一類淺水波方程Cauchy問題解的性質(zhì)研究.pdf

1、本文研究了一類淺水波方程Cauchy問題解的若干性質(zhì)，包括局部適定性、爆破、整體強解的存在性以及整體弱解的存在性等.這些淺水波方程都來源于現(xiàn)代力學和物理學，是非線性科學中的重要研究對象，特別是在孤立子與可積系統(tǒng)領(lǐng)域里.論文結(jié)構(gòu)如下:
　　第1章簡要介紹問題的背景以及研究現(xiàn)狀.
　　在第2章中我們考慮弱耗散廣義μ-Hunter-Saxton方程的Cauchy問題，給出了局部適定性、強解的爆破準則和爆破率、解映射的H(o)lde

2、r連續(xù)性、整體強解的存在性以及整體弱解的存在性.主要目的在于討論自由參數(shù)σ和耗散參數(shù)λ同時對解的爆破和整體存在性的影響.運用Littlewood-Paley理論或者Kato半群理論，我們首先證明方程對任意的初始值u0∈Hs(S)，s＞3/2都是局部適定的.然后利用能量方法，根據(jù)參數(shù)σ的符號討論強解的爆破準則和爆破率.再給出最大存在時間T關(guān)于‖u0‖Hs(s）的一個顯式下界以及解的大小估計，并且證明方程的解映射在Hs(S)，s≥2(裝配著

3、H'(S)拓撲，0≤r＜s）中的H(o)lder連續(xù)性.再者，根據(jù)兩個系數(shù)A，σ取商的符號討論整體強解的存在性.最后，利用粘性逼近法得到H1(S)中整體弱解的存在性，與以往工作不同的是，這里我們不需要利用Ole(ǐ)nik型估計.由于該估計在數(shù)值實驗中很難驗證，所以這種改進是有意義的.
　　在第3章中我們討論弱耗散廣義兩分量μ-Hunter-Saxton系統(tǒng)的Cauchy問題，給出了局部適定性、強解的爆破準則和爆破率、整體強解的存

4、在性以及整體弱解的存在性.目的是討論自由參數(shù)σ和耗散參數(shù)λ在兩分量情形中同時對解的爆破和整體存在性的影響.類似于第二章，我們首先給出方程在Hs(S)×Hs-1(S)，s＞3/2中的局部適定性.再根據(jù)參數(shù)σ的符號討論強解的爆破準則和爆破率，并且給出σ＞0時生命跨度的下界.最后通過構(gòu)造Lyapunov函數(shù)給出0≤σ＜2時整體強解的存在性.
　　在第4章中我們研究修正兩分量Camassa-Holm系統(tǒng)高維情形的Cauchy問題.首先，運