無(wú)窮維Hamilton算子的譜與特征函數(shù)系的完備性.pdf

1、本文以無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系(辛正交系)的完備性為主題，圍繞著無(wú)窮維Hamilton算子的譜理論以及完備不定度規(guī)空間中極大確定不變子空間的存在性問(wèn)題開(kāi)展研究工作，從而拓廣了Strum-Liouville問(wèn)題以及按特征函數(shù)展開(kāi)的求解方法，為Hamilton體系下采用分離變量法提供了理論保障。無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系(辛正交系)的完備性問(wèn)題足無(wú)窮維Hanulton算子理論以及無(wú)窮維Hamilton系統(tǒng)中的重要問(wèn)題.

2、對(duì)于分離變量以后可導(dǎo)向Strum-Liouville問(wèn)題的偏微分方程，分離變量法是一種十分有效的求解方法，但是，無(wú)窮維Hamilton算子一般情況下是非自伴算子，因此在Hamilton體系下的分離變量法是否適合和正確的問(wèn)題顯得格外重要.然而以上問(wèn)題的理論基礎(chǔ)足無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系(辛正交系)的完備性問(wèn)題.因此，本文充分利用無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系的辛正交性以及一類無(wú)窮維Hamilton算子的特征值正負(fù)成對(duì)出現(xiàn)

3、的獨(dú)特性質(zhì)，給出了一類無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系(辛正交系)的Cauchy主值意義下完備的充分條件，在此基礎(chǔ)上，對(duì)這類無(wú)窮維Hamilton正則系統(tǒng)采用Cauchy主值意義下的分離變量法(即，分離變量法采用Cauchy主值意義下的疊加原理)得到了Cauchy主值意義下完備的解.這一工作對(duì)于解決無(wú)窮維Hamilton正則系統(tǒng)的求解乃至一般的偏微分方程的求解問(wèn)題提供了新方法、新思想，具有極高的理論價(jià)值與實(shí)際意義。要解決更一般的無(wú)窮

4、維Hamilton正則系統(tǒng)的求解問(wèn)題，須考慮它所對(duì)應(yīng)的一般無(wú)窮維Hami lton算子的特性，這個(gè)問(wèn)題屬于線性算子理論范疇.我們知道，線性算子的譜分析是泛函分析的重要組成部分，是線性算子理論的靈魂，它的中心課題是譜分解理論.因此，本文中把無(wú)窮維Hamilton算子的譜理論放在了非常重要的位置，給出了上三角型無(wú)窮維Hamilton算子的譜集以及連續(xù)譜只和主對(duì)元有關(guān)的充要條件，從而為徹底解決上三角型無(wú)窮維Hamilton算子的譜補(bǔ)問(wèn)題和譜擾

5、動(dòng)問(wèn)題提供了必要的準(zhǔn)備；為了解決無(wú)窮維Hamilton算子生成強(qiáng)連續(xù)半群的問(wèn)題，又給出了無(wú)窮維Hamilton算子只有純續(xù)譜的充分條件.除此之外，當(dāng)系統(tǒng)導(dǎo)出的算子可逆時(shí)，對(duì)半解析法提供了強(qiáng)有力的保障，此時(shí)，偏微分方程可化成常微分方程，因此無(wú)窮維Hamilton算子的可逆性問(wèn)題也顯得很重要，而這個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)足零點(diǎn)是否包含于正則點(diǎn)集的問(wèn)題.從而，本文利用非負(fù)Hamilton算子的結(jié)構(gòu)特性，運(yùn)用內(nèi)部項(xiàng)刻畫(huà)了一般的非負(fù)Hamilton算子的可逆

6、性問(wèn)題，解決了非負(fù)Hamilton算子何時(shí)具有緊域解式的問(wèn)題.值得注意的是，在刻畫(huà)譜集的分布范圍時(shí)數(shù)值域有著非常重要的應(yīng)用，因?yàn)橛薪缇€性算子的數(shù)值域閉包包含譜集，然而，最近發(fā)現(xiàn)，對(duì)有界線性算子來(lái)說(shuō)二次數(shù)值域不僅是數(shù)值域的子集而且它的閉包也包含譜集，因此，刻畫(huà)譜集時(shí)二次數(shù)值域能提供比數(shù)值域更好的信息.基于以上原因，本文又研究了一類無(wú)界無(wú)窮維Hamilton算子的數(shù)值域和二次數(shù)值域，并給出了不僅數(shù)值域的閉包包含譜集，而且二次數(shù)值域的閉包也包

7、含譜集的結(jié)論。
　　 本文研究了完備不定度規(guī)空間中無(wú)窮維Hamlilton算子的譜理論.不定度規(guī)空間上的算子理論并不是Hilbert空間上算子理論邏輯上的推廣，而是有著深厚的基礎(chǔ)的.它的應(yīng)用涉及到物理學(xué)、數(shù)學(xué)及力學(xué)方面.由于無(wú)窮維Hamilton算子的特殊性，引進(jìn)適當(dāng)?shù)牟欢ǘ纫?guī)以后無(wú)窮維Hamilton算子會(huì)變成不定度規(guī)意義下反自伴算子，而此時(shí)，它的性質(zhì)與完備不定度規(guī)空間中自伴算子的性質(zhì)非常接近，因此可以得到許多有意義的結(jié)論.在

8、此基礎(chǔ)上，本文又給出了無(wú)窮維Hamilton算子在完備不定度規(guī)空間中存在極大確定不變子空間的充分條件。自從H.Weyl在1909年發(fā)現(xiàn)有界自伴算子的孤立的有限重特征值集合與Weyl譜在譜集中的補(bǔ)集重疊以后(即，著名的Weyl型定理)，J.Schwartz，S.Berberian等許多學(xué)者研究哪些算子滿足Weyl型定理，于是滿足Weyl型定理的算子范圍不斷擴(kuò)大.但是，大部分成果均以有界算子為研究對(duì)象，關(guān)于無(wú)界算子的Weyl型定理的結(jié)論非常

9、少見(jiàn).因此本文給出了具有擾動(dòng)的無(wú)界自伴線性算子滿足Weyl型定理的充分條件，僅而得到了緊算子滿足Weyl型定理的充分條件。
　　 本研究分為七章：第一章介紹了選題意義和我們的主要工作；第二章給出了上三角型無(wú)窮維Hamilton算子的譜的性質(zhì)，并討論了無(wú)窮維Hamilton算子特征值問(wèn)題；第三章是無(wú)窮維Hamilton算子特征函數(shù)系的Cauchy主值意義下完備問(wèn)題；第四章是非負(fù)Hamilton算子的可逆性問(wèn)題；第五章研究了一類無(wú)窮