利用最優(yōu)參數(shù)選擇方法數(shù)值求解微分方程的周期問題.pdf_第1頁
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文檔簡介

1、本文主要研究如F微分方程周期問題:其中x(t)=(x1(t),…,x2(t))r是Rn中的實(shí)值向量函數(shù),t是時(shí)間變量,T是最小正周期,f(t,x(t))為[O,T]×Rn上連續(xù)的向量值函數(shù)。在假定問題(1)的周期解已存在且穩(wěn)定的前提下,探討一種數(shù)值計(jì)算方法。在微分方程周期問題的數(shù)值求解中,由于初始值的未確定性,不能直接采用常微分方程初值問題的求解法去求解,使得周期問題的數(shù)值求解困難。而常微分方程初值問題的數(shù)值求解方法發(fā)展得比較成熟和完善

2、,例Euler法,Runge-Kutta方法等,本文主要通過引入一個(gè)參變量ξ,將微分方程的周期邊值問題轉(zhuǎn)化為帶參數(shù)的初值問題,通過對初值問題和最優(yōu)參數(shù)的選擇,達(dá)到求解周期解的目的。具體過程如下: 對系統(tǒng)(1)我們引入?yún)⒆兞喀?,將問題(1)轉(zhuǎn)化為:其中ξ-(ξ1,ξ2,…,ξn)∈Rn。定義目標(biāo)泛函為:J(ξ)=1/2||x(T)-ξ||(3)定義最優(yōu)參數(shù)選擇問題(P):對于系統(tǒng)(2),尋找一個(gè)系統(tǒng)參數(shù)ξ∈Rn,使得目標(biāo)泛函(3)

3、達(dá)到最小值。最優(yōu)參數(shù)選擇問題可以視為非線性規(guī)劃問題,我們通過計(jì)算其目標(biāo)函數(shù)的梯度,將最優(yōu)參數(shù)選擇問題變?yōu)橐粋€(gè)數(shù)學(xué)規(guī)劃問題,利用已有數(shù)學(xué)規(guī)劃技巧將其解出。論文針對周期已知和未知兩種情形,給出相應(yīng)的算法。這時(shí)的狀態(tài)x(t)不是一個(gè)連續(xù)的過程,不能采用通常方法求解。通過引入變換Yi(s)=x(ti-1+(ti-ti-1)s),0≤s≤1,i=1,2,…,N.將方程組(4)由N個(gè)不連續(xù)的區(qū)間轉(zhuǎn)化為在[0,1]區(qū)間上N×n個(gè)方程組,從而得到等價(jià)的

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