一類發(fā)展方程的初邊值問題.pdf

1、本文分四章，第一章為引言；第二章研究一類線性發(fā)展方程的初邊值問題的整體廣義解和整體古典解的存在性與唯一性；第三章研究相應的非線性發(fā)展方程的初邊值問題的局部廣義解的存在性與唯一性；第四章研究所述問題的解的爆破. 我們研究下面這類非線性發(fā)展方程 utt-k1△u+k2△2ut+△g(△u)=f(u)，(x，t)∈Ω×(0，T)(1) 其初邊值條件為 u(x，0)=ψ(x)，ut(x，0)=ψ(x)，x∈Ω(2

2、) u=0，△u=0，(x，t)∈(Э)Ω×(0，T)(3) 或者u(x，0)=ψ(x)，ut(x，0)=ψ(x)，x∈Ω(4) u=0，(Э)u/(Э)v=0，(x，t)∈(Э)Ω×(0，T)(5) 或者u(x，0)=ψ(x)，ut(x，0)=ψ(x)，x∈Ω(6) (Э)u=0，(Э)△u=0，(x，t)∈(Э)Ω×(0，T)(7) 其中，u(x，t)是未知函數(shù)，k1，k2＞0是常數(shù)，

3、g(s)，f(s)是給定的非線性函數(shù)，ψ(x)和ψ(x)是已知的初始函數(shù)，▽=((Э)/(Э)x1，(Э)/(Э)x2，…，(Э)/(Э)xn)表示梯度算子，Ω(C)Rn(n=1，2，3)是具有充分光滑邊界(Э)Ω的有界區(qū)域，v是(Э)Ω的外法線方向，T＞0,QT=Ω×(0，T). 我們先研究線性方程 utt-k1△u+k2△2ut=G(x，t)(8) 其中G是關于x，t的函數(shù).我們將證明方程(8)的三種初邊值問

4、題的整體廣義解和整體古典界的存在性與唯一性，然后利用壓縮映射證明方程(1)的三種情況的局部廣義解的存在性與唯一性. 定理1設ψ∈H4(Ω)，ψ∈H2(Ω)，G∈C([0，T]；L2(Ω))，則問題(8)，(2)，(3)或問題(8)，(4)，(5)或問題(8)，(6)，(7)存在唯一的整體廣義解u(x，t)∈C([0，T]；H4(Ω))，且ut∈C([0，T]；H2(Ω))∩L2([0，T]；H4(Ω))，utt∈L2(Qt)，且

5、u(x，t)滿足等式 ∫T0∫Ω{utt-k1△u+k2△2ut-G(x，t)}h(x，t)dxdt=0，(v)h∈L2(QT) 定理2設ψ∈H7(Ω)，ψ∈H9(Ω)，G(x，t)∈H1([0，T]；H4(Ω))∩C([0，T]；H4(Ω))，G(x，0)∈H5(Ω)，▽iG(x，t)=0，(x，t)∈(Э)Ω×(0，T)，(i=1，2，3，4)，則問題(8)，(2)，(3)或問題(8)，(4)，(5)或問題(8)，(

6、6)，(7)存在唯一的整體古典解. 定理3設ψ∈H4(Ω)，ψ∈H2(Ω)，g∈C3(R)，f∈C1(R)，如果T滿足T≤min{1，1/2C8(1)6(g)2(CU)(1+U2)+2(f)2(CU|Ω|)/U2，{C8(1)[32(g)2(CU)(1+C24U2+C24U4+4C2422)+8(f)2(CU)]}-1}則R：Q(U，T)→Q(U，T)是嚴格壓縮的. 定理4在定理3的條件下，問題(1)，(2)，(3)或問

7、題(1)，(4)，(5)或問題(1)，(6)，(7)存在唯一的局部廣義解u(x，t)∈C([0，T0)；H4(Ω))，且ut∈C([0，T0)；H2(Ω))∩L2([0，T0)；H4(Ω))，utt∈L2(QT0)，其中[0，T0)是最大時間區(qū)間. 第四章用凸性引理證明問題(1)，(2)，(3)或問題(1)，(4)，(5)或問題(1)，(6)，(7)的解在有限時刻爆破. 定理5假設(H1)ψ∈H2(Ω)，ψ∈L2(Ω)

8、 (H2)g∈C2(R)，G(△ψ)∈L1(Ω) sg(s)≤2(2β+1)G(s)，(V)s∈R 其中G(s)=∫s0g(τ)dτ，β＞0是常數(shù).(H3)f∈C(R)，uf(u)≥2(2β+1)F(u) 其中F(s)=Cf((τ))d(τ)(H4)E(0)=||ψ||2+k1||▽ψ||2+2∫ΩG(△ψ)dx-2∫ΩF(ψ)dx則問題(1)，(2)，(3)或問題(1)，(4)，(5)或問題(1)，(6)