關(guān)于有限擬量子群的分類(lèi).pdf

1、本文主要研究了有限維的點(diǎn)化Majid代數(shù)的分類(lèi)理論和結(jié)構(gòu)理論，以及有限群上扭Yetter-Drinfeld范疇中具有有限根系的對(duì)角型Nichols代數(shù)的分類(lèi)理論。我們給出了有限群的交換3階上循環(huán)消解的一般性方法，再利用張量范疇的規(guī)范變換，從而把有限群上的扭Yetter-Dringeld范疇中的對(duì)角型Nichols代數(shù)的分類(lèi)問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為有限群上通常的Yetter-Drinfeld范疇中對(duì)角型Nichols代數(shù)的分類(lèi)問(wèn)題。進(jìn)而結(jié)合Hecke

2、nberger關(guān)于算術(shù)根系的分類(lèi)，我們給出了有限群上的扭Yetter-Dringeld范疇中具有有限根系的對(duì)角型Nichols代數(shù)的分類(lèi)。特別地，我們得到了這類(lèi)范疇中所有的有限維對(duì)角型Nichols代數(shù)的分類(lèi)。然后，我們證明了所有的有限維對(duì)角型點(diǎn)化Majid代數(shù)都是由群樣元和協(xié)本原元生成的，從而部份肯定回答了廣義Andruskiewitsch-Schneider猜想。最后，利用我們?cè)趶V義Andruskiewitsch-Schneider

3、猜想方面的證明結(jié)果，以及我們對(duì)有限群上的扭Yetter-Drinfeld范疇中具有有限根系的對(duì)角型Nichols代數(shù)的分類(lèi)，我們給出了所有有限維連通的對(duì)角型分次點(diǎn)化Majid代數(shù)的分類(lèi)。本文共分為五章。
　　第一章，我們主要介紹擬量子群的歷史來(lái)源和發(fā)展?fàn)顩r。我們著重介紹了該領(lǐng)域當(dāng)前的研究進(jìn)展和研究方法，以及本文所取得的主要結(jié)果。
　　第二章，我們?cè)敿?xì)地介紹了擬量子群，張量范疇，算術(shù)根系，Weyl群胚和Nichols代數(shù)等本文

4、需要用到的概念，以及一些基本的結(jié)論。我們近期所取得的一些關(guān)于點(diǎn)化Majid代數(shù)的結(jié)果，比如Majid玻色子化的具體公式等，也放在這一章節(jié)進(jìn)行介紹。
　　第三章，我們主要研究扭Yetter-Drinfeld范疇KGKGyDΦ中的對(duì)角型Nichol代數(shù)，對(duì)其中具有有限根系的對(duì)角型Nichols代數(shù)進(jìn)行分類(lèi)。Yetter-Drinfeld范疇KGKGyDΦ的結(jié)合子是由G的3-上循環(huán)Φ來(lái)決定的。首先我們證明了如果KGKGyDΦ中的一個(gè)對(duì)角

5、型Nichols代數(shù)的支撐子群是G，則G是交換群，Φ是G的一個(gè)交換3階上循環(huán)。這相當(dāng)于說(shuō)任何一個(gè)對(duì)角型Nichols代數(shù)B(V)都可以實(shí)現(xiàn)在這樣一個(gè)Yetter-Drinfeld范疇KGKGyDΦ中，其中G是交換群，Φ是G的一個(gè)交換3階上循環(huán)。接下來(lái)，我們對(duì)交換群的交換3階上循環(huán)進(jìn)行了細(xì)致的研究，給出了交換3階上循環(huán)的消解方法，成功地把KGKGyDΦ中的對(duì)角型Nichols代數(shù)和某個(gè)更大的交換群G對(duì)應(yīng)的通常的Yetter-Drinfel

6、d范疇KGKGyD中的對(duì)角型Nichols代數(shù)聯(lián)系起來(lái)，進(jìn)而得到KGKGyDΦ中具有限根系的對(duì)角型Nichols代數(shù)的分類(lèi)。特別的，考慮具有有限根系的對(duì)角型Nichols代數(shù)的每一個(gè)正根對(duì)應(yīng)的根向量的冪零指數(shù)，我們得到了KGKGyDΦ中所有的有限維對(duì)角型Nichols代數(shù)的分類(lèi)。
　　第四章，我們給出了有限維連通的余根分次對(duì)角型點(diǎn)化Majid代數(shù)的分類(lèi)。我們稱一個(gè)Majid代數(shù)為連通的，當(dāng)且僅當(dāng)其Gabriel箭圖是連通的。一般的

7、有限維余根分次點(diǎn)化Majid代數(shù)的分類(lèi)，總是可以約化成有限維連通的余根分次點(diǎn)化Majid代數(shù)的分類(lèi)。要給出有限維點(diǎn)化Majid代數(shù)的分類(lèi)，一個(gè)必須要回答的問(wèn)題就是猜想1.2。作為本文的主要結(jié)果之一，我們部份肯定地回答了這個(gè)猜想，即我們證明了任何一個(gè)有限維對(duì)角型點(diǎn)化Majid代數(shù)都是由群樣元和協(xié)本原元生成的。從而我們可以把有限維連通的余根分次對(duì)角型點(diǎn)化Majid代數(shù)的分類(lèi)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有限維對(duì)角型Nichols代數(shù)的分類(lèi)問(wèn)題，再結(jié)合上一章的結(jié)

8、果，我們得到了本章關(guān)于點(diǎn)化Majid代數(shù)的分類(lèi)結(jié)果。這一章，我們還給出了一些有限維連通的分次點(diǎn)化Majid代數(shù)的結(jié)構(gòu)定理。
　　第五章，我們對(duì)Cartan型和標(biāo)準(zhǔn)型的點(diǎn)化Majid代數(shù)做了細(xì)致的研究。我們證明了從任何有限Cartan矩陣出發(fā)，都存在無(wú)限多個(gè)有限維的Cartan型點(diǎn)化Majid代數(shù)，其相應(yīng)的Nichols代數(shù)的根系就是該Cartan矩陣對(duì)應(yīng)的復(fù)半單李代數(shù)的根系。與此同時(shí)，我們也提供了一套具體的從有限Cartan矩陣出