征保持的方法和基于EMD的特征保持的方法。

95、</p><p><b>　　三維模型特征保持</b></p><p>　　在網格特征保持的去噪中，現有的去噪方法分為三類，一類方法是雙邊濾波。雙邊濾波能保持特征，并且方法簡單，雙邊濾波已經被用于各種圖像處理，視頻處理，計算機視覺中。標準的雙邊濾波方法已經應用到網格去噪[]、曲面重建[]、網格特征保持[]等的幾何處理中。網格去噪的另一種方法是首先將點分成角點，邊緣等類

96、別，然后對每一種類型的點應用不同的去噪方法。不同點的分類方法已經比較成熟，例如，體積積分不變準則[]，二面角分布準則[]，二次曲面擬合[]，面法向差異準則[]，張量投票準則[]等。網格去噪的最后一種方法是稀疏化優(yōu)化的方法。He等人[]應用L0最小化稀疏的基于邊緣的拉普拉斯算子上，能有效的保持尖銳特征。稀疏化方法對分片扁平形狀處理的很好，但是對于非CAD模型效果不好。Wang等人[]實現了L1優(yōu)化方法來從有噪聲的網格中恢復尖銳的特征，這個

97、方法保證了工作獨立，但對于大的網格計算很耗時。</p><p>　　在三維點云數據的特征保持的去噪中，由于三維點云數據在去噪的過程中缺少連接信息使得三維點云數據的去噪充滿挑戰(zhàn)。在三維點云數據去噪過程中保持特征就更加困難，因為在去噪過程中這些特征很難從噪聲中分離。三維點云數據的去噪一類方法是曲面重建。Lipman等人[]提出的局部最優(yōu)化投影算子相關的方法能夠很好的對三維點云數據去噪，對離群點非常魯棒，局部最優(yōu)化投影

98、算子的核心是投影任意數目的點到點云數據中來代表原始點云數據的局部L1中值。Huang等人[]提出的權重局部最優(yōu)化投影算子方法產生了更好地均勻分布的點云數據，改善了局部最優(yōu)化投影算子方法。Liao等人[]提出的內核局部最優(yōu)化投影算子方法大大降低了原始局部最優(yōu)化投影算子的計算時間。Huang等人提出的各向異性的局部最優(yōu)化投影算子根據點的方向將三維點云數據各向異性地投影到局部L1中值，相比于權重局部最優(yōu)化投影算子和內核局部最優(yōu)化投影算子能更好

99、的保持三維點云數據的尖銳的特征。然而，局部最優(yōu)化投影算子用的局部操作子，當存在高噪聲和很多特征的時候，局部最優(yōu)化投影算子會出現過光滑的現象。在由點云數據進行曲面重建時，也涉及到三維點云數據的去噪。曲面重建的方法主</p><p>　　基于EMD的三維模型特征保持</p><p>　　由于經典的一維信號EMD算法沒有保持特征的性質，所以EMD算法在圖像圖形處理中無法保持原來的特征。為了實現特

100、征保持的圖像平滑，在EMD應用的結果上，基于對比度的濾波算子被用于進一步增強特征[]。該后處理方法可以在一定程度上增強部分特征，但顯著特征仍然存在過度平滑的情況?；贓MD 思想，Subr 等人[]提出邊緣保持的多尺度圖像分解，核心思想是把局部極大值點和局部極小值點之間的振蕩作為細節(jié)。如圖 10是邊緣保持的多尺度圖像分解的過程，對于輸入數據(a)，首先計算輸入數據的局部極大值點和局部極小值點(b)，然后計算由極值點插值得到的上下包絡(c

101、)，最后由上下包絡的均值包絡就是光滑的結果(d)。</p><p>　　圖 10 邊緣保持的多尺度分解光滑過程（引自文獻[44]）</p><p>　　在三維幾何處理中，受Subr等人[44]工作的啟發(fā)，Wang 等人[22]通過薄板樣條插值計算三維幾何信號的包絡，直接將一維EMD推廣到三維幾何曲面上。該算法進一步通過構建各項異性的拉普拉斯算子，進行特征保持的EMD 多尺度分解。但該特征

102、保持的插值算法不夠魯棒，也無法處理開曲面。Hu等人[25]引入平均曲率作為EMD的輸入信號，并以事先提取到的特征點作為約束進行特征保持的數據平滑和去噪。圖 11是對帶有高斯噪聲的模型利用Wang等人[]的三角網格的特征提取方法提取特征點的結果。類似的，在提取到特征點后，Wang等人[26]通過將特征信號與輸入信號分離，提出了一種分而治之的EMD分解框架。</p><p>　　在實際應用中，現有的EMD的保持特征的

103、方法，無論是基于后處理的方式，還是基于顯式特征點約束的方式，目前已有算法仍沒有從根本上實現三角形網格上特征保持的EMD。受逆向工程、醫(yī)學診斷等應用需求的推動，將EMD推廣到點云數據中是一個必然的發(fā)展趨勢，由于經典EMD不具有保持特征的性質，所以將EMD推廣到三維點云數據中，特征保持是我們需要解決的問題。通過顯式提取特征點作為約束進行特征保持的方法，在特征點提取的過程中容易受到模型本身拓撲結構以及噪聲的影響，對特征保持的結果產生影響。本文

104、提出了顯式和隱式的特征保持的三維點云數據的EMD兩種方法，實現了不需要顯式提取特征點可以保持特征。</p><p>　　圖 11 特征點提?。ㄒ晕墨I[45]）</p><p><b>　　本章小結</b></p><p>　　本章介紹了與論文研究內容相關的背景技術以及相關理論技術的研究現狀，是本文經驗模態(tài)分解在三維點云數據處理中的研究工作的

105、理論和技術基礎。首先介紹了歐幾里得空間中的EMD，簡要介紹了經典一維信號EMD及其在歐幾里得空間中的研究現狀。然后介紹了經驗模態(tài)分解在三維幾何數據中的研究現狀，將EMD推廣到三維幾何數據中包括將三維模型信號通過參數化的方式轉化為二維信號、直接計算三維EMD、三維模型信號轉化為一維信號這三種方式。最后，由于經典EMD沒有特征保持的特性，所以將EMD推廣到三維模型中需要解決的一個問題就是特征保持，分別介紹了三維模型的特征保持的研究現狀和基于

106、EMD的三維模型特征保持的研究現狀。</p><p><b>　　點云EMD</b></p><p>　　由于三維點云數據不可避免的存在噪聲、離群點、采樣不均、數據缺失等問題，將EMD直接應用到散亂點云數據中還存在諸多困難和挑戰(zhàn)。本文的研究目標就是將經典EMD算法推廣到點云數據中，為點云數據的處理提供新的幾何處理方法。在將經典EMD算法推廣到點云數據中時，需要定義信號

107、作為EMD算法的輸入，本文采用點云數據的拉普拉斯坐標與法向的內積作為點云EMD的輸入信號，此信號具有旋轉不變性和平移不變性，能夠用于點云EMD的輸入信號和點云模型的重建中?；谛D不變性和平移不變性的輸入信號，本文介紹了將經典EMD算法推廣到點云數據中的算法流程。點云EMD算法涉及極值點提取、上下包絡求解、篩選過程和EMD終止條件三個部分。由點云EMD算法分解得到的IMF和余量的組合可以實現點云數據的不同應用，為了更加方便的觀察不同應用