廣義變分不等式及擬均衡問題的外梯度投影算法研究.pdf

1、廣義變分不等式問題是在實(shí)際應(yīng)用中提煉出來的數(shù)學(xué)模型.對于廣義變分不等式問題的研究,為大量實(shí)際問題的解決提供了強(qiáng)大的技術(shù)支持,例如機(jī)械學(xué)、優(yōu)化理論、交通問題、經(jīng)濟(jì)平衡問題、彈性接觸概率和數(shù)學(xué)的其他分支等實(shí)際問題.在本文中,針對實(shí)歐幾里得空間和無限希爾伯特空間中的廣義變分不等式問題,我們給出了幾類新的外梯度投影算法.此外,我們還提出了另一個(gè)新的投影算法來解決擬均衡問題.本文的其余部分安排如下:
　　第一章,我們介紹了有關(guān)變分不等式問題

2、和廣義變分不等式問題的一些基礎(chǔ)背景知識，并簡單總結(jié)了一些廣義變分不等式問題的現(xiàn)有研究結(jié)果.
　　第二章,給出了文章中相關(guān)的基本概念,例如投影算子的性質(zhì)、單調(diào)集值算子的定義、偽單調(diào)集值算子和連續(xù)集值算子的定義.
　　第三章,對實(shí)數(shù)域歐幾里得空間內(nèi)的廣義變分不等式問題展開研究.我們把經(jīng)典變分不等式研究過程中的一類外梯度投影算法推廣到廣義變分不等式問題中.針對給定的初始迭代點(diǎn),我們首先證明了該算法所產(chǎn)生序列的擴(kuò)張性質(zhì).然后證明了該

3、廣義變分不等式問題的解的存在性,可以通過算法所產(chǎn)生的無窮序列的某個(gè)性質(zhì)等價(jià)的反映出來。最后,在合理假設(shè)條件下,證明了該算法是全局收斂的.
　　第四章,針對偽單調(diào)廣義變分不等式問題,我們給出了一類改進(jìn)的兩步外梯度投影算法.每次迭代需要兩次投影,而且每次迭代可以產(chǎn)生不同的步長供選擇.我們從幾何的角度證明了所設(shè)計(jì)算法具有長迭代步,它保證了當(dāng)前迭代點(diǎn)到解集的距離較上一迭代點(diǎn)有很大下降.在合理的假設(shè)條件下,我們證明了該算法的全局收斂性.進(jìn)一

4、步,如果投影算子滿足給定的局部誤差界，我們證明了算法的-線性收斂性.
　　第五章,通過一類新的外梯度投影算法,我們研究了無限維希爾伯特空間中的廣義變分不等式問題.對于給定的起始迭代點(diǎn),我們證明了該算法的擴(kuò)張性質(zhì),即下一迭代點(diǎn)到初始迭代點(diǎn)的距離較上一迭代點(diǎn)有大幅提高.并且證明了該廣義變分不等式問題的解的存在性等價(jià)于算法所產(chǎn)生的無限點(diǎn)列的某個(gè)性質(zhì).最后,在合理假設(shè)條件下,算法的強(qiáng)收斂性質(zhì)得到證明.
　　第六章,我們把求解變分不等

5、式問題的一類次梯度外梯度投影算法應(yīng)用到廣義變分不等式問題中.對于經(jīng)典變分不等式問題的傳統(tǒng)外梯度投影算法,如果可行集足夠簡單,那么投影可行集上的點(diǎn)很容易計(jì)算并且該算法非常有用;如果可行集是廣義閉凸集,則投影算子會大大降低外梯度算法的效率.新提出的次梯度外梯度投影算法,把投影區(qū)域用一個(gè)特殊半空間來代替,大大提高了傳統(tǒng)外梯度投影算法的效率.因?yàn)閺V義變分不等式問題是經(jīng)典變分不等式問題的自然推廣,這點(diǎn)促使我們把次梯度外梯度算法應(yīng)用到廣義變分不等式