擬線性橢圓系統(tǒng)解的存在性及多解性.pdf

1、本文采用變分方法，用臨界點理論研究了幾類偏微分方程系統(tǒng)的解和多解的存在性.首先本文討論了一類(p，q)-拉普拉斯橢圓系統(tǒng)(公式略)
　　 其中△pu=div(|▽u|p-2▽u)是p-拉普拉斯算子，Ω(∈)RN是具有光滑邊界(δ)Ω的非空開集.我們假設(shè)1＜p，q＜N(N≥3)或1＜p，q＜∞(N=1，2)，F(xiàn)∶Ω×R×R→R是C1函數(shù)且(Fu，F(xiàn)v)=▽F，(Gu，Gv)=▽G，F(xiàn)，G滿足如下假設(shè):(G1)G∶(-Ω)×R×R→

2、R是C1函數(shù)，滿足G(x，c1/ps，c1/qt)=cG(x，s，t)(c＞0)和G(x，-s，-t)=G(x，s，t)，(A)x∈(Ω)，s，t∈R；(公式略)
　　 一致成立，其中H(x，s，t)=1/p F9(x，s，t)s+1/q Ft(x,s,t)t-F(x，s，t).
　　 我們得到下面的定理：
　　 定理1假設(shè)F∶Ω×R×R→R是滿足(F∞)的C1函數(shù)，且(G1)，(F1)，(F+)成立，那么問題(

3、P)至少有一個解.
　　 定理2假設(shè)F∶Ω×R×R→R是滿足(F∞)的C1函數(shù)，且(G1)，(F1)，(F_)成立，那么問題(P)至少有一個解.然后本文討論如下p-拉普拉斯系統(tǒng)
　　 其中△pu=div(|▽u|p-2▽u)是p-拉普拉斯算子，Ω(∈)RN是具有光滑邊界(δ)Ω的非空開集，λ是參數(shù)且λ∈R\{0}.我們假設(shè)1＜p＜p*(若N＞p，則p*=Np/N-p；若N≤p，則P*=∞).定義F，G滿足下面的假設(shè):(F

4、2)F∶(-Ω)×[0，∞)×[0，∞)→R是C1函數(shù)且滿足F(x，tu，tv)=tβF(x，u，v)(t＞0)，其中1＜β＜p；(G2)G∶(-Ω)×[0，∞)×[0，∞)→R是C1函數(shù)且滿足G(x，tu，tv)=tαG(x，u，v)(t＞0)，其中p＜α＜p*；(F3)對所有的t∈[0，∞)，我們有Fs(x，0，t)=0；對所有的s∈[0，∞)，我們有Ft(x，s，0)=0；(G3)對所有的t∈[0，∞)，我們有Gs(x，0，t)=