一類多維非線性波動方程組的Cauchy問題.pdf

1、本文共分三章.第一章為引言,給出了本文要研究的方程模型的來歷,一些已有的結果和要用到的記號.
　　 在第二章中,我們研究如下n維非線性廣義波方程組的Cauchy問題
　　 utt(x,t)-σ△u(x,t)-△utt(x,t)=△f(v(x,t)),x∈Rn,t>0,(1)
　　 vtt(x,t)-△vtt(x,t)=△g(v(x,t)),x∈Rn,t>0,(2)
　　 u(x,0)=u0(x),ut(x

2、,0)=u1(x),x∈Rn,(3)
　　 v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x),x∈Rn,(4)
　　 其中u(x,t)和v(x,t)是未知函數(shù),△為n維Laplace算子,σ>0為常數(shù),f(y)和g(y)是給定的非線性函數(shù),u0(x),u1(x),v0(x)和v1(x)是定義在Rn上的初值函數(shù).為此,我們將Cauchy問題(1)-(4)寫成以下矢量形式
　　 Wtt-△Wtt=△F(u,v,)

3、,x∈Rn,t>0,(5)
　　 W(x,0)=W0(x),Wt(x,0)=W1(x),x∈Rn,(6)其中
　　 W(x,t)=(u(x,t)v(x,t)),F(u(x,t),v(x,t),v(x,t))=(f(v(x,t))σu(x,t)g(v(x,t))),
　　 W0(x)=(u0(x)v0(x)),W1(x)=(u1(x)v1(x)).
　　 然后利用壓縮映射原理證明Cauchy問題(5),(6

4、),在空間C2([0,∞)；Hs(Rn)×Hs(Rn))(s>n/2)存在惟一的整體廣義解和在空間C2([0,∞)；Hs(Rn)×Hs(Rn))(s>2+n/2)存在惟一的整體古典解,主要結果如下:
　　 定理1假定s>n/2,W0,W1∈Hs×Hs,f∈C[s]+1(R),f(0)=0,g∈C[s]+1(R),g(0)=0,則Cauchy問題(5),(6)有惟一的局部廣義解W∈C2([0,T0),Hs×Hs),其中[0,T0)

5、是解存在的最大時間區(qū)間.進一步地,若
　　 sup[‖W(·,t)‖Hs·×Hs+‖Wt(·,t)‖Hs×Hs]<∞,(7)
　　 t∈(0,T0)則T0=∞.
　　 現(xiàn)在,我們證明Cauchy問題(5),(6)解的延拓條件(7)轉化為以下的解的延拓條件(8),即證明以下定理.
　　 定理2假設s>n/2,W0,W1∈ Hs×Hs,f∈C[s]+1(R),f(0)=0,g∈C[s]+1(R),g(0)=0

6、,則Cauchy問題(5),(6)有惟一的局部廣義解W∈C2([0,T0)；Hs× Hs),其中[0,T0)是解存在的最大時間區(qū)間,進一步地,若
　　 sup‖W(·,t)‖L∞×L∞　　 t∈[0,T0)則T0=∞.
　　 定理3假設s≥3/2+n/2,W0,W1∈Hs×Hs,Λ-1W1_∈L2×L2,f∈C[s]+1(R),f(0)=0,g∈C[s]+1(R),g(0)=0,z(v)=fv0 g

7、(y)dy≥0,若存在,γ,滿足
　　 1γ≤∞,n=1;1<γ≤∞,n=2;n/2<γ≤∞,n≥3;使得｜g(v)≤A[z(v)]1/2｜v｜+B
　　 其中A,B>0為常數(shù),則Cauchy問題(5),(6)有惟一整體廣義解W∈C2([0,∞),Hs×Hs).
　　 注1若s>2+n/2,則Cauchy問題(5),(6)的整體廣義解W(x,t)是整體古典解.
　　 定理4設W0,W1∈ Hs×Hs,v1

8、,Λ-1v1∈L2,g∈C(R),z(v0)∈ L1,f(v)=v,且
　　 g(y)y≤2(1+2α)z(y),()y∈Rn,
　　 其中α>0為常數(shù),如果滿足下面三個條件之一:
　　 (1)E(0)<0,
　　 (2)E(0)=0,〈Λ-1v1,Λ-1v0〉+〈v1,v0〉＞0,
　　 (3)E(0)>0,〈Λ-1v1,Λ-1v0〉+〈v1,v0〉＞[E(0)(‖Λ-1v0‖2+‖v0‖2)]

9、1/2,其中
　　 E(t)=‖Λ-1v0‖2+‖vt‖2+2∫Rz(v)dx=E(0),
　　 E(t)=‖Λ-1v0‖2+‖vt‖2+2∫Rz(v)dx=E(0)則Cauchy問題(5),(6)的廣義解或古典解W(x,t)在有限時刻爆破.
　　 第三章證明Cauchy問題(5),(6)在空間C([0,∞)；(Wm,p∩L∞∩L2)×(Wm,P∩L∞∩L2))(m≥0)中存在惟一的整體廣義解和在空間C3([0,

10、∞)；(Wm,p∩L∞∩ L2)×(Wm,p∩L∞∩L2))(m≥2+n/p)有惟一的整體古典解.主要結果如下:定理5假設W0,W1∈(Wm,P∩ L∞∩ L2)×(Wm,p∩ L∞∩ L2),f,g∈Cm+1(Rn),且f(0)=0,g(0)=0,那么Cauchy問題(5),(6)有惟一局部廣義解W∈C2([0,T0)；(Wm,p∩L∞∩ L2)×(Wm,p∩ L∞∩L2))(m≥0),其中[0,T0)是解存在的最大時間區(qū)間,進一步地

11、,若
　　 sup(‖W(·,t)‖(Wm,p∩L∞∩L2)×(Wm,p∩L∞∩L2)t∈｜0,T0)
　　 +‖Wt(·,t)‖(Wm,p∩L∞∩L2)×(Wm,p∩L∞∩L2))<∞,
　　 1≤γ≤∞,n=1;
　　 1<γ≤∞,n=2;
　　 n/2<γ≤∞,n≥3,使得｜g(v)｜≤A[z(v)1/2｜v｜+B,
　　 其中A,B>0為常數(shù),則Cauchy問題(5),(6)有惟一

12、整體廣義解W∈C3([0,∞)；(Wm,p∩L∞∩ L2)×(Wm,p∩ L∞∩L2))和A-1ut∈C([0,∞)；L2).
　　 引理1假設定理6的條件成立,f,g∈Ck+m+1(R),其中k≥0為任意常數(shù),則Cauchy問題(5),(6)的廣義解W(x,t)∈Ck+3+l([0,T]；(Wm-1,p∩ L∞∩ L2)×(Wm-1,p∩ L∞∩L2)),(()T>0),0≤l≤ m.
　　 定理7設引理1的條件成立,