基于譜分析理論與Moore-Penrose廣義逆的正則化.pdf

1、反問題是現(xiàn)在數(shù)學(xué)物理研究中的一個熱點問題,但是數(shù)學(xué)物理反問題的求解面臨的一個本質(zhì)性的困難是不適定性,主要是近似解的不穩(wěn)定性,即方程的解(如果存在)不連續(xù)依賴于右端的數(shù)據(jù),當(dāng)右端的數(shù)據(jù)有誤差時,其解與真解之間會產(chǎn)生很大的誤差.求解不適定問題的普遍方法是正則化方法,如何建立有效的正則化方法及算法是反問題領(lǐng)域中不適定問題研究的重要內(nèi)容.本文從一些實例出發(fā),介紹了反問題和不適定問題的基本概念,并討論了方程的Moore-Penrose廣義解和Mo

2、ore-Penrose廣義逆,得出了線性緊算子方程的不適定性,即Moore-Penrose廣義解的不穩(wěn)定性的結(jié)論.為了得到線性緊算子方程穩(wěn)定的近似解,介紹了不適定問題正則化的一般理論,以自伴緊算子的譜分析與緊算子奇異值分解為理論基礎(chǔ),利用奇異系給出了解的表達(dá)式,說明了緊算子方程不適定性的根源在于緊算子的奇異值趨于零的性質(zhì),由此通過引入正則化濾子函數(shù)來減弱或濾掉奇異值趨于零的性質(zhì)對解的穩(wěn)定性的影響,構(gòu)造正則算子,從而提供了建立正則化方法的

3、理論依據(jù).文中以此為依據(jù)給出了一個正則化濾子函數(shù),從而建立一種新的正則化方法,并討論了正則解的誤差估計及正則參數(shù)的選取問題,證明了這種方法使正則解的誤差具有漸進(jìn)最優(yōu)階.文中還介紹了兩種重要的正則化濾子函數(shù),并討論了其對應(yīng)的Tikhonov正則化和Landweber迭代法,這兩種方法避免了奇異系的計算,在各類反方問題的研究中被廣泛地采用.考慮到反問題的數(shù)值計算需要將問題離散化,化為有限維的問題來進(jìn)行處理,而對于有限維算子的奇異系的計算已經(jīng)