譯文--卡爾曼濾波器介紹

1、<p><b>　　卡爾曼濾波器介紹</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　在1960年，R.E.Kalman發(fā)表了關(guān)于遞歸解決線性離散數(shù)據(jù)濾波器的著名論文，從那時(shí)間起，由于在數(shù)字計(jì)算的大部分提高，Kalman濾波器已成為廣泛研究和應(yīng)用的學(xué)科，尤其是自動(dòng)或輔助導(dǎo)航系統(tǒng)。</p><p&

2、gt;　　Kalman濾波器是一套數(shù)學(xué)等式，它提供了一種有效的以最小均方誤差來(lái)估計(jì)系統(tǒng)狀態(tài)的計(jì)算(遞歸的)方法。它在以下幾方面是非常強(qiáng)大的：它支持過(guò)去、現(xiàn)在、甚至將來(lái)估計(jì)，甚至在系統(tǒng)準(zhǔn)確模型也未知的情況下。</p><p>　　本文的目的是提供一種對(duì)離散的Kalman濾波器的實(shí)用介紹。這些介紹包括對(duì)基本離散kalman濾波器、起源和與之相關(guān)的簡(jiǎn)單(有形)的帶有真實(shí)數(shù)字和結(jié)果的描述和討論。</p>&

3、lt;p>　　1、離散的kalman濾波器</p><p>　　在1960年，R.E.Kalman發(fā)表了關(guān)于遞歸解決線性離散數(shù)據(jù)濾波器的著名論文，從那時(shí)間起，由于在數(shù)字計(jì)算的大部分提高，Kalman濾波器已成為廣泛研究和應(yīng)用的學(xué)科，尤其是自動(dòng)或輔助導(dǎo)航系統(tǒng)。關(guān)于kalman濾波器一般方法的友好介紹可以在〔maybeck79〕的 Chapter.1中找到，但是更完整部分的討論能在〔Sorenson70〕中發(fā)現(xiàn)

4、，它還包括許多有趣的歷史解釋。在〔Gelb74；Grewal93；Maybeck79；Lewis86；Brown92；jacobs93〕中有更多參考。</p><p><b>　　估值過(guò)程</b></p><p>　　Kalman濾波器解決估計(jì)離散時(shí)間控制過(guò)程的狀態(tài)X∈Rn的一般性問(wèn)題，定義線性隨機(jī)差分方程</p><p>　　其中，測(cè)量值Z∈

5、Rm，定義為</p><p>　　隨機(jī)變量WK和VK各自表示系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲，我們假定它們?yōu)橄嗷オ?dú)立的、白噪聲且為正常概率分布</p><p>　　在實(shí)際中，系統(tǒng)噪聲協(xié)方差矩陣Q和測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣R可能隨過(guò)程和測(cè)量時(shí)間而改變，無(wú)論怎樣，我們?cè)谶@里假定它們是常量。</p><p>　　在差分方程（1.1）中，n×n階矩陣A與前一時(shí)刻（K－1）和當(dāng)前時(shí)刻K

6、相關(guān)，這里缺少傳遞函數(shù)或系統(tǒng)噪聲。注意的是，在實(shí)際中，A可能隨各自時(shí)刻改變，但這里我們假定其為常量，n×l階矩陣R與非強(qiáng)制性輸入U(xiǎn)∈Rl和狀態(tài)x有關(guān)，在測(cè)量公式（1.2）中，m×n階矩陣H與狀態(tài)及測(cè)量值ZK有關(guān)，在實(shí)際中，H可能隨各自過(guò)程或測(cè)量時(shí)刻而改變，這里假定它們是常數(shù)。</p><p><b>　　濾波器計(jì)算初步</b></p><p>　　

7、我們定義XK－∈Rn（注意負(fù)號(hào)）為k時(shí)刻及系統(tǒng)k時(shí)刻以前數(shù)據(jù)的priori狀態(tài)估計(jì)，定義XK－∈Rn在得到測(cè)量值ZK的k時(shí)刻的posteriori狀態(tài)估計(jì)。我們這時(shí)定義前后兩狀態(tài)的估計(jì)誤差為</p><p>　　這時(shí)priori估計(jì)協(xié)方差為</p><p>　　并且posteriori估計(jì)協(xié)方誤差為</p><p>　　在推導(dǎo)kalman濾波器方程時(shí)，我們開始找到P

8、osteriori狀態(tài)估計(jì)XK與priori估計(jì)XK－和實(shí)際測(cè)量值ZK與預(yù)測(cè)值Hxk－之差的加權(quán)的線性組合的公式，如式（1.7）。對(duì)于（1.7）的一些調(diào)整在下面的“濾波器的概率初步”中給出。</p><p>　　式（1.7）中（ZK－Hxk）的差叫測(cè)量協(xié)方差或叫余數(shù)，這余數(shù)反映的是預(yù)測(cè)值Hxk與實(shí)際值Zk的不合。一個(gè)零余數(shù)意味著這兩個(gè)數(shù)完全一致。</p><p>　　式（1.7）中n

9、15;m階矩陣選擇Posteriori協(xié)方誤差的最小增益或混合因子，這最小值可以獲得：首先代式（1.7）到上面定義的ek ，代入到（1.6）中，得到期望值，然后然后推導(dǎo)期望結(jié)果K的跡，并設(shè)其為0，最后解得K。對(duì)于 更詳細(xì)的看〔Maybeck79；Brown92；Jacobs93〕。最小化式（1.6）的結(jié)果K的一種形式如下</p><p>　　從（1.8）中，我們可以看到測(cè)量均方誤差R趨于0時(shí)，增益K加權(quán)余數(shù)會(huì)越大

10、，尤其</p><p>　　另一方面，當(dāng)Priori估計(jì)協(xié)方誤差PK－趨于0時(shí)，增益k加權(quán)余數(shù)越小，尤其</p><p>　　考慮加權(quán)K的另一種方法：當(dāng)測(cè)量協(xié)方誤差R趨于0時(shí)，真實(shí)測(cè)量值ZK越來(lái)越真實(shí)，這時(shí)，預(yù)測(cè)值Hxk－越來(lái)越不真實(shí)，另一方面，當(dāng)Priori估計(jì)協(xié)方誤差PK－趨于0時(shí)，真實(shí)測(cè)量值Zk越來(lái)越不真實(shí)，預(yù)測(cè)值Hxk－越來(lái)越不真實(shí)。</p><p><

11、;b>　　濾波器概率初步</b></p><p>　　式（1.7）的調(diào)整來(lái)源制約于在先前測(cè)量值ZK（Bayes準(zhǔn)則）上Priori估計(jì)XK－的概率。此時(shí)，我們足夠指出：Kalman濾波器保持了分布狀態(tài)的一、二階矩。</p><p>　　式（1.7）的Posteriori狀態(tài)估計(jì)反映了分布狀態(tài)的均值（一階矩）——這是在條件（1.3）和（1.4）同時(shí)滿足的自然分布。Poste

12、riori估計(jì)協(xié)方誤差（1.6）反映分布狀態(tài)的變化（二階非中心矩），換之，</p><p>　　對(duì)于Kalman濾波器的更詳細(xì)的概率初步，可以參考〔Maybeck79；Brown92；Jacobs93〕。</p><p>　　離散Kalman濾波器算法</p><p>　　我們從大體概述了一種包含離散Kalman濾波器形式的高級(jí)算法來(lái)開始這部分（看以前腳注）。在描述

13、完它的高級(jí)目的之后，我們將在濾波器的本文集中到特定的公式和應(yīng)用。</p><p>　　Kalman濾波器是用反饋控制的形式來(lái)估計(jì)過(guò)程：在當(dāng)時(shí)濾波器估計(jì)過(guò)程狀態(tài)，然后在噪聲測(cè)量值時(shí)獲得反饋。比如，Kalman濾波器的等式有兩組：time update等式和measurement update等式。這time update等式是當(dāng)前狀態(tài)之前的過(guò)程和獲得下一個(gè)時(shí)刻的Priori狀態(tài)的估計(jì)協(xié)方誤差。這measuremen

14、t update等式反映的是反饋。如伴有新測(cè)量值的Priori狀態(tài)估計(jì)和獲得提高的Posteriori估計(jì)的組合。</p><p>　　當(dāng)measurement update被作為修正方程時(shí)，time update也被作為原始等式。確實(shí)，最后的估計(jì)算法與解決數(shù)字問(wèn)題的預(yù)測(cè)－修正算法相似，如下Figure 1-1所示</p><p>　　Figure 1-1 不間斷離散Kalman濾波器循環(huán)

15、，Time update適時(shí)計(jì)算當(dāng)前狀態(tài)估計(jì)。Measurement update在那時(shí)通過(guò)真實(shí)測(cè)量值來(lái)調(diào)整設(shè)計(jì)估計(jì)。</p><p>　　在Table 1-1和Table 1-2表示暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)方程</p><p>　　再次注意，在Table 1-1計(jì)劃中，無(wú)論Time update方程如何，狀態(tài)和協(xié)方差估計(jì)從K-1狀態(tài)到K狀態(tài)。當(dāng)Q來(lái)自式（1.3）是，A和B來(lái)自式（1.1）。濾波器的內(nèi)部

16、條件在早先的參考書中已經(jīng)討論了。</p><p>　　在Measurement update期間，最初任務(wù)是計(jì)算Kalman濾波器的增益Kk。注意的是，當(dāng)式（1.11）和（1.8）相同時(shí)，等式已經(jīng)給出。下一步是根據(jù)真實(shí)計(jì)算過(guò)程來(lái)獲得Zk。然后通過(guò)式（1.12）合并測(cè)量值來(lái)生成Posteriori狀態(tài)估計(jì)。式（1.12）在這里是式（1.7）的完全重復(fù)。最后通過(guò)式（1.13）來(lái)獲得Posteriori估計(jì)協(xié)方誤差。&

17、lt;/p><p>　　每次Time update和Measurement update成對(duì)后，系統(tǒng)重復(fù)用以前的Posteriori估計(jì)過(guò)去計(jì)劃或預(yù)測(cè)的新的Priori估值。這遞歸的本質(zhì)是Kalman濾波器的一大特色——它的實(shí)際應(yīng)用比設(shè)計(jì)每次操作直接數(shù)據(jù)的Wiener濾波器的應(yīng)用更為有效〔Brown92〕。在過(guò)去所有過(guò)去測(cè)量值的基礎(chǔ)上Kalman濾波器遞歸的代替當(dāng)前估計(jì)。下面的Figure 1-2提供了濾波器操作的完

18、整圖片，從Table 1-1和Table 1-2組合成前面圖表Figure 1-1。</p><p><b>　　濾波器參數(shù)和調(diào)整</b></p><p>　　在濾波器的實(shí)際應(yīng)用中，測(cè)量噪聲協(xié)方差R通常先于濾波器操作之前測(cè)量。測(cè)量值協(xié)方誤差R一般是實(shí)際的（可能的）因?yàn)槲覀兡軌驕y(cè)量過(guò)程，無(wú)論如何（當(dāng)運(yùn)行濾波器）為了決定測(cè)量噪聲的變化我們一般能夠得到離線例子測(cè)量值。<

19、;/p><p>　　系統(tǒng)噪聲協(xié)方誤差Q的測(cè)定一般是很困難的，因?yàn)槲覀儾荒苤苯拥玫接^測(cè)估計(jì)過(guò)程。有時(shí)候相關(guān)簡(jiǎn)單的系統(tǒng)模型能產(chǎn)生可能的結(jié)果，如果通過(guò)選擇Q它注入足夠不確定進(jìn)入過(guò)程。的確，在這種情況下，我們希望系統(tǒng)測(cè)量值是可信的。</p><p>　　在另一種情況，無(wú)論我們是否選擇一個(gè)有理數(shù)參數(shù)，時(shí)間前級(jí)濾波器參數(shù)（統(tǒng)計(jì)說(shuō)）通過(guò)調(diào)整濾波器參數(shù)Q和R便能得到。這個(gè)調(diào)整經(jīng)常離線操作，通常的在系統(tǒng)中，另一

20、種（明顯的）Kalman濾波器一般參考系統(tǒng)鑒定。</p><p>　　Figure 1-2 Kalman濾波器操作的完整圖片，Table 1-1和Table 1-2組合成前面圖表Figure 1-1。</p><p>　　在結(jié)束時(shí)，我們注意在Q和R是常數(shù)的條件下，估計(jì)協(xié)方誤差PK和Kalman增益KK將快速穩(wěn)定，然后保持常量（看Figure 1-2濾波器修正公式）。如果這種場(chǎng)合，這些參數(shù)

21、能在〔Grewal93〕中通過(guò)離線運(yùn)行濾波器或決定PK的穩(wěn)態(tài)值來(lái)提前計(jì)算。</p><p>　　測(cè)量協(xié)方誤差（特別的）不能保持常數(shù)是通常情況。例如，當(dāng)在我們的光電跟蹤面板看到信號(hào)是，在靠近信號(hào)的測(cè)量值比遠(yuǎn)離信號(hào)的測(cè)量噪聲將更小。同樣，系統(tǒng)噪聲Q在濾波操作——變成Qk——期間為了調(diào)整動(dòng)態(tài)差有時(shí)候也會(huì)動(dòng)態(tài)的改變。例如，在跟蹤虛擬環(huán)境的使用過(guò)程情況下，如果目標(biāo)移動(dòng)慢，我們能夠減小QK的量值，如果動(dòng)態(tài)變化快，我們?cè)黾恿恐?/p>

22、。在這種情況下，QK能夠選擇計(jì)算不確定的用戶目的和用戶模型。</p><p>　　2、擴(kuò)展的Kalman濾波器（EKF）</p><p><b>　　估值系統(tǒng)</b></p><p>　　正如上一節(jié)的描述，Kalman濾波器解決估計(jì)離散時(shí)間控制過(guò)程的狀態(tài)X∈Rn的一般性問(wèn)題，定義線性隨機(jī)差分方程。但是如果被估值系統(tǒng)或系統(tǒng)的測(cè)量值關(guān)系是非線性的，

23、會(huì)發(fā)生什么變化呢？許多Kalman濾波器重要的或成功的應(yīng)用已用于這種情況。線性Kalman濾波器的當(dāng)前均值和協(xié)方差可以作為EKF的參考。</p><p>　　在類似Taylor級(jí)數(shù)的時(shí)候，即使是非線性關(guān)系時(shí)我們也能圍繞當(dāng)前估計(jì)，通過(guò)系統(tǒng)的部分推導(dǎo)公式和測(cè)量公式計(jì)算估計(jì)來(lái)把估值線性化。為了如此，我們?cè)诒静糠直仨毿薷囊恍┲匾枋觥Ｎ覀冊(cè)俅渭俣ㄏ到y(tǒng)有一個(gè)狀態(tài)矢量X∈Rn，但是，這個(gè)系統(tǒng)現(xiàn)在被定義為非線性隨機(jī)差分方程。&

24、lt;/p><p>　　其中，測(cè)量值Z∈Rm，定義為</p><p>　　這里，隨機(jī)變量WK和VK再次表示系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲。正如式（1.3）和（1.4）一樣。在這種情況下，在差分方程式（2.1）中，線性函數(shù)f與上時(shí)刻狀態(tài)K-1和當(dāng)前時(shí)刻狀態(tài)K有關(guān)。它包括驅(qū)動(dòng)函數(shù)UK-1和零均值系統(tǒng)噪聲Wk的參數(shù)。在測(cè)量等式（2.2）中，非線性函數(shù)h與狀態(tài)XK和測(cè)量值ZK有關(guān)。</p><

25、p>　　在實(shí)際過(guò)程中，我們不知道每個(gè)時(shí)刻的WK和VK的獨(dú)立值，然而，我們可以在沒(méi)有WK和VK的狀態(tài)下近似狀態(tài)矢量和測(cè)量矢量，如下</p><p>　　這里，Xk是Posteriori估計(jì)狀態(tài)（從上一個(gè)時(shí)刻K開始）。</p><p>　　重點(diǎn)注意：EKF和基本缺陷是在遭到各自非線性變換后，不同的隨機(jī)變量的分布（連續(xù)情況下的密度）不再正常。在EKF是簡(jiǎn)單的接近線性最佳Bayes公式的特殊

26、狀態(tài)估值。 Julier et al.已經(jīng)通過(guò)用非線性變換來(lái)優(yōu)質(zhì)正常分布來(lái)了發(fā)展了EKF變量〔Julier96〕</p><p><b>　　濾波器計(jì)算初步</b></p><p>　　為了估計(jì)非線性系統(tǒng)差分值和測(cè)量值的關(guān)系，我們重新寫線性估計(jì)式（2.3）和(2.4)方程的控制方程,</p><p><b>　　這里</b&

27、gt;</p><p>　　XK和ZK是真實(shí)狀態(tài)和測(cè)量矢量,</p><p>　　XK和ZK是由式(2.3)和(2.4)而得到近似狀態(tài)和測(cè)量值矢量,</p><p>　　XK是K時(shí)刻的Posteriori估計(jì)狀態(tài),</p><p>　　隨機(jī)變量WK和VK表示在(1.3)和的(1.4)的系統(tǒng)噪聲和測(cè)量噪聲,</p><p&g

28、t;　　A是關(guān)于X的由 f 部分派生的Jacobian矩陣,定義為</p><p>　　W是關(guān)于 w 的由 f 部分派生的Jacobian矩陣,定義為</p><p>　　H是關(guān)于X的由 h 部分派生的Jacobian矩陣,定義為</p><p>　　V是關(guān)于 v 的由 h 部分派生的Jacobian矩陣,定義為</p><p>　　在這種情

29、況下,簡(jiǎn)單注意,我們不能用Jacobians的A，W，H，的時(shí)間下標(biāo)，即使在各自時(shí)刻真正不同。</p><p>　　現(xiàn)在我們?yōu)轭A(yù)測(cè)誤差定義一個(gè)新符號(hào)，</p><p><b>　　和測(cè)量余數(shù)，</b></p><p>　　記得，在實(shí)際中，式2.7不能接近Ｘk，它便是真實(shí)狀態(tài)矢量，例如，要估計(jì)的量。另一方面，式2.8不能接近Ｘk，它是用Xk估計(jì)真

30、實(shí)測(cè)量值。用式（2.7）和（2.8）我們能寫系統(tǒng)誤差的控制方程，如下</p><p>　　這里，εk和ηk表示新的有零均值和協(xié)方差WQWT和VRVT并同帶有Q和R的式（1.3）和式（1.4）一樣的獨(dú)立隨機(jī)變量。</p><p>　　注意的是等式（2.9）和等式（2.10）是線性的，從離散Kalman濾波器我們得到真得得到類似的差分方程和測(cè)量等式（1.1）和（1.2）。這種激勵(lì)在式（2.8）

31、用真實(shí)測(cè)量值余數(shù)Ezk和第二（假定的）Kalman濾波器來(lái)估計(jì)預(yù)測(cè)誤差Exk由式（2.9）給出，然后這叫EK測(cè)量能連同式（2.7）被用來(lái)獲得原始非線性系統(tǒng)的Posteriori狀態(tài)估計(jì)，如下</p><p>　　式（2.9）和（2.10）的隨機(jī)變量有近似的下面可能的分布（看以前腳注）：</p><p>　　給定一些ek的近似值和預(yù)測(cè)值為0，用來(lái)估計(jì)ek的Kalman濾波器等式是</p

32、><p>　　把式（2.12）代回（2.11），利用（2.8），我們可以看到，實(shí)際不用兩個(gè)Kalman濾波器。</p><p>　　式（2.13）在擴(kuò)展的Kalman濾波器中用作Measurement update，其中XK和ZK來(lái)源于式（2.3）和式（2.4），Kalman增益KK來(lái)自帶有測(cè)量協(xié)方差的特有代替式（1.11）。</p><p>　　EKF完整等式如下Ta

33、lble 2-1和Table 2-2所示。注意，我們用Xk－代替Xk，并且保持了與以前上標(biāo)負(fù)號(hào)的一致?，F(xiàn)在我們給Jacobians A，W，H，V，附加下標(biāo)k來(lái)標(biāo)注他們?cè)诟鱾€(gè)時(shí)刻的不同。</p><p>　　如同基本的離散Kalman濾波器，在Table2-1中的Time update等式計(jì)算從前一時(shí)刻K-1到當(dāng)前時(shí)刻K的估計(jì)狀態(tài)和協(xié)方差。此外，式（2.14）的f來(lái)源于式（2.3），Ak和Wk是K時(shí)刻的系統(tǒng)Jac

34、obians，QK是K時(shí)刻的系統(tǒng)噪聲協(xié)方差。</p><p>　　如同基本離散Kalman濾波器，Table 2-2中Measurement update等式修正了測(cè)量值Zk的估計(jì)狀態(tài)和協(xié)方差。此外，式（2.17）的h來(lái)自式（2.4），Hk和V是K時(shí)刻的測(cè)量值Jacobians，Rk是測(cè)量噪聲協(xié)方差（注意，現(xiàn)在R的下標(biāo)允許隨每個(gè)測(cè)量值而改變）。</p><p>　　EKF的基本算法同線性離

35、散Kalman濾波器Figure 1-1所示的一樣，下面的合并了前面表格Figure 1-1和Table 2-1和Table 2-2等式的Figure 2-1提供了EKF算法的完整描述。</p><p>　　Figure 2-1 合并了高級(jí)表格Figure1-1和Table2-1和Table2-2等式的EKF的完整描述</p><p>　　EKF的重要特征是正常增大或放大相關(guān)測(cè)量數(shù)據(jù)的K

36、alman增益Kk等式中的Jacobians。例如，如果測(cè)量值Zk和測(cè)量狀態(tài)通過(guò)h不是一對(duì)一的映射，JacobianHk將影響Kalman增益，以致于糨僅僅放大了影響因素的XK-h(XK,0)余數(shù)的部分。當(dāng)然，如果測(cè)量值Zk和測(cè)量狀態(tài)通過(guò)h都不是一對(duì)一的映射關(guān)系，你可以很快預(yù)測(cè)到濾波器是發(fā)散的，這種情況是不可觀測(cè)的。</p><p>　　3、Kalman濾波器的應(yīng)用：估計(jì)隨機(jī)常量</p><p

37、>　　在前兩節(jié)中，我們描述了離散Kalman和擴(kuò)展Kalman濾波器的基本形式，為了更好的了解濾波器的運(yùn)算和性能，我們?cè)谶@里舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子。</p><p><b>　　系統(tǒng)模型</b></p><p>　　在這個(gè)簡(jiǎn)單例子中，我們估計(jì)一個(gè)隨機(jī)常標(biāo)量，例如，電壓。假設(shè)，我們能夠獲得測(cè)量常數(shù)，但是測(cè)量值是被均方根為0.1的白噪聲破壞（例如，從模擬到數(shù)字轉(zhuǎn)換是不準(zhǔn)確

38、的）。在這個(gè)例子中，系統(tǒng)為線性差分方程</p><p>　　其中，測(cè)量值ZK∈Rl，并定義：</p><p>　　在種狀態(tài)不隨時(shí)刻而變化，因此A=0。這里沒(méi)有控制輸入，因此u＝0。噪聲測(cè)量值為直接狀態(tài)，于是H=1。（注意，我們?cè)谠S多地方?jīng)]有考慮下標(biāo)，這是因?yàn)樵诤?jiǎn)單模型中，各參數(shù)均為常數(shù)）</p><p><b>　　濾波器等式和參數(shù)</b>&l

39、t;/p><p>　　Time update等式為</p><p>　　和Measurement update等式為</p><p>　　假設(shè)一個(gè)很小的系統(tǒng)變化，我們使Q=1e-5。（我們能夠確定Q=0，但是為了更好的調(diào)整濾波器，假定一個(gè)很小但又不為0的值，下面我們會(huì)給出證明）。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)知道，隨機(jī)常量的真實(shí)值有標(biāo)準(zhǔn)自然概率分布，于是我們定義濾波器常量為0，換句話說(shuō)，工作

40、前，我們使Xk-1=0。</p><p>　　類似的，我們需要選擇Pk-1的初始值，如果我們完全確定初始化狀態(tài)估計(jì)X0＝0是正確的，那么P0=0。然而，初始估計(jì)X0是不確定的，選擇P0=0能起濾波器初始化和使Xk=0。于是證明，二者的選擇是臨界的，我們能夠選擇任何P0≠0，最終，濾波器是收斂的，我們以P0=1開始。</p><p><b>　　仿真</b></p

41、><p>　　開始，我們隨機(jī)選擇一個(gè)標(biāo)量Z＝－0.37727。（Z不是“hat”，因?yàn)樗硎菊鎸?shí)值）。然后，我們模擬50個(gè)不同的標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.1的零自然誤差分布的測(cè)量值Zk。（記得，我們假設(shè)測(cè)量值被均方根為0.1的白噪聲破壞）。我們只有在同一準(zhǔn)確測(cè)量情況下的一系列的50個(gè)仿真值能在濾波器循環(huán)內(nèi)得到單獨(dú)的測(cè)量值（例如，相同的測(cè)量噪聲）。于是在不同參數(shù)的模擬的比較是很有用的。</p><p>　　

42、在第一次仿真時(shí)，我們確定了在R=(0.1)2=0.01時(shí)的測(cè)量協(xié)方差。因?yàn)檫@是真實(shí)測(cè)量協(xié)方誤差，我們根據(jù)平衡響應(yīng)和估計(jì)方差來(lái)預(yù)測(cè)最優(yōu)特性。在第二次和第三次仿真中，將有更多的證據(jù)。Figure3-1描述了第一次仿真的結(jié)果。隨機(jī)常量x＝－0.37727的真實(shí)值已經(jīng)在實(shí)線上給定了，噪聲值為“＋”標(biāo)記，濾波器估計(jì)仍保持曲線。</p><p>　　Figure3-1 第一次仿真：R=(0.1)2=0.01。隨機(jī)常量x＝－

43、0.37727的真實(shí)值已經(jīng)在實(shí)線上給定了，噪聲值為“＋”標(biāo)記，濾波器估計(jì)仍保持曲線。</p><p>　　當(dāng)考慮到上面選擇P0時(shí)，我們提到：這選擇在P0≠0時(shí)候不是臨界的，因?yàn)闉V波器最終會(huì)收斂。下面Figure 3-2中，我們畫出了相對(duì)于重復(fù)的PK的值。通過(guò)第50個(gè)重復(fù)，它解決了從1到近似0.0002的最初選擇。</p><p>　　Figure 3-2 50個(gè)重復(fù)后，我們最初協(xié)方誤差P

44、K從1到0.0002的調(diào)整。</p><p>　　在“濾波器參數(shù)和調(diào)整”那節(jié)中，我們簡(jiǎn)要討論了為了獲得不同濾波器特性而改變或調(diào)整參數(shù)Q和R。在下面Figure 3-3和Figure 3-4 中，我們能看到當(dāng)R各自以100的因子增加或減小時(shí)，濾波器是如何改變的。在Figure 3-3中，濾波器告訴測(cè)量方差是大100次（例如，R=1）。于是假定測(cè)量值為慢的。</p><p>　　Figure

45、3-3 第二次仿真：R=1。濾波器響應(yīng)測(cè)量較慢，導(dǎo)致減小估計(jì)方差。</p><p>　　在Figure 3-4中，濾波器說(shuō)明：測(cè)量方差小于100次（例如：R=0.0001）于是假定噪聲測(cè)量值是非?？臁?lt;/p><p>　　Figure 3-4 第三次仿真：R=0.0001。濾波器快速響應(yīng)測(cè)量值，增加估計(jì)方差。</p><p>　　雖然，常數(shù)的估計(jì)是相對(duì)直接的。它明顯