smooth群理論研究.pdf

1、模糊相等[1](又稱(chēng)為相等關(guān)系[2，3]、模糊等價(jià)關(guān)系[4]、相似關(guān)系[5，6]和模糊算子[7，8])以及模糊函數(shù)在范疇理論和模糊控制等領(lǐng)域都得到成功應(yīng)用.1999年，M.Demirci[9]改進(jìn)了模糊相等[1]的定義，并在此基礎(chǔ)上給出了模糊函數(shù)的新定義，討論了它的一些性質(zhì)；他引入了模糊函數(shù)的梯度[10]的概念，并給出了模糊函數(shù)一些刻畫(huà)，得到了它的一些本質(zhì)屬性；利用不同的模糊函數(shù)定義了模糊運(yùn)算，給出了兩種不同的模糊群—smooth群[1

2、1]和Vague群[12]的概念，首次將模糊相等和模糊函數(shù)的概念引入到了模糊代數(shù)中.本文就是在M.Demirci的工作的基礎(chǔ)上展開(kāi)的討論.上述兩種模糊群的引入開(kāi)辟了模糊代數(shù)研究的新思路，使得我們能夠在經(jīng)典集合上建立模糊運(yùn)算，從而建立模糊群的概念.并且這兩種模糊群的建立脫離了經(jīng)典代數(shù)結(jié)構(gòu)的限制，但又與它有密切的聯(lián)系.在本文的第一章中我們得到了如下重要的結(jié)果： 定理如果(X，·)是smooth群，則集合X的商集X/EX在上述運(yùn)算下做

3、成群(X/EX，(+)). 對(duì)于Vague群M.Demirci[12]也誘導(dǎo)出了經(jīng)典群.對(duì)于M.Demirci的工作值得肯定，但是仍然存在問(wèn)題，第一章中我們得到強(qiáng)smooth群與smooth群等價(jià)，使smooth群的研究大大簡(jiǎn)化. 定理(X，·)是smooth群當(dāng)且僅當(dāng)(X，·)是強(qiáng)smooth群.定理設(shè)(X，·)是smooth群，那么μ.(a，b，c)≥θμ.(a-1，c，b)≥θμ.(c，b-1，a)≥θ.M.Dem

4、irci[10]雖然引入了模糊函數(shù)的梯度的概念，但是并沒(méi)有繼續(xù)將其運(yùn)用到smooth群的研究中.利用梯度的思想，我們改進(jìn)了模糊相等和模糊函數(shù)的定義，使得它們定義更加合理. 2001年，M.Demirci在上述smooth群的基礎(chǔ)上考慮了smooth群的子群和同態(tài)[13]的概念，第二章中我們首次引進(jìn)了smooth正規(guī)子群的概念，進(jìn)一步給出了smooth商群的定義(由于梯度的引入smooth商群較[14]中的smooth商群更具合理

5、性)，并得到了smooth正規(guī)子群的一些重要結(jié)果. 定理設(shè)Z是smooth群(X，·)的smooth正規(guī)子群，則其全體陪集構(gòu)成的集合在上述模糊相等和運(yùn)算下仍做成smooth群. 定理若Z是smooth群(X,·)的smooth正規(guī)子群-X/-Z≌X/Z. 定理設(shè)Y和Z是smooth群(X，·)的smooth子群，且Z為X的smooth正規(guī)子群，那么ZY是X的smooth子群. 第三章我們首先繼續(xù)研究了強(qiáng)模

6、糊函數(shù)和極好模糊函數(shù)的一些深入的性質(zhì)，獲得了一些漂亮的結(jié)果. 定理設(shè)F:X→Y，D:Y→Z分別是基于模糊相等EX和EY及模糊相等EZ和EY上的可擴(kuò)展的通常的函數(shù)，ρ和τ分別是由F和D誘導(dǎo)的強(qiáng)模糊函數(shù)，則τ。ρ是由D。F誘導(dǎo)的強(qiáng)模糊函數(shù). M.Demirci只是利用了經(jīng)典函數(shù)研究了smooth群的同態(tài)，因此，第三章中我們利用模糊函數(shù)定義smooth同態(tài)，獲得了一些結(jié)果. 定理設(shè)(X，·)和(Y，。)是smooth群

7、，f:X→Y是smooth同態(tài)，(1)若A是smooth子群，記f(A)={a′∈Y|μf(a，a′)≥θ，a∈A}，則f(A)是(Y，。)的smooth子群. (2)若A是smooth正規(guī)子群，且f是smooth滿(mǎn)同態(tài)，則f(A)是(Y，。)的smooth正規(guī)子群. 定理設(shè)(X，·)和(Y，。)是smooth群，f:X→Y是smooth同態(tài)，(1)若B是(Y，。)的smooth子群，記f-1(B)={a∈X|μf(a，

8、a′)≥θ，a′∈B}，則f-1(B)是(X，·)的smooth子群. (2)若B是(Y，。)的smooth正規(guī)子群，且f是smooth滿(mǎn)同態(tài)，則f-1(B)是(X，·)的smooth正規(guī)子群. 定理設(shè)(X，·)和(Y，。)是smooth群，f:X→Y是smooth同態(tài)，則f為smooth單同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)Skerf={a∈X|EX(a，eX)≥θ}. Ⅱ第一章中我們?cè)赋鰏mooth群可誘導(dǎo)出經(jīng)典群，而在第四章中我

9、們考慮了這個(gè)問(wèn)題的反問(wèn)題.給定經(jīng)典群，通過(guò)群以及群上的模糊正規(guī)子群定義的模糊相等誘導(dǎo)出smooth群.我們獲得了一類(lèi)smooth群的構(gòu)造定理: 定理設(shè)R是群G的模糊正規(guī)子群且R(e)=1，則G在上述模糊相等和模糊運(yùn)算下做成smooth群. 深入研究了此類(lèi)smooth群的性質(zhì)，并在此定理基礎(chǔ)上給出了smooth群的幾個(gè)例子，極大地豐富了smooth群理論，加深了對(duì)smooth群的認(rèn)識(shí). 定理設(shè)R是群G的模糊正規(guī)子群

10、且R(e)=1，則G/R≌G/Rθ.定理設(shè)GR是smooth群，a,b∈G，則|aRθ|=|bRθ|. 第五章我們通過(guò)將smooth群和Vague群推廣來(lái)研究了smooth群和Vague群之間的聯(lián)系. 定理(1)極好∧-Vague群是smooth群；(2)J是強(qiáng)獨(dú)點(diǎn)的smooth群是極好∧-Vague群；(3)smooth群和Vague群是GF-模糊群；(4)具有性質(zhì)(*)的Vague群是極好∧-Vague群.