濾波器，頻率響應(yīng)及小波集.pdf

1、小波分析的前身是Fourier分析.Fourier分析應(yīng)用廣泛，但也有著不可忽視的缺點(diǎn)，即不能很好的描述函數(shù)的局部性，從而大大限制了它的應(yīng)用.小波分析就是在Fourier分析的基礎(chǔ)上逐漸發(fā)展起來的一門較新的學(xué)科.它既能保持Fourier分析的優(yōu)點(diǎn)，又能彌補(bǔ)它的缺陷，從而從其一誕生便得到了快速的發(fā)展.小波分析的核心內(nèi)容之一就是小波的構(gòu)造，而多尺度分析是構(gòu)造小波的重要以及主要方法，所以多尺度分析與小波的關(guān)系就成為小波分析研究的—個(gè)重要問題.

2、R.A.Zalik在[35]中給出了Riesz小波與MRA關(guān)系的一維情形.其中包括一個(gè)充要條件(命題2.2)和幾個(gè)等價(jià)條件(定理2.4).而且給出了具體的例子，利用文章給出的條件來判斷小波是否由MRA得到.我們從這篇文章出發(fā)，主要討論與Riesz小波和MRA相關(guān)的幾個(gè)問題. 本文正文共分三節(jié). 第一節(jié)共分兩部分. 第一部分給出了框架，Riesz基，多尺度分析(MRA)的定義以及MRA與小波的關(guān)系的定義，首先把Za

3、lik在[35]中給出的一個(gè)關(guān)于Riesz小波與多尺度分析關(guān)系的定理推廣到了高維，然后把判斷Riesz小波是否由多尺度分析得到的充要條件([35，定理2.4])應(yīng)用到具體的例子上，而且把此定理的一個(gè)條件換成了更為直觀的說法.最后是關(guān)于由Riesz小波的伸縮平移生成的空間的值域的一個(gè)定理. 第二部分首先給出了濾波器的一個(gè)性質(zhì)：當(dāng)Riesz小波由多尺度分析得到時(shí)我們得到的一個(gè)關(guān)于低通濾波器和高通濾波器的矩陣是滿秩的；第二個(gè)定理是高維

4、多尺度分析的頻率響應(yīng)的一個(gè)性質(zhì)的證明. 第二節(jié)刻畫了d維歐式空間Rd的框架與Riesz基.首先給出了Rd中的m個(gè)向量(m＞d)是Rd的緊框架的充要條件，然后給出了一般框架以及Riesz基的一個(gè)充分條件，隨后是Rd的框架的一個(gè)具體例子，最后是關(guān)于構(gòu)成框架的向量組成的矩陣的一個(gè)性質(zhì). 最后一節(jié)是關(guān)于小波集的綜合報(bào)告，總結(jié)了近幾年來關(guān)于小波集的最新結(jié)果.作者從最簡單的情況：二進(jìn)伸縮，一維整數(shù)平移開始敘述，逐步進(jìn)行推廣.首先是把