Banach空間中具多值擾動微分包含解的存在性及其漸近性質.pdf

1、Banach空間上的微分包含理論是非線性分析中非常活躍的一個分支。從七十年代開始，美國、羅馬尼亞和日本等國的著名數(shù)學家(如V．Barbu、J．p.Aubin、T.Kato、n.H．Pavel等)就開始從事這方面的研究工作(見[2，9，13，71])．近幾十年來，這一領域的研究對近代物理和工程技術中出現(xiàn)的非線性問題和控制論的研究有著重要的理論意義和應用價值．由于Volterra方程(見[2])、偏微分方程(見[9，13，71])、控制論和

2、最優(yōu)化中研究的許多問題都可以轉化為微分包含問題，因此在一定的條件下研究微分包含解(包括強解、弱解、溫和解和積分解)的存在性以及漸近性態(tài)問題就顯得非常重要．本文就是在Banach空間中討論了具多值擾動微分包含解的存在性及其漸近行為，共分四章： 本文第一章主要考慮以下半線性非局部微分包含解的存在性｛u'(t)∈Au(t)+F(t，u(t))，t∈[O，T]，u(O)=g(u).這里F是一上半連續(xù)多值映射，g：C([O，T]；E)→E

3、是—給定的連續(xù)映射，線性算子A(可能無界)是一緊半群的無窮小生成元． 本章中我們主要利用多值不動點定理和緊性方法給出上述非局部微分包含解的存在性定理(見Theorem 1.2)．證明的關鍵在于我們設法構造了一個新的特殊的集值映射，然后利用集值分析和非緊性測度理論證明了該集值映射是一個在給定圓盤上具閉凸值的上半連續(xù)的緊算子，正是由于該算子的良好性質便于我們構造了連續(xù)函數(shù)空間里一個相對緊的解序列，從而我們能夠得到上述主要結論．如果在

4、F和g上附加的是漸近條件或強有界條件，我們同樣能夠得到定理1.2中的結論．這些結果推廣了文獻[5，64]中的相應結論至非局部多值情形．由于我們不再需要多值擾動F的Lipschitz型條件，因此這些結論即使對單值情形也是新的．在這一章的最后，我們還給出了這些結果在偏微分方程中的應用． 第二章我們繼續(xù)致力于研究上述多值微分包含問題，其中A是強連續(xù)有界線性算子族｛S(t):t∈(O，T)的生成元，F(xiàn)是一個upper-Carathéod

5、ory多值映射和g是某給定的算子． 本章中我們主要利用不動點技巧、非緊測度性質、集值分析以及微分包含理論的相關已知結果，討論了一般Banach空間中半線性微分包含適度解的存在性(見：Lemma 2.9和Theorem 2.7)．行文中，引理2.9給出的不等式對于整個定理2.7的證明起著至關重要的作用．在定理2.7中，我們既沒有對Banach空間附加任何條件，也沒有假設半群的緊性，因此我們的結果推廣了文[22，28，30，88，8

6、9，91]中的主要定理． 第三章在實Banach空間中考慮如下發(fā)展型微分包含解的存在性｛u'(t)∈A(t)u(t)+F(t，u(t))，a.e.t∈[O，d]，u(O)=g(u).這里線性無界算子族｛A(t)｝t∈[O,d]生成一強連續(xù)發(fā)展系統(tǒng)U(t，s)，F(xiàn)仍是一多值映射． 在這章中，我們首先證明了當g是全連續(xù)算子時上述發(fā)展包含適度解的存在性(見Theorem 3.5)．在定理3.5中，對于包含的線性部分我們只假設其

7、生成強連續(xù)的發(fā)展系統(tǒng)，既不需其緊性，甚至也不需其等度連續(xù)性．主要是在其證明中，設法構造了一個新的非緊測度，正是該正則測度便于我們尋找連續(xù)函數(shù)空間中的非空緊凸子集，從而大大降低了對發(fā)展系統(tǒng)的要求．因此該定理又從本質上進一步改善了第二章中給出的結果．其次討論了當是Lipschitz連續(xù)算子時該發(fā)展包含適度解的存在性．在定理3.11的證明中，我們充分利用了對非緊性測度的估計和疊加算子的性質，從而在不需要空間可分性和發(fā)展系統(tǒng)緊性的情形下得到了上

8、述主要定理．因此我們的結果推廣了這方面的許多工作(如文獻[7，22，28，30，41，47，88，91])．最后，我們應用定理3.5給出的結果討論了半線性偏微分方程的一個例子． 第四章主要處理下列非線性非局部多值問題積分解的存在性及其漸近性態(tài)：｛u'(t)∈Au(t)+F(t，u(t))，t∈[O，T]，u(O)=g(u).其中A：D(A)C_X→是m-耗散算子，生成壓縮半群S(t)，F(xiàn)是相應于其第二變量的弱上半連續(xù)多值映射，X

9、*是一致凸的Banach空間． 4.1節(jié)中首先回憶了Banach空間的一些幾何性質，接著介紹了一些基本概念，并給出了非自治耗散系統(tǒng)積分解的存在唯一性和Bdnilan不等式．在4.2節(jié)中，我們討論了半群S(t)是等度連續(xù)和g是全連續(xù)情形下，上述非線性微分包含積分解的存在性(見Theorem 4.15)．4.3節(jié)得到了g是Lipschitz單值算子和多值映射F是關于Hausdorff距離的Lipschitz型情形下積分解的存在性(見