高中數(shù)學論文 圖形計算器應(yīng)用能力測試活動學生 淺談卡西歐圖形計算器在常用函數(shù)圖象上的應(yīng)用

1、<p>　　淺談卡西歐圖形計算器在常用函數(shù)圖象上的應(yīng)用</p><p>　　摘要：指出形象思維的重要性，給出了高考高頻函數(shù)題圖象定量具體分析的方法，應(yīng)用圖形計算器在集中復雜函數(shù)題中靈活運用，使復雜抽象函數(shù)簡單化具體化，方便加深印象，使函數(shù)的學習方法更加靈活便捷，學習效率大大提高。本文從函數(shù)定義及出發(fā)，將具體常用常見函數(shù)的圖象性質(zhì)進行總結(jié)，歸納類比，得出普遍結(jié)論。在已知函數(shù)基礎(chǔ)上進行擴展，體會極坐標中圖象

2、的魅力，以及圖像繪制的，簡便性、優(yōu)越性，由以推廣至其他學科領(lǐng)域中的廣泛應(yīng)用。</p><p>　　關(guān)鍵詞：形象思維、指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、復合函數(shù)、高斯函數(shù)、極坐標系下的曲線、圖像特點</p><p>　　對于數(shù)學學科來說，我們在學習上主要運用的是左腦的抽象思維，但從數(shù)學思維模式呈現(xiàn)出的事實來看，我們圖形理解能力的形象思維是最早出現(xiàn)的，而它也是數(shù)學不斷發(fā)展至今的前提，并在數(shù)學的研究學習中騎著舉

3、足輕重的作用?？梢娙绻藗儾痪邆湫蜗笏季S能力，很難會有較高的抽象思維能力，其發(fā)展也將會受到限制。正像數(shù)學家柯爾莫戈洛夫所言：“只要有可能，數(shù)學學者都應(yīng)該盡力把他們正盡力研究的問題從幾何圖形上視覺化?！币虼嗽谟屑夹g(shù)設(shè)備支持下的今天，圖形的精準繪制給我們帶來了一場深刻的變革——應(yīng)用圖形計算器解決圖象問題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用圖形計算器速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提學

4、習效率 、拓寬我們的認知范圍、開拓我們的解題思路，培養(yǎng)我們的想象力和形象思維的理解能力。直觀、準確、全面地針對考試中的問題給予完備解答。</p><p>　　那么，在高中數(shù)學的學習中圖形計算器有哪些應(yīng)用呢？作為一名高中生筆者在此予以介紹:</p><p>　　圖形計算器在指冪對函數(shù)及其簡單復合函數(shù)中的應(yīng)用</p><p>　　1.指數(shù)函數(shù)的一般形式是y=a^x(a&

5、gt;0且≠1) (x∈R），值域為（0, )。a=1時也可以，此時值域恒為1。是在定義域上的單調(diào)下凸，連續(xù)函數(shù)。當a>1時，指數(shù)函數(shù)對于x的負數(shù)值平坦，對于x的正數(shù)值迅速攀升。當0<a<1時，指數(shù)函數(shù)對于x的負數(shù)值迅速攀升，對于x的正數(shù)值平坦，，恒過（0,1）。在x處的切線的斜率等于此處y的值乘上lna。即： 。函數(shù)圖象總是在某一個方向上無限趨向于X軸。由指數(shù)函數(shù)y=a^x與直線x=1相交于點（1，a)可知：在y軸右

6、側(cè)，圖像從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大，相反同理，當a>1時，曲線由左向右逐漸上升，即a>1時，函數(shù)在R上是增函數(shù)；當0<a<1時，曲線逐漸下降即0<a<1時，函數(shù)在 R上是減函數(shù)。</p><p>　　2.對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)可表示為x=a^y，函數(shù)y=log(a)x，（其中a是常數(shù)，a>0且a不等于1）。恒過點（1，0），其中負數(shù)和零沒有對數(shù)。</p>

7、<p>　　3.反函數(shù)的性質(zhì)：定義域和值域與原函數(shù)互換，圖像關(guān)于直線y=x對稱即原函數(shù)過（m，n）反函數(shù)過（n,m），原函數(shù)與反函數(shù)具有相同單調(diào)性，具有相同的奇函數(shù)性質(zhì)（只有單調(diào)函數(shù)才有反函數(shù)偶函數(shù)一般無反函數(shù)，若要求則分段求解）。</p><p>　　例：解決y=a^x與y=x交點問題：一般方法如下，設(shè)A（x，y）在曲線上求導切線斜率為k=a^xlna，解出切線方程令其過原點解得x=1/lna，k=

8、elna，討論當k=1即a≈1.4時相切，當a＞1.4時相離0＜a＜1.4時相割?？梢杂脠D形計算器根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖象，并可以在同一個坐標系中作出多個函數(shù)的圖象直觀比較各圖象的形狀和位置，對偶記憶。應(yīng)用圖形計算器的“動態(tài)圖”功能，更能方便看出圖象隨變量a的變化而反映出其變化趨勢，對此提出有關(guān)猜想并繼續(xù)得到證實，用以全面了解函數(shù)加深對底數(shù)a的幾何意義認了解，更實在地把握函數(shù)。</p><p>　　指、

9、對數(shù)的復合函數(shù)：設(shè)y=f(u）的定義域為Du函數(shù)u=g(x）的定義域為Dx，值域為Mx,那么對于Dx內(nèi)的任意一個x經(jīng)過u；有唯一確定的y值與之對應(yīng)，因此變量x與y之間通過變量u形成的一種函數(shù)關(guān)系，記為：y=f[g(x)]。當指、對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)復合時：有以f（x）為x底的對數(shù)、以x為底f（x）的對數(shù)、以a為底f（x）的指數(shù)等。需要看定義域以及參考復合函數(shù)增減性關(guān)系（同增異減）或奇偶性原則（內(nèi)奇則奇，內(nèi)偶同外）配合求解或證明，應(yīng)用圖形計

10、算器推理得到普遍規(guī)律，概念理解易如反掌，做題事半功倍。而當求解復合函數(shù)根的分布時圖形計算器體現(xiàn)了極大優(yōu)勢，變量取值、直觀分析全圖，簡練明快，精準詳細。</p><p>　　冪函數(shù)是形如y=x^a(a常為有理數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)。冪函數(shù)具有以下通性：所有的冪函數(shù)在（0，+∞）上都有各自的定義，并且圖像都過點（1,1）和(0,0）。在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；a>

11、1時，圖像開口向上；0<a<1時，圖像開口向右。圖像不過第四象限。在第一象限內(nèi)，當x從右趨于(0,0）時，圖象在y軸上方趨向于(0,0）時，圖像以y軸為漸近線，當x趨于+∞時，圖象圖像以x軸為漸近線。冪函數(shù)的特殊性：當a≤-1且a為奇數(shù)時，函數(shù)在第一、第三象限為減函數(shù)；當a≤-1且a為偶數(shù)時，函數(shù)在第二象限為增函數(shù)；當a=0且x不為0時，函數(shù)圖象平行于x軸且y=1、但不過(0,1)；當0<a<1時，函數(shù)是增函數(shù)；

12、當a≥1且a為奇數(shù)時，函數(shù)是奇函數(shù)當a≥1且a為偶數(shù)時，函數(shù)是偶函數(shù)。</p><p>　　利用圖形計算器來分析高斯函數(shù)的性質(zhì)</p><p>　　高斯函數(shù)（y=Intg x)：設(shè)，用[x]表示不超過的最大整數(shù)。則稱為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù)。顯然，的定義域是R，值域是離散的Z。任一實數(shù)都能寫成整數(shù)部分與非負純小數(shù)之和，即，因此，，這里，為的整數(shù)部分，</p><p>

13、;　　高斯函數(shù)圖象性質(zhì)：每段函數(shù)定義域左閉右開，“階梯”向上不減的無界函數(shù)，當時，有。。類似還有鋸齒狀的而（x-Intg x）用{χ}表示x的非負純小，數(shù)其定義為的小數(shù)部分。定義域為實數(shù)集值域為[0,1)。周期為1，在每一段圖像（指[n，n+1)n為整數(shù)）上為單調(diào)遞增。并且[{x}]值恒為0。類似y=Intg x還有y=Int x</p><p>　　其圖象關(guān)于原點對稱，在正實數(shù)上的圖像與y=Intg x重合，

14、即在x軸負半軸上兩圖像關(guān)于y=x對稱。y=Frac x，其圖象關(guān)于原點對稱在x軸正半軸上與y=x-Intg x圖像重合，在x軸負半軸將y=x-Intg x圖像向上平移1個單位得到的。關(guān)于高斯函數(shù)的復合函數(shù)：[f（x）]，f（[x]）其圖象在f（x）附近波動。</p><p><b>　　極坐標系中的曲線</b></p><p>　　極坐標系為高考中的選考題目，與平面幾

15、何聯(lián)系非常密切，據(jù)此應(yīng)用圖形計算器做出圖象更加深印象對此進行直觀深刻的理解。其在平面內(nèi)由極點、極軸和極徑組成的坐標系?？筛鶕?jù)x=ρcosθ、y=ρsinθ由笛卡爾系轉(zhuǎn)化而來，以下介紹幾種較為經(jīng)典的函數(shù)圖象。</p><p>　　阿基米德螺線，ρ=aθ（a＞0）改變參數(shù)a將改變螺線形狀，b控制螺線間距離，阿基米德螺線有兩條螺線，一條θ > 0，另一條θ < 0。兩條螺線在極點處平滑地連接，互為鏡像?？梢?/p>

16、想象一只小蟲在勻速旋轉(zhuǎn)盤上由中心沿半徑勻速向外爬行則其運動軌跡為該螺線。</p><p>　　圓錐曲線：橢圓，展示了半正焦弦圓錐曲線方程如下：r=l/(1-e cosθ)其中l(wèi)表示半正焦弦，e表示離心率。 如果e < 1，曲線為橢圓，如果e = 1，曲線為拋物線，如果e > 1，則表示雙曲線。其中e表示離心率，p表示焦點到準線的距離。</p><p>　　心形線：ρ=a（1-c

17、osθ）（a＞0，0≤θ≤2π）圖形和心臟的截面輪廓相似，關(guān)于極軸對稱（3）雙紐線(二葉玫瑰線、伯努利雙紐線)：指動點到兩相聚為定長的定距離之積為定值的動點軌跡，點笛卡爾坐標方程為(x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2)。極坐標方程為ρ^2=a^2(cos2θ)（a＞0）。</p><p>　　以上介紹了比較典型的圖象應(yīng)用，總地來說，圖形計算器在高中學習中有很大用途：在幾何中根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出各種