雙截曲率條件下Kahler流形的分類問題.pdf

1、在這篇博士后出站報告中,我們主要討論在一定條件下K(a)hler流形的分類問題。
　　 在復(fù)幾何中,單值化問題一直是一個大家很關(guān)心的問題。經(jīng)典的單值化定理告訴我們:一個單連通的二維曲面全純等價于黎曼球面CP1,復(fù)線C或者單位圓盤D,它刻畫了一維復(fù)流形的標(biāo)準的復(fù)結(jié)構(gòu)。但是,在高維情況下,僅由拓撲的限制條件不可能給出復(fù)結(jié)構(gòu)的分類。所以,我們首先需要加上一些幾何的條件。
　　 在雙截面曲率條件下,我們可以得到流形的分類,這就是

2、著名的Frankel猜想:任何具有正雙截面曲率的緊致K(a)hler流形一定全純等價于復(fù)投影空間。在70年代末80年代初,Mori和Siu-Yau(肖蔭堂-丘成桐)分別用不同的方法給出了證明。在這之后,一個很自然的問題就是是否可以將Frankel猜想進行推廣,得到在非負的全純雙截面曲率條件下的K(a)hler流形完全分類,一般我們稱之為廣義Frankel猜想,這個猜想最終由Mok利用代數(shù)幾何的方法得到了證明。
　　 在正交的雙全

3、純截面曲率條件下,陳秀雄在附加一定的拓撲條件的情況下,得到了:任何具有正的正交的全純雙截面曲率且第一陳類c1>0的緊致的不可約K(a)hler流形一定全純等價于復(fù)投影空間。
　　 在這篇報告中,我們的第一個結(jié)果是給出了廣義Frankel猜想的一個完全分析的證明,這也就回答了Mok的在他的文章中提出的問題。我們的證明的優(yōu)點是用K(a)hler幾何中的方法證明了K(a)hler幾何中問題。我們的第二個結(jié)果是可以給出陳秀雄的問題/猜測

4、的一個肯定的回答:任何緊致的具有正的正交雙截面曲率的K(a)hler流形一定滿足c1>0,從而完全分類這種流形。我們的第三個結(jié)果是可以給出在非負的正交雙全純截面曲率條件下的K(a)hler流形的完全分類,這個結(jié)果是廣義Frankel猜想的一個推廣。下面是我們的主要的結(jié)果:
　　 定理1假設(shè)(Mn,h)是一緊致的K(a)hler流形,具有正的正交的雙全純截面曲率,那么,第一陳類c1>0。并且,該流形全純等價于復(fù)投影空間。
　

5、　 定理2設(shè)(Mn,h)是一n維(n≥2)的緊K(a)hler流形,具有非負的正交的全純雙截曲率,((M)n,(h))是其萬有覆蓋空間。則((M)n,(h))必全純等距于下列流形中其中的一個:
　　 (1)(Ck,h0)×(M1,h1)×…×(Ml,hl)×(CPn1,θ1)×…×(CPnr,θr),其中h0表示Ck上的歐氏度量,hi(1≤i≤l)是秩≥2的不可約Hermitian對稱空間Mi上的相應(yīng)度量,θj(1≤j≤r)是

6、CPnj上的K(a)hler度量具有非負正交的全純雙截曲率:
　　 (2)(Y,g0)×(M1,h1)×…×(Ml,hl)×(CPn1,θ1)×…×(CPnr,θr),其中Y或者是一單連通的黎曼面,高斯曲率在某點為負,或者是一單連通的非緊K(a)hler流形,復(fù)維數(shù)dim(Y)≥2,具有非負的正交的全純雙截曲率且全純截面曲率的最小值<0,Mi,CPnj(1≤i≤l,1≤j≤r)和情況(1)中的相同。并且,Mi和CPnj的全純截面