奇異拋物問題的時空有限元方法.pdf

1、奇異微分方程源于工程學、物理學中的許多實際問題。數(shù)值求解該類方程具有重大的現(xiàn)實價值。目前,眾多計算數(shù)學工作者致力于有限差分方法、傳統(tǒng)的標準有限元方法、譜方法等數(shù)值方法的研究。但差分方法不能處理復雜區(qū)域問題,傳統(tǒng)有限元方法在處理間斷問題時又力不從心。為了克服上述困難,本文利用時空有限元方法討論具有奇異系數(shù)的微分方程。時空有限元方法統(tǒng)一時間和空間變量,在時間和空間兩個方向同時發(fā)揮有限元方法的優(yōu)勢,實現(xiàn)時、空兩個方向的高精度。同時,時空有限元

2、方法還具有高度的自適應性,更適合處理復雜的間斷和奇異問題。本文利用該方法研究了奇異線性和半線性拋物問題,給出有限元解的存在唯一性證明和理論誤差估計,并給出數(shù)值模擬結果對所得理論進行驗證。 第一部分研究奇異線性拋物問題。第一章利用Lions定理證明了線性問題廣義解的存在性。第二章給出了連續(xù)時空有限元方法數(shù)值解的理論誤差分析,得到加權H~1模和加權L~2模的最佳收斂逼近性質(zhì)。 第二部分考慮半線性奇異拋物方程的初、邊值問題,證